お金の時間価値

貨幣の時間的価値とは、ある金額を後で受け取るよりも、今受け取る方が通常はより大きな利益があるという事実を指します。これは、後に開発された時間選好の概念の含意として見ることができます。

お金の時間的価値とは、お金は後で受け取るよりも早く受け取る方が良いという考え方です。今日持っているお金は投資してプラスの収益率を得ることができ、明日はより多くのお金を生み出すことができます。したがって、今日の 1 ドルは将来の 1 ドルよりも価値があります。^[1]

お金の時間価値は、お金を貯蓄または投資するのではなく使うことの機会費用を比較検討する際に考慮される要素の 1 つです。したがって、それは利息が支払われる、または得られる理由の 1 つです。銀行預金であれ負債であれ、利息は預金者または貸し手にお金の使用による損失を補償します。投資家が今お金を使うことをあきらめるのは、将来の投資に対する好ましい純収益が期待できる場合のみで、後で利用できる価値の増加は、今お金を使うことの選好とインフレ (存在する場合) の両方を相殺するのに十分高い場合に限られます。必要収益率を参照してください。

タルムード（紀元 500 年頃）は、お金の時間的価値を認めています。タルムードの Tractate Makkos の 3a ページでは、証人がローンの期間は実際には 10 年であるのに、30 日であると偽って主張した事例が取り上げられています。偽りの証人は、「30 日以内に返済しなければならない状況ではローンの価値の差額を支払わなければなりません...また、10 年以内に返済しなければならない状況では同じ金額を支払わなければなりません...この差額は、（偽りの）証人の証言が借り手に失わせようとした金額であり、したがって、彼らが支払わなければならない金額です。」^[2]

この概念は後にサラマンカ学派のマルティン・デ・アスピルクエタ(1491–1586)によって説明されました。

貨幣の時間価値の問題には、さまざまな時点でのキャッシュフローの純価値が関係します。

典型的なケースでは、変数は、残高（通貨単位で表した負債または金融資産の実質または名目価値）、定期的な利率、期間数、一連のキャッシュフローなどです。（負債の場合、キャッシュフローは元本と利息に対する支払いであり、金融​​資産の場合、これらは残高への入金または残高からの引出しです。）より一般的には、キャッシュフローは定期的ではなく、個別に指定される場合があります。これらの変数のいずれかが、特定の問題の独立変数（求められる答え）である可能性があります。たとえば、次のことがわかっているとします。利息は期間あたり（たとえば、月あたり）0.5％です。期間数は60（月）。初期残高（この場合は負債）は25,000単位。最終残高は0単位。未知の変数は、借り手が支払わなければならない月々の支払いである可能性があります。

例えば、100ポンドを1年間投資して5%の利子を得ると、1年後には105ポンドの価値になります。したがって、インフレが0%であると仮定して5%の利子を期待する受取人にとって、今支払った100ポンドとちょうど1年後に支払った105ポンドはどちらも同じ価値があります。つまり、インフレが0%であると仮定すると、1年間5%の利子で投資した100ポンドの将来価値は105ポンドになります。^[3]

この原則により、将来の可能性のある収入の流れを評価することができます。つまり、年間収入を割り引いて合計し、収入の流れ全体の「現在価値」を一括で算出します。貨幣の時間価値の標準的な計算はすべて、将来の金額の現在価値を表す最も基本的な代数式から導き出されます。この式は、貨幣の時間価値に等しい金額で現在に「割り引かれ」ます。たとえば、1 年間に受け取る将来の価値の合計を利率で割り引くと、現在の価値の合計は次のようになります。${\displaystyle FV}$${\displaystyle r}$${\displaystyle PV}$

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+r)}}}$

金銭の時間的価値に基づく標準的な計算は次のとおりです。

• 現在価値:特定の収益率を前提とした、将来の金額またはキャッシュフローの現在の価値。将来のキャッシュフローは割引率で「割り引かれ」ます。割引率が高いほど、将来のキャッシュフローの現在価値は低くなります。適切な割引率を決定することは、収益であれ債務であれ、将来のキャッシュフローを適切に評価するための鍵です。 ^[4]
• 年金の現在価値: 年金とは、等間隔で発生する一連の同額の支払いまたは受け取りです。リースやレンタルの支払いがその例です。支払いまたは受け取りは、通常の年金の場合、各期間の終わりに発生しますが、満期年金の場合、各期間の初めに発生します。

永久債の現在価値は、同一のキャッシュフローの無限かつ一定の流れである。^[5]

