構造安定性

数学において、構造安定性は動的システムの基本的な特性であり、軌道の質的動作が小さな摂動（正確にはC ¹の小さな摂動）によって影響を受けないことを意味します。

このような質的特性の例としては、不動点の数や周期軌道（ただし、周期は除く）がある。固定システムの初期条件の摂動を考慮するリャプノフ安定性とは異なり、構造安定性はシステム自体の摂動を扱う。この概念の変形は、常微分方程式のシステム、滑らかな多様体上のベクトル場とそれによって生成される流れ、および微分同相写像に適用される。

構造的に安定なシステムは、1937 年にアレクサンドル アンドロノフとレフ ポンチャギンによって「粗いシステム」という名前で導入されました。彼らは、平面における粗いシステムの特徴付け、アンドロノフ-ポンチャギンの基準を発表しました。この場合、構造的に安定なシステムは典型的であり、適切な位相を備えたすべてのシステムの空間で開いた稠密な集合を形成します。高次元ではこれは当てはまらなくなり、典型的なダイナミクスが非常に複雑になる可能性があることを示しています (ストレンジ アトラクターを参照)。任意の次元における構造的に安定なシステムの重要なクラスは、アノソフの微分同相写像とフローによって与えられます。1950 年代後半から 1960 年代前半にかけて、マウリシオ ペイショットとマリリア チャベス ペイショットは、アンドロノフとポンチャギンの研究に刺激を受けて、ペイショットの定理を開発し、証明しました。これは、構造安定性の最初のグローバルな特徴付けです。 ^[1]

G をR ⁿ内のコンパクトな閉包と滑らかな ( n −1) 次元境界を持つ開領域とする。Gの境界を横断し内側を向いたR ⁿ上のC ¹ベクトル場によるGへの制限からなる空間X ¹ ( G ) を考える。この空間には、通常の方法でC ¹計量が備わっている。ベクトル場F ∈ X ¹ ( G )は、十分に小さい任意の摂動F ₁に対して、対応するフローがG上で位相的に同値である場合、すなわち、 Fの有向軌道をF ₁の有向軌道に変換する同相写像h : G → Gが存在する場合、弱構造安定である。さらに、任意のε > 0に対して、 F _{1 が}εに依存するFの適切な近傍に属するときに、同相写像h を恒等写像にC ⁰ ε近くなるように選択できる場合、F は(強)構造安定であると呼ばれる。これらの定義は、境界を持つn次元コンパクト滑らかな多様体の場合に直接拡張されます。アンドロノフとポンチャギンはもともと強い性質を考慮しました。ベクトル場とフローの代わりに微分同相写像に対して類似の定義を与えることができます。この設定では、同相写像h は位相共役でなければなりません。

位相同値は滑らかさの損失を伴って実現されることに注意することが重要です。つまり、写像h は一般に微分同相写像にはなり得ません。さらに、位相同値は有向軌道を尊重しますが、位相共役とは異なり、時間互換性がありません。したがって、位相同値の関連概念は、ベクトル場の単純なC ^{1共役性を大幅に弱めています。これらの制限がなければ、固定点または周期軌道を持つ連続時間システムは構造的に安定ではありませんでした。弱構造安定システムは}X ¹ ( G )の開集合を形成しますが、同じ特性が強い場合にも当てはまるかどうかは不明です。

境界を横断する単位円板D上および二球面S ^2上のC ¹ベクトル場が構造的に安定するための必要十分条件は、アンドロノフとポントリャーギンの基礎論文で決定されている。アンドロノフ-ポントリャーギンの基準によれば、そのような場が構造的に安定するのは、有限個の特異点 (平衡状態) と周期軌道 (リミットサイクル) のみを持ち、それらはすべて非退化 (双曲的) であり、鞍点間の接続を持たない場合のみである。さらに、システムの非移動集合は、まさに特異点と周期軌道の和集合である。特に、2 次元の構造的に安定なベクトル場は、アンリ・ポアンカレによって発見されたように、ダイナミクスを非常に複雑にするホモクリニック軌道を持つことができない。

