組み合わせミラー対称性

鏡面対称性に対する純粋に組み合わせ論的なアプローチは、ヴィクトル・バティレフによって、次元凸多面体の極双対性を用いて提案された。 ^[1] 極双対性の最も有名な例はプラトン立体である。例えば、立方体は八面体と双対であり、十二面体は二十面体と 双対である。次元凸多面体の次元面と双対多面体の次元面の間には自然な一対一関係があり、 が成り立つ。バティレフの鏡面対称性に対する組み合わせ論的アプローチでは、極双対性は反射多面体と呼ばれる特殊な次元凸格子多面体に適用されている。[ 2 ^]${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (dk-1)}$ ${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle (P^{*})^{*}=P}$${\displaystyle d}$

Victor BatyrevとDuco van Straten ^[3]は、Philip Candelasら^[4]による カラビ-ヤウ五次三次元多様体上の有理曲線の数を計算する方法を、 Israel Gelfand、Michail Kapranov、Andrei Zelevinsky ^{[5] （} Alexander Varchenko ^[6]の講演も参照）によって導入された一般化-超幾何関数を使用して、任意のカラビ-ヤウ完全交差に適用できることを指摘した。ここで、は反射多面体内の格子点の集合である。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$

トーリック多様体におけるカラビ・ヤウ超曲面の組合せ論的ミラー双対性は、ゴレンスタイン・トーリック・ファノ多様体におけるカラビ・ヤウ完全交差の場合に、レフ・ボリソフ^{[7]によって一般化されている。}双対円錐と極円錐の概念を用いると、反射多面体の極双対性を凸ゴレンスタイン円錐の双対性^[8]およびゴレンスタイン多面体の双対性の特殊なケースとして考えることができる。^{[9] [10]}

任意の固定された自然数に対して、 -同型までの -次元反射多面体は有限個しか存在しない。その数は、 、 、 についてのみ知られている。 -同型までの -次元反射単体の組合せ論 的分類は、ディオファン トス方程式のすべての解の列挙と密接に関連している。 -同型までの 4 次元反射多面体の分類は、ゴレンシュタイン・ファノ多様体である4 次元トーリック多様体の超曲面を使用して、位相的に異なる多くの 3 次元カラビ・ヤウ多様体を構成するために重要である。 3 次元および 4 次元反射多面体の完全なリストは、物理学者マクシミリアン・クロイツァーとハラルド・スカーケによって、 Polymakeの特別なソフトウェアを使用して取得された。^{[11] [12] [13] [14]}${\displaystyle d}$${\displaystyle N(d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle GL(d,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle N(d)}$${\displaystyle d\leq 4}$${\displaystyle N(1)=1}$${\displaystyle N(2)=16}$${\displaystyle N(3)=4319}$${\displaystyle N(4)=473800776.}$${\displaystyle d}$${\displaystyle GL(d,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (k_{0},k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {N} ^{d+1}}$${\displaystyle {\frac {1}{k_{0}}}+\cdots +{\frac {1}{k_{d}}}=1}$${\displaystyle GL(4,\mathbb {Z} )}$

組合せ論的ミラー対称性の数学的説明は、共形場理論の代数的対応物である 頂点作用素代数を介してレフ・ボリソフによって得られた。^[15]

• トーリック多様体
• ホモロジーミラー対称性
• 鏡映対称性（弦理論）