単項式イデアル

抽象代数学において、単項式イデアルは、体上の多変数多項式環の単項式によって生成されるイデアルです。

トーリックイデアルは、単項式の差によって生成されるイデアルです（イデアルが素数である場合）。トーリックイデアルまたは同次トーリックイデアルによって定義されるアフィンまたは射影代数多様体は、アフィンまたは射影トーリック多様体であり、非正規である可能性もあります。

を体とし、をn個の不定値を持つ上の多項式環とします。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle R=\mathbb {K} [x]}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle x=x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n}}$

の単項式は、非負整数のn組の積です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$

理想的な の場合、次の 3 つの条件は同等です。 ${\displaystyle I\subseteq R}$

1. ${\displaystyle I}$単項式によって生成される、
2. の場合、 がゼロでないことを条件に となります。${\textstyle f=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }x^{\alpha }\in I}$${\displaystyle x^{\alpha }\in I}$${\displaystyle c_{\alpha }}$
3. ${\displaystyle I}$トーラスが固定されている場合、つまり が与えられている場合、 はすべての に対して の作用の下で固定されています。${\displaystyle (c_{1},c_{2},\dotsc ,c_{n})\in (\mathbb {K} ^{*})^{n}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f(x_{i})=c_{i}x_{i}}$${\displaystyle i}$

これらの同等の条件のいずれかを満たす場合、 それは単項式イデアルであると言えます。${\displaystyle I\subseteq \mathbb {K} [x]}$

単項式イデアルが与えられたとき、が であることと、のすべての単項式イデアル項が の倍数であることに限ります。^[1]${\displaystyle I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})}$${\displaystyle f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m_{j}}$

証明:および が内にあると 仮定します。このとき、ある に対して となります。 ${\displaystyle I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})}$${\displaystyle f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f=f_{1}m_{1}+f_{2}m_{2}+\dotsm +f_{k}m_{k}}$${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$

すべての に対して、それぞれを単項式の和として表すことができるため、は の倍数の和として表すことができます。したがって、の少なくとも 1 つに対して、 は単項式の倍数の和になります。 ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant k}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m_{i}}$

逆に、 とし、 の各単項式項をの1 つの単項式の倍数とします。すると、 の各単項式項はの各単項式から因数分解できます。したがって、は一部の に対して の形となり、結果として となります。 ${\displaystyle I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})}$${\displaystyle f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},...,x_{n}]}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f=c_{1}m_{1}+c_{2}m_{2}+\dotsm +c_{k}m_{k}}$${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$${\displaystyle f\in I}$

以下に単項式イデアルと多項式イデアルの例を示します。

すると、多項式はIに含まれます。これは、各項がJの要素の倍数であるためです。つまり、これらは および と書き直すことができ、どちらもIに含まれるからです。しかし、の場合、この多項式の項はJの要素の倍数ではないため、この多項式はJに含まれません。 ${\displaystyle I=(xyz,y^{2})}$${\displaystyle x^{2}yz+3xy^{2}}$${\displaystyle x^{2}yz=x(xyz)}$${\displaystyle 3xy^{2}=3x(y^{2}),}$${\displaystyle J=(xz^{2},y^{2})}$${\displaystyle x^{2}yz+3xy^{2}}$

二変数単項式イデアルは、ヤング図として解釈できます。

をにおける単項式イデアルとし、は体とする。このイデアルは、 およびの形の の唯一 の極小生成集合を持つ。 における単項式とは、およびが存在するような単項式である。^[2]単項式が平面上の点で表される 場合、 における単項式によって形成される図形は、その形からの階段と呼ばれることが多い。この図では、極小生成元がヤング図の内側の角を形成している。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle I\subset k[x,y],}$${\displaystyle k}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \{x^{a_{1}}y^{b_{1}},x^{a_{2}}y^{b_{2}},\ldots ,x^{a_{k}}y^{b_{k}}\}}$${\displaystyle a_{1}>a_{2}>\dotsm >a_{k}\geq 0}$${\displaystyle b_{k}>\dotsm >b_{2}>b_{1}\geq 0}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x^{a}y^{b}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}\leq a}$${\displaystyle b_{i}\leq b.}$${\displaystyle x^{a}y^{b}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I,}$

