理想の象徴的な力

代数学と代数幾何学において、可換 ネーター環 とその中のイデアルが与えられたとき、のn次の記号的冪はイデアルである。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I^{(n)}=\bigcap _{P\in \operatorname {Ass} (R/I)}\varphi _{P}^{-1}(I^{n}R_{P})}$

ここで はにおけるの局在であり、 は環からその局在への標準写像であり、交差点はの関連する素数すべてを通ります。 ${\displaystyle R_{P}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \varphi_{P}:R\toR_{P}}$${\displaystyle R/I}$

この定義では が素数である必要はありませんが、素イデアルの場合、記号冪はの -主成分として定義できるため、この仮定はよく使用されます。非常に大まかに言えば、 はによって定義される多様体に沿ったn次零点を持つ関数で構成されます。次式が成り立ち、が極大イデアルである場合、となります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I^{n}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I^{(1)}=I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I^{(n)}=I^{n}}$

象徴的な力は次のような理想の連鎖を引き起こします。

${\displaystyle I^{(0)}=R\supset I=I^{(1)}\supset I^{(2)}\supset I^{(3)}\supset I^{(4)}\supset \cdots }$

記号冪の研究と使用は、可換代数において長い歴史を持つ。クルルの主イデアル定理の有名な証明は、記号冪を本質的に使用している。記号冪は、ネーター環の一次分解が証明された後に初めて登場した。ザリスキは、代数多様体の解析正規性の研究で記号冪を使用した。位相を比較するシュヴァレーの有名な補題は、完全局所領域では、任意の素数の記号冪位相はm進位相よりも細かいことを述べている。ハーツホーンとリヒテンバウムの局所コホモロジーに関する消失定理の重要なステップは、完全局所領域で曲線を定義する素数について、 の冪がの記号冪と共終的であることを利用する。共終的であるというこの重要な特性は、1970 年代にシェンツェルによってさらに発展させられた。^[1]${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

が の生成元 によって として与えられるとき、 の通常の累乗の生成元はよく理解されていますが、の記号累乗の生成元を決定することは多くの場合依然として非常に困難です。しかし、幾何学的な設定では、 が特性 0の代数的に閉じた体上の根基イデアルである場合、 には明確な幾何学的解釈があります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{k})}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

が の消滅イデアルを持つ既約多様体である場合、の微分冪はにおけるn以上の位数まで消滅するすべての関数 から成り、すなわち ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle I^{\langle n\rangle }:=\{f\in R\mid f{\text{ は }}X のすべてで }}\geq n{\text{ の順序に消える\}。}$

あるいは、 が点 の最大イデアルである場合、となります。 ${\displaystyle \mathbf {m} _{p}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle I^{\langle n\rangle }=\bigcap _{p\in X}\mathbf {m} _{p}^{n}}$

定理（永田、ザリスキ）^[2]を代数閉体上の 多項式環の素イデアルとする。すると${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots,x_{N}]}$

${\displaystyle I^{(m)}=I^{\langle m\rangle }}$

この結果は任意の根基イデアルに拡張できる。^[3]この定式化は非常に有用である。なぜなら、特性ゼロでは、生成元に関して微分冪を次のように計算できるからである。

${\displaystyle I^{\langle m\rangle }=\left\langle f\mid {\frac {\partial ^{\mathbf {a} }f}{\partial x^{\mathbf {a} }}}\in I{\text{ すべての }}\mathbf {a} \in \mathbb {N} ^{N}{\text{ ただし }}|\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\leq m-1\right\rangle }$

別の定式化として、基底環が体 上の多項式環である場合を考えることができる。この場合、n 次記号冪を 上のすべての関数芽の層として解釈することができる。 実際、 が完全体上の滑らかな多様体である場合、 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R){\text{ vanishing to order}}\geq n{\text{ at }}Z=V(I)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle I^{(n)}=\{f\in R\mid f\in \mathbf {m} ^{n}{\text{ for every closed point }}\mathbf {m} \in Z\}}$^[1]

記号的冪が通常の冪と一致するかどうか、つまり が成り立つかどうかを考えるのは自然なことです。一般にはそうではありません。その一例は素イデアル です。ここでは となります。^[1] しかし、 は成り立ち、この包含の一般化はよく理解されています。実際、包含は定義から得られます。さらに、の場合に限り であることがわかっています。証明は中山の補題から得られます。^[4]${\displaystyle I^{n}=I^{(n)}}$${\displaystyle P=(x^{4}-yz,\,y^{2}-xz,\,x^{3}y-z^{2})\subseteq K[x,y,z]}$${\displaystyle P^{2}\neq P^{(2)}}$${\displaystyle P^{2}\subset P^{(2)}}$${\displaystyle I^{n}\subseteq I^{(n)}}$${\displaystyle I^{r}\subseteq I^{(m)}}$${\displaystyle m\leq r}$

象徴的冪がイデアルの通常の冪に含まれる場合の、もう一方の包含については、包含問題と呼ばれる広範な研究が行われてきました。これもまた、次の定理にまとめられた簡単に述べられる答えがあります。これは、アイン、ラザーフェルド、スミスによって特性ゼロで開発され^{[5] 、ホクスターとフネケによって}正特性に拡張されました。^{[6]彼らの論文は両方とも、}イレーナ・スワンソンのLinear Equivalence of Ideal Topologies (2000)の結果に基づいています。^[7]

定理（アイン、ラザーフェルト、スミス、ホクスター、フネケ）を同次イデアルとする。このとき包含関係は ${\displaystyle I\subset K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}]}$

${\displaystyle I^{(m)}\subset I^{r}}$ すべてに当てはまる${\displaystyle m\geq Nr.}$

後に、定理の境界は一般のイデアルに対しては厳密化できないことが検証された。 ^[8]しかし、Bocci、Harbourne、Hunekeによって提起された疑問^[8]に従って、いくつかのケースではより良い境界が存在することが発見された。 ${\displaystyle N}$

定理すべての包含関係が成り立つ ${\displaystyle I^{(m)}\subseteq I^{r}}$${\displaystyle m\geq Nr-N+1}$

1. 特性2の任意のイデアルに対して^[9]
2. 任意の特性を持つ単項式イデアルの場合^[4]
3. d-スターの理想^[8]
4. ^{[10] [11]}の一般点のイデアルについては${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}{\text{ and }}\mathbb {P} ^{3}}$

• メルビン・ホックスター、数学 711: 2007 年 9 月 7 日の講義