粘性流体中の物体の速度の方程式
流体力学 において 、 ストークスの法則は、 粘性 流体 中を非常に小さな レイノルズ数で運動する 球状 物体 に働く摩擦力（ 抗力 とも呼ばれる）を表します 。 [1]この法則は、1851年に ジョージ・ガブリエル・ストークスによって、 ナビエ・ストークス方程式 の小さなレイノルズ数に対する ストークス流れ 限界を解くことで 導き出されました 。 [2]
法律の声明 粘性流体中を移動する小さな球にかかる粘性力は次のように表される: [3] [4]
ふ →
d
= − 6 π μ R
ヴ →
{\displaystyle {\vec {F}}_{\rm {d}}=-6\pi \mu R{\vec {v}}}
ここで（ SI単位系 ）：
ふ →
d
{\displaystyle {\vec {F}}_{\rm {d}}}
流体と粒子の界面に作用する ストークスの抗力 と呼ばれる摩擦力（ ニュートン 、kg ms −2 ）である。 μ （一部の著者は記号 η を使用する）は 動粘度 （ パスカル 秒、kg m −1 s −1 ）である。 R は 球体の半径（メートル）です。
ヴ →
{\displaystyle {\vec {v}}}
は物体に対する流れの速度 です (メートル/秒)。式内のマイナス記号に注意してください。抗力は相対速度と反対方向を指し、動きに抵抗します。 ストークスの法則は、流体中の粒子の挙動について次の仮定を立てています。
層流 慣性効果なし（ レイノルズ数 ゼロ） 球状 粒子 均質（組成が均一）な材料 滑らかな表面 粒子は互いに干渉しません。 必要な精度に応じて、これらの仮定を満たさない場合、より複雑なモデルの使用が必要になる場合とそうでない場合があります。たとえば、10% の誤差に抑えるには、速度を Re < 1 になる速度に制限する必要があります。
分子 の場合 、ストークスの法則を使用して ストークスの半径と直径を 定義します。
動粘性のCGS 単位 は、彼の研究にちなんで「ストークス」と名付けられました。
アプリケーション ストークスの法則は、流体が垂直のガラス管内で静止している落球 粘度計 の基礎です。サイズと密度がわかっている球が液体の中を下降します。正しく選択されていれば、球は終端速度に達します。終端速度は、管上の 2 つのマークを通過するのにかかる時間で測定できます。不透明な流体には電子センシングを使用できます。終端速度、球のサイズと密度、および液体の密度がわかれば、ストークスの法則を使用して流体の 粘度 を計算できます。計算の精度を向上させるために、古典的な実験では通常、直径の異なる一連の鋼製ボール ベアリングが使用されます。学校の実験では、 グリセリン または ゴールデン シロップ が流体として使用され、この手法は、プロセスで使用される流体の粘度を確認するために工業的に使用されています。いくつかの学校の実験では、粘度への影響を実証するために、使用する物質の温度や濃度を変えることがよくあります。工業的な方法には、さまざまな オイル 、および溶液などの ポリマー 液体が含まれます。
ストークスの法則の重要性は、少なくとも3つのノーベル賞につながる研究において重要な役割を果たしたという事実によって示されています。 [5]
ストークスの法則は、微生物 や 精子 の遊泳 、また 重力の力による水中の小さな粒子や生物の 沈降を理解する上で重要です。 [5]
空気中では、同じ理論を使って、小さな水滴（または氷の結晶）が臨界サイズまで成長して雨（または雪や雹）として降り始めるまで、空気中（雲として）に浮遊したままでいられる理由を説明できます。 [6] この方程式は、水や他の液体中の微粒子の沈降にも同様に使用できます。 [ 要出典 ]
流体中を落下する球の終端速度 流体中の落下球を過ぎるクリープ流（例：空中を落下する霧の滴）： 流線 、抗力 F d 、重力による力 F g 。 終端速度（または沈降速度） において、 球体の 重量 と 浮力（どちらも 重力によって生じる [7] ）の差によって生じる 過剰な力 F e は 次のように表される。
ふ
e
= （
ρ
p
−
ρ
ふ
） グ
4 3
π
R
3
、
{\displaystyle F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},}
ここで（ SI単位系 ）：
力のバランス F d = F e を要求し、速度 v について解くと、終端速度 v s が得られます。過剰力は R 3 に比例して増加し、ストークスの抗力は R に比例して増加するため、終端速度は R 2 に比例して増加し、以下に示すように粒子サイズによって大きく変化することに注意してください。粒子が粘性流体中を落下する際に自身の重量のみを受ける場合、 流体による粒子の摩擦力と 浮力の合計が 重力 とちょうど釣り合ったときに終端速度に達します。この速度 v [m/s] は次のように与えられます。 [7]