にない単項式は階段の下にあり、商環のベクトル空間基底を形成します。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle k[x,y]/I}$

たとえば、単項式イデアルを考えてみましょう。グリッド ポイントの集合は、最小の単項式生成子に対応します。すると、図に示すように、ピンク色のヤング図は に含まれない単項式で構成されます。ヤング図の内側の角にある点により、緑色のボックスで示されるの最小の単項式を識別できます。したがって、 です。 ${\displaystyle I=(x^{3},x^{2}y,y^{3})\subset k[x,y].}$${\displaystyle S={\{(3,0),(2,1),(0,3)}\}}$${\displaystyle x^{3}y^{0},x^{2}y^{1},x^{0}y^{3}.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x^{0}y^{3},x^{2}y^{1},x^{3}y^{0}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=(y^{3},x^{2}y,x^{3})}$

一般に、任意のグリッド ポイントの集合にヤング図を関連付けることができるため、階段図を構成する内側のコーナーを決定することで単項式イデアルを構築できます。同様に、単項式イデアルが与えられている場合は、 を見て、それらをヤング図の内側のコーナーとして表すことで、ヤング図を作成できます。内側のコーナーの座標は、 内の最小単項式の累乗を表します。したがって、単項式イデアルは、分割のヤング図によって記述できます。 ${\displaystyle (a_{i},b_{j})}$${\displaystyle I}$

さらに、上のベクトル空間としてのの集合への -作用は、単項式イデアルのみに対応する不動点を持ち、これはサイズnの整数分割に対応し、これはn個のボックスを持つヤング図によって識別されます。 ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{2}}$${\displaystyle I\subset \mathbb {C} [x,y]}$${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [x,y]/I=n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

単項式順序とは、単項式が単項式である場合に、となるような単項式の集合上の整列順序です。 ${\displaystyle \geq }$${\displaystyle a,m_{1},m_{2}}$${\displaystyle am_{1}\geq am_{2}}$

単項式順序により、 の多項式について次の定義を述べることができます。 ${\displaystyle \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$

定義^[1]

1. 理想的な と固定された単項式順序付けを考えます。で表される非ゼロ多項式 の主要項は、における最大順序付けの単項式項であり、 の主要項はです。${\displaystyle I\subset \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$${\displaystyle f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$${\displaystyle LT(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle 0}$
2. 主要項 のイデアルはと表記され、イデアル内のすべての要素の主要項によって生成されるイデアル、つまり です。${\displaystyle LT(I)}$${\displaystyle LT(I)=(LT(f)\mid f\in I)}$
3. イデアルのグレブナー基底は、その主要項が のすべての主要項のイデアル、すなわち、および を生成するような生成子の有限集合です。${\displaystyle I\subset \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$${\displaystyle {\{g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s}}\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=(g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s})}$${\displaystyle LT(I)=(LT(g_{1}),LT(g_{2}),\dotsc ,LT(g_{s}))}$

一般に、 は使用される順序に依存することに注意してください。たとえば、x > yを条件としての辞書式順序を選択した場合はとなりますが、 y > xとするととなります。 ${\displaystyle LT(I)}$${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$${\displaystyle LT(2x^{3}y+9xy^{5}+19)=2x^{3}y}$${\displaystyle LT(2x^{3}y+9xy^{5}+19)=9xy^{5}}$

さらに、グレブナー基底上に単項式が存在し、いくつかの不定値における多項式の除算アルゴリズムを定義します。

単項式イデアル に対して、生成元の有限集合は のグレブナー基底であることに注意してください。これを確認するには、任意の多項式がに対してと表現できることに注目してください。すると、 の主要項は、ある に対して倍数になります。その結果、は同様に によって生成されます。 ${\displaystyle I=(g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s})\in \mathbb {F} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$${\displaystyle {\{g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s}}\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f\in I}$${\displaystyle f=a_{1}g_{1}+a_{2}g_{2}+\dotsm +a_{s}g_{s}}$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {F} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle LT(I)}$${\displaystyle g_{i}}$

• スタンレー・ライスナー環
• ホッジ代数

• ミラー、エズラ。Sturmfels、Bernd (2005)、Combinatorial Commutative Algebra、Graduate Texts in Mathematics、vol. 227、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 0-387-22356-8
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