トーラス上の非特異な滑らかなベクトル場の構造安定性は、ポアンカレとアルノー・デンジョイによって開発された理論を使用して調べることができます。ポアンカレの回帰写像を使用すると、問題は円の微分同相写像の構造安定性を決定することに帰着します。デンジョイの定理の結果として、円の向きを保存するC ²微分同相写像ƒが構造的に安定であるためには、その回転数が有理数ρ ( ƒ ) = p / qであり、周期軌道 (すべて周期qを持つ) が非退化である必要があります。つまり、周期点でのƒ ^qのヤコビアンが1 と異なります (円写像を参照) 。

ドミトリ・アノソフは、アーノルドの猫写像のようなトーラスの双曲的自己同型が構造的に安定であることを発見した。彼はその後、この主張をより広いクラスの系に一般化し、それ以来、これらはアノソフ微分同相写像やアノソフフローと呼ばれるようになった。アノソフフローの有名な例の 1 つは、一定の負の曲率を持つ表面上の測地線フローである (アダマールビリヤードを参照)。

システムの構造的安定性は、動的システムの定性的理論を具体的な物理システムの分析に適用する正当性を提供します。このような定性的分析のアイデアは、天体力学の三体問題に関するアンリ・ポアンカレの研究に遡ります。同じ頃、アレクサンドル・リャプノフは、個々のシステムの小さな摂動の安定性を厳密に調査しました。実際には、さまざまな小さな相互作用が存在するため、システムの進化法則 (つまり微分方程式) が正確にわかることはありません。したがって、進化が特定の既知の物理法則によって制御される「モデル」システムの小さな摂動に対して、ダイナミクスの基本的な特徴が同じであることを知ることが重要です。定性分析は1920 年代にジョージ・バーコフによってさらに発展させられましたが、1937 年にアンドロノフとポンチャギンによってラフ システムの概念が導入されて初めて形式化されました。これは、アンドロノフ、ウィット、カイキンによって振動を伴う物理システムの分析にすぐに適用されました。「構造安定性」という用語は、彼らのモノグラフの英訳を監督したソロモン・レフシェッツに由来します。構造安定性のアイデアは、 1960 年代に双曲力学の文脈でスティーブン・スメールとその学校によって取り上げられました。それ以前に、マーストン・モースとハスラー・ホイットニーが開始し、ルネ・トムが微分写像の安定性の並行理論を開発しました。これは特異点理論の重要な部分を形成します。トムはこの理論の生物システムへの応用を構想しました。スメールとトムはどちらも、1950 年代後半にペイショトの定理を開発したマウリシオ・ペイショトと直接連絡を取りながら研究しました。

スメールは双曲型力学系の理論を展開し始めたとき、構造的に安定な系が「典型的」であることを期待した。これは、低次元の状況、すなわち流れに対しては次元 2、微分同相に対しては次元 1 と一致していた。しかし、彼はすぐに、任意の小さな摂動では構造的に安定にできない高次元多様体上のベクトル場の例を発見した (そのような例は後に次元 3 の多様体上に構築された)。これは、高次元では構造的に安定な系が稠密ではないことを意味する。さらに、構造的に安定な系は、位相空間がコンパクトであっても、双曲型鞍型閉軌道と無限個の周期軌道の横断ホモクリニック軌道を持つ可能性がある。アンドロノフとポンチャギンが考えた構造的に安定な系の最も近い高次元類似体は、モース-スメール系である。

• 恒常性
• 自己安定化
• 超安定化
• 安定性理論

• アンドロノフ、アレクサンドル A. ;レフ・S・ポントリャギン(1988) [1937]。 VI アーノルド (編)。「Грубые системы」 [粗いシステム]。微分方程式理論における幾何学的手法。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、250、Springer-Verlag、ニューヨーク。ISBN 0-387-96649-8。
• DV アノソフ (2001) [1994]、「ラフシステム」、数学百科事典、EMS プレス
• Charles Pugh およびMaurício Matos Peixoto (編著)。 「構造の安定性」。スカラーペディア。