ヴ =
2 9
ρ
p
−
ρ
ふ
μ
グ
R
2
{
ρ
p
>
ρ
ふ
⟹
ヴ →
垂直に下向き
ρ
p
<
ρ
ふ
⟹
ヴ →
垂直に上向き
{\displaystyle v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ 垂直下向き}}\\\rho _{p}}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ 垂直上向き}}\end{cases}}}
ここで（SI単位系）：
g は重力場の強さ[m/s 2 ] R は球状粒子の半径[m] ρ p は粒子の質量密度 [kg/m 3 ] ρ f は 流体の質量密度[kg/m 3 ]である。 μは 動粘度 [kg/(m•s)] です。
導出
安定したストークスフロー ストークス流れ では、 レイノルズ数が 非常に低い場合 、 ナビエ・ストークス方程式 の 対流加速項は無視されます。すると、 非圧縮 定常流 の場合の流れ方程式は次のようになります 。 [8]
∇ p = μ
∇
2
あなた
= − μ ∇ ×
ω
、
∇ ⋅
あなた
= 0 、
{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} , \\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}
どこ：
pは 流体圧力 （Pa） です。 uは 流速 （m/s）であり 、 ω は 渦度 （s −1 ） あり
ω
= ∇ ×
あなた
。
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}=\nabla \times \mathbf {u} .}
いくつかのベクトル解析の恒等式 を使用すると、これらの方程式は 圧力と渦度ベクトルの各成分に対する ラプラス方程式 となることが示されます。 [8]
∇
2
ω
= 0
{\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0}
そして
∇
2
p
=
0.
{\displaystyle \nabla ^{2}p=0.}
重力や浮力などの追加の力は考慮されていませんが、上記の方程式は線形であるため簡単に追加でき、解と関連する力の 線形重ね合わせ を適用できます。
球面の周りの横方向の流れ 流体内の球を通り過ぎるクリープ流の流線。 ψ 関数の 等高線 (等高線ラベルの値)。 均一な遠方場の 流れの中の球の場合、 円筒座標系 ( r 、 φ 、 z ) を使用すると便利です 。 z 軸は球の中心を通り、平均の流れの方向と一致します。一方、 rは z 軸に垂直に測定された半径です 。 原点 は球の中心です。流れは z 軸の周りに 軸対称であるため、 方位角 φ とは無関係です 。
この円筒座標系では、非圧縮性の流れはr と z に依存する ストークス流関数 ψ で記述できる 。 [9] [10]
u
z
=
1
r
∂
ψ
∂
r
,
u
r
=
−
1
r
∂
ψ
∂
z
,
{\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}
ここで、 u r と u z は それぞれr 方向と z 方向の流速成分である 。この軸対称の場合、 φ方向の方位角速度成分はゼロに等しい。ある一定値 ψの表面 で 囲まれたチューブを通る体積流束は 2πψ に等しく 、一定である。 [9]
この軸対称流の場合、渦度ベクトルω の唯一の非ゼロ成分 は方位角 φ 成分 ω φ である[11] [12]
ω
φ
=
∂
u
r
∂
z
−
∂
u
z
∂
r
=
−
∂
∂
r
(
1
r
∂
ψ
∂
r
)
−
1
r
∂
2
ψ
∂
z
2
.
{\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}
ラプラス 演算子を 渦度ωφに適用すると 、 軸対称の円筒座標系では次のようになる。 [ 12]
∇
2
ω
φ
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
ω
φ
∂
r
)
+
∂
2
ω
φ
∂
z
2
−
ω
φ
r
2
=
0.
{\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}
前の2つの式から、適切な境界条件で、 z 方向の遠方場一様流速度 uと半径 R の球に対して 、解は [13]となることが分かる。
ψ
(
r
,
z
)
=
−
1
2
u
r
2
[
1
−
3
2
R
r
2
+
z
2
+
1
2
(
R
r
2
+
z
2
)
3
]
.