• 将来価値：現在の資産の価値に基づいて、将来の特定の日付における資産または現金の価値。 ^[6]
• 年金の将来価値 (FVA) : 支払いが所定の利率で投資されると仮定した場合の、一連の支払い (年金) の将来価値。

上記の等式を表す基本方程式はいくつかあります。ほとんどの場合、数式、金融計算機、またはスプレッドシートを使用して解を求めることができます。数式はほとんどの金融計算機といくつかのスプレッドシート関数（PV、FV、RATE、NPER、PMTなど）にプログラムされています。^[7]

以下の方程式のいずれの場合も、式を並べ替えて他の未知数の 1 つを決定することもできます。標準の年金式の場合、利率の閉じた形式の代数解は存在しません (ただし、金融計算機やスプレッドシート プログラムでは、迅速な試行錯誤アルゴリズムを通じて簡単に解を決定できます)。

これらの方程式は、特定の用途のために頻繁に組み合わせられます。たとえば、債券はこれらの方程式を使用して簡単に価格設定できます。一般的なクーポン債券は、年金に似たクーポン支払いの流れと、債券の満期終了時の一括資本返済、つまり将来の支払いの 2 種類の支払いで構成されます。2 つの式を組み合わせると、債券の現在価値を決定できます。

重要な注意点は、利率iは関連する期間の利率であるということです。1 年に 1 回支払いが行われる年金の場合、i は年間利率になります。異なる支払いスケジュールの収入または支払いストリームの場合、利率は関連する期間利率に変換する必要があります。たとえば、毎月の支払いがある住宅ローンの月利は、利率を 12 で割る必要があります (以下の例を参照)。異なる期間利率の変換の詳細については、 複利を参照してください。

計算における収益率は、解を求める変数、または割引率、利子、インフレ、収益率、自己資本コスト、負債コスト、その他の類似概念を測定する定義済みの変数のいずれかになります。適切な率を選択することが計算にとって重要であり、不適切な割引率を使用すると結果が意味をなさなくなります。

年金に関する計算では、支払いを各期間の終わりに行うか (普通年金と呼ばれる)、各期間の初めに行うか (支払期日年金と呼ばれる) を決定する必要があります。金融計算機またはスプレッドシートを使用する場合、通常はどちらの計算にも設定できます。次の式は普通年金用です。支払期日年金の現在価値の答えは、普通年金の現在価値に (1 + i ) を掛けることで得られます。

次の式では、これらの共通変数を使用します。

• PVはゼロ時点の値（現在価値）です。
• FVはn時点の値（将来価値）です。
• Aは各複利期間における個々の支払いの値である
• nは周期数です（必ずしも整数ではありません）
• iは各期間に複利で計算される利率である
• gは各期間における支払いの増加率である

将来価値( FV )の式も同様で、同じ変数を使用します。

${\displaystyle FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}}$

現在価値の計算式は、お金の時間的価値の中心的な計算式です。他の計算式はすべてこの計算式から派生しています。たとえば、年金の計算式は、一連の現在価値計算の合計です。

現在価値( PV )の式には 4 つの変数があり、それぞれは数値法で解くことができます。

${\displaystyle PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}$

将来のキャッシュフローの累積現在価値は、時刻tにおけるキャッシュフローの値であるFV _tの寄与を合計することによって計算できます。

${\displaystyle PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}}$

この級数はnの与えられた値、またはnが∞のときに合計できることに注意する。^[8]これは非常に一般的な式であり、以下に示すいくつかの重要な特殊なケースにつながります。

この場合、キャッシュフローの値はn期間を通じて同じままです。年金の現在価値(PVA) の式には 4 つの変数があり、それぞれを数値法で解くことができます。

${\displaystyle PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]}$

満期年金の現在価値を求めるには、上記の式に (1 + i ) を掛けます。

この場合、各キャッシュフローは (1+ g )倍に増加します。年金の計算式と同様に、増加型年金の現在価値 (PVGA) では、同じ変数に年金の増加率としてgを追加して使用します (A は最初の期間の年金支払額)。これは、金融計算機ではほとんど提供されていない計算です。

i ≠ g の場合:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over (ig)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]}$

ここで i = g :

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}}$

満期を迎える増加型年金の現在価値を求めるには、上記の式に (1 + i ) を掛けます。

永久年金とは、定期的に発生し、永久に継続する一定額の支払いです。n → ∞ の場合、永久年金の計算式の現在 価値は単純な割り算になります。

${\displaystyle PV(P)\ =\ {A \over i}}$

永久年金支払額が固定率 ( g、ただしg < i ) で増加する場合、値は次の式に従って決定されます。この式は、増加永久年金の前の式でn を無限大に設定することによって得られます。

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over ig}}$

実際には、正確な特性を持つ証券はほとんどなく、この評価アプローチの適用にはさまざまな条件と修正が必要です。最も重要なのは、固定成長率と真の永久キャッシュフロー生成を備えた成長永久年金を見つけることはまれであるということです。これらの条件にもかかわらず、一般的なアプローチは、不動産、株式、およびその他の資産の評価に使用できます。

これは、株価評価に使用されるよく知られたゴードン成長モデルです。

年金の将来価値（FVA）の式には 4 つの変数があり、それぞれは数値法で解くことができます。

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$

支払予定年金の公正価値を求めるには、上記の式に (1 + i) を掛けます。

増加型年金 (FVA) 式の将来価値 ( n期間後) には 5 つの変数があり、それぞれは数値法で解くことができます。

i ≠ g の場合:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}}$

ここで i = g :

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}}$

次の表は、お金の時間的価値を計算する際に一般的に使用されるさまざまな計算式をまとめたものです。^[9]これらの値は、金利と時間が指定されている表によく表示されます。

注:

• Aは固定支払額で、毎期
• G は増加する支払額の初期支払額であり、Gから始まり、その後の各期間でGずつ増加します。
• D は、指数関数的に（幾何的に）増加する支払額の初期支払額であり、Dから始まり、その後の各期間に（1+ g ）倍ずつ増加します。

将来の定期的な支払い（年金）の現在価値の式は、以下のように、将来の単一の支払いの将来価値の式の合計から導き出されます。ここで、C は支払い額、n は期間 です。

将来の時点mにおける単一の支払い C は、将来の時点nにおいて次の将来価値を持ちます。

${\displaystyle FV\ =C(1+i)^{n-m}}$

時刻1から時刻nまでのすべての支払いを合計し、その後tを逆にする

${\displaystyle FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}}$

これは等比級数であり、初期値はa = C、乗数は1 + i、n項であることに注意してください。等比級数の公式を適用すると、次のようになります。

${\displaystyle FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}}$

年金の現在価値（PVA）は、次のように単純に割ることで得られます。 ${\displaystyle (1+i)^{n}}$

${\displaystyle PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}$

年金の将来価値を導き出すもう 1 つのシンプルで直感的な方法は、利息が年金として支払われ、元本が一定である基金を検討することです。この仮想基金の元本は、利息が年金支払額に等しいものとして計算できます。

${\displaystyle {\text{Principal}}\times i=C}$

${\displaystyle {\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}}$

基金元本 + 積立年金支払いの組み合わせシステムにはお金が出入りしないことに注意してください。したがって、このシステムの将来価値は、将来価値の式で簡単に計算できます。

${\displaystyle FV=PV(1+i)^{n}}$

当初、支払いが行われる前は、システムの現在価値は単に基金元本 です。最終的に、将来価値は基金元本 (同じ) と総年金支払額の将来価値 ( ) を加えたものになります。これを方程式に戻すと、次のようになります。 ${\displaystyle PV={\frac {C}{i}}}$${\displaystyle FV={\frac {C}{i}}+FVA}$

${\displaystyle {\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}}$

${\displaystyle FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]}$

ここでは正式な導出は示しませんが、永久金利の式は年金の式から導き出されます。具体的には、次の用語です。

${\displaystyle \left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)}$

nが大きくなるにつれて、1 の値に近づくことがわかります。無限大では 1 に等しくなり、唯一の項が残ります。 ${\displaystyle {C \over i}}$

連続複利金利の等価額の方が便利 (たとえば、より簡単に区別できる) であるため、利率は連続複利金利の等価額に変換されることがあります。上記の各式は、連続複利金利で言い換えることができます。たとえば、時刻tの将来の支払いの時刻 0 における現在価値は、次のように言い換えることができます。ここで、eは自然対数の底、 rは連続複利金利です。

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}$

これは、時間とともに変化する割引率に一般化できます。一定の割引率 r の代わりに、時間の関数r ( t ) を使用します。その場合、時間Tにおけるキャッシュフローの割引率、つまり現在価値は、連続複利率r ( t ) の積分によって与えられます。

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}$

実際、連続複利を使用する主な理由は、変動する割引率の分析を簡素化し、微積分のツールを使用できるようにすることです。さらに、一晩で発生して資本化された利息（つまり毎日複利計算）の場合、連続複利は実際の毎日の複利計算に近い近似値になります。より高度な分析には、以下で説明するように、微分方程式の使用が含まれます。

連続複利を使用すると、さまざまな金融商品に対して次の式が得られます。

年金

${\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}}$

永久

${\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}}$

年金の増加

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}}$

永続性の成長

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}}$

継続支払い年金

${\displaystyle \ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}}$

これらの式は、支払いAが最初の支払期間に行われ、年金がt時点で終了することを前提としています。^[10]

常微分方程式と偏 微分方程式(ODE とPDE)は、導関数と 1 つまたは複数の変数を含む方程式で、金融数学のより高度な処理では広く使用されています。 お金の時間価値は微分方程式のフレームワークを使用しなくても理解できますが、微分方程式の高度な機能により時間価値がさらに理解しやすくなり、より複雑で馴染みのない状況を検討する前に簡単な入門書として役立ちます。 この解説は以下を参照してください (Carr & Flesaker 2006、pp. 6–7)。   

微分方程式の観点がもたらす根本的な変化は、数値(現在の値) を計算するのではなく、関数(現在の値または将来の任意の時点での値) を計算することです。この関数は、時間の経過とともに値がどのように変化するかを分析したり  、他の関数と比較したりすることができます。   

正式には、「価値は時間の経過とともに減少する」という記述は、線形微分演算子を 次のように定義することによって与えられます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).}$

これは、価値が割引率（r ( t )）で時間（ _∂t ）とともに減少（−）することを示しています。関数に適用すると次のようになります。

${\displaystyle {\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).}$

支払いストリームがf ( t )で記述される金融商品の場合、値V ( t ) は非同次一次常微分方程式を 満たします(「非同次」は0 ではなくfを持つため、「一次」は一次導関数を持つがそれより高次の導関数を持たないためです) 。これは、キャッシュフローが発生すると、金融商品の価値がキャッシュフローの値だけ変化するという事実をエンコードします (10 ポンドのクーポンを受け取った場合、残りの価値はちょうど 10 ポンド減少します)。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}V=f}$  

ODE の解析における標準的な手法ツールはグリーン関数であり、これを使って他のソリューションを構築することができます。お金の時間価値の観点から見ると、グリーン関数 (時間価値 ODE の場合) は、ある時点u で 1 ポンドを支払う債券の価値です。他のキャッシュフロー ストリームの価値は、この基本的なキャッシュフローの組み合わせによって得られます。数学的には、この瞬間的なキャッシュフローは ディラックのデルタ関数としてモデル化されます。 ${\displaystyle \delta _{u}(t):=\delta (t-u).}$

時刻uにおける1ポンドのキャッシュフローの時刻tにおける価値のグリーン関数は、

${\displaystyle b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)}$

ここで、H はヘヴィサイドのステップ関数です。" " という表記は、uがパラメータ（いずれの場合も固定、つまりキャッシュフローが発生する時間）であるのに対し、tは変数（時間）であることを強調するためのものです。言い換えると、将来のキャッシュフローは将来の割引率（将来については r ( v )、割引率についてはr ( v )）の合計（積分、）によって指数的に割引（exp）されますが、過去のキャッシュフローはすでに発生しているため、その価値は 0（ ）です。キャッシュフローの瞬間の値は明確に定義されていないことに注意してください。その時点では不連続性があり、慣例を使用するか（キャッシュフローがすでに発生していると想定するか、まだ発生していないと想定するか）、その時点での値を定義しないこともできます。 ${\displaystyle ;u}$  ${\displaystyle \textstyle {\int }}$${\displaystyle \textstyle {\int _{t}^{u}}}$${\displaystyle H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u}$  

割引率が一定の場合、これは次のように単純化される。 ${\displaystyle r(v)\equiv r,}$

${\displaystyle b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}}$

「キャッシュフローまでの残り時間」は どこでしょうか。${\displaystyle (u-t)}$

したがって、時間Tで終了するキャッシュフローのストリームf ( u )の場合(時間範囲を指定しない場合は に設定可能)、時間 t での値は、これらの個々のキャッシュフローの値を組み合わせることによって与えられます。 ${\displaystyle T=+\infty }$ ${\displaystyle V(t;T)}$

${\displaystyle V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.}$

これは、金銭の時間価値を、割引率が変動するキャッシュフローの将来価値に形式化するもので、金利が変動するブラック・ショールズ式など、金融数学の多くの公式の基礎となっています。

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