{\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}
円筒座標 と成分
における速度の解は次のようになります。
u
r
(
r
,
z
)
=
3
R
r
z
u
4
r
2
+
z
2
(
(
R
r
2
+
z
2
)
2
−
1
r
2
+
z
2
)
u
z
(
r
,
z
)
=
u
+
3
R
u
4
r
2
+
z
2
(
2
R
2
+
3
r
2
3
(
r
2
+
z
2
)
−
(
r
R
r
2
+
z
2
)
2
−
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}
遠方場速度 、球の半径 、水の粘度 (T = 20°C)のパラメータを持つ球の周りのストークス流 。速度場のフィールドラインと、速度、圧力、渦度の振幅が疑似カラーで表示されます。
u
∞
=
(
6
0
6
)
T
m/s
{\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }={\begin{pmatrix}6&0&6\end{pmatrix}}^{T}{\text{m/s}}}
R
=
1
m
{\displaystyle R=1\;{\text{m}}}
μ
=
1
mPa
⋅
s
{\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}
円筒座標における渦度の解は次のようになります。
ω
φ
(
r
,
z
)
=
−
3
R
u
2
⋅
r
r
2
+
z
2
3
{\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}
円筒座標における圧力の解は次のようになります。
p
(
r
,
z
)
=
−
3
μ
R
u
2
⋅
z
r
2
+
z
2
3
{\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}
球座標 における圧力の解は 次のようになります。
p
(
r
,
θ
)
=
−
3
μ
R
u
2
⋅
cos
θ
r
2
{\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}}
圧力の式は、 静電気学の概念に類似した
双極子 ポテンシャルとも呼ばれます。
任意の遠方場速度ベクトル を 直交座標 で表したより一般的な定式化は 次のようになります。
u
∞
{\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }}
x
=
(
x
,
y
,
z
)
T
{\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}
u
(
x
)
=
R
3
4
⋅
(
3
(
u
∞
⋅
x
)
⋅
x
‖
x
‖
5
−
u
∞
‖
x
‖
3
)
⏟
conservative: curl=0,
∇
2
u
=
0
+
u
∞
⏟
far-field
⏟
Terms of Boundary-Condition
−
3
R
4
⋅
(
u
∞
‖
x
‖
+
(
u
∞
⋅
x
)
⋅
x
‖
x
‖
3
)
⏟
non-conservative: curl
=
ω
(
x
)
,
μ
∇
2
u
=
∇
p
=
[
3
R
3
4
x
⊗
x
‖
x
‖
5
−
R
3
4
I
‖
x
‖
3
−
3
R
4
x
⊗
x
‖
x
‖
3
−
3
R
4
I
‖
x
‖
+
I
]
⋅
u
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}
ω
(
x
)
=
−
3
R
2
⋅
u
∞
×
x
‖
x
‖
3
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}
p
(
x
)
=
−
3
μ
R
2
⋅
u
∞
⋅
x
‖
x
‖
3
{\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}
この定式化では、 非保存 項はいわゆる ストークスレット の一種を表します。ストークスレットは、 ストークス流れ方程式の グリーン関数です。保存項は 双極子勾配場に等しくなります。渦度の式は、 電磁気学 の ビオ・サバールの法則 に類似しています 。
あるいは、より簡潔な方法で、速度場を次のように定式化することもできます。
u
(
x
)
=
[
I
+
H
(
R
3
4
1
‖
x
‖
)
−
S
(
3
R
4
‖
x
‖
)
]
⋅
u
∞
,
‖
x
‖
≥
R
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R}
、 ここで、 はヘッセ行列の微分演算子であり、 はラプラシアンとヘッセ行列の差として構成される微分演算子です。このようにして、解がクーロン型ポテンシャル ( ) と重調和型ポテンシャル ( ) の導関数から構成されていることが明示的に明らかになります。 ベクトルノルムに適用された 微分演算子は ストークスレットを生成します。
H
=
∇
⊗
∇
{\displaystyle \mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla }
S
=
I
∇
2
−
H
{\displaystyle \mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H} }
1
/
‖
x
‖
{\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}
‖
x
‖
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|}
S
{\displaystyle \mathrm {S} }
‖
x
‖
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|}
次の式は、ストークス流の特殊なケースの 粘性応力テンソル を表します。これは、粒子に作用する力の計算に必要です。直交座標では、ベクトル勾配は ヤコビ行列 と同じです 。行列 I は単位行列を表します。
∇
u
{\displaystyle \nabla \mathbf {u} }
σ
=
−
p
⋅
I
+
μ
⋅
(
(
∇
u
)
+
(
∇
u
)
T
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}
球に作用する力は、球の表面上の応力テンソルの積分によって計算できます。ここで、 e r は 球座標 の半径方向の単位ベクトルを表します 。
F
=
∬
∂
V
⊂
⊃
σ
⋅
d
S
=
∫
0
π
∫
0
2
π
σ
⋅
e
r
⋅
R
2
sin
θ
d
φ
d
θ
=
∫
0
π
∫
0
2
π
3
μ
⋅
u
∞
2
R
⋅
R
2
sin
θ
d
φ
d
θ
=
6
π
μ
R
⋅
u
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}
球面周りの回転流 球の周りの ストークス流: 、、
ω
R
=
(
0
0
2
)
T
Hz
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{R}={\begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}}^{T}\;{\text{Hz}}}
μ
=
1
mPa
⋅
s
{\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}
R
=
1
m
{\displaystyle R=1\;{\text{m}}}
u
(
x
)
=
−
R
3
⋅
ω
R
×
x
‖
x
‖
3
ω
(
x
)
=
R
3
⋅
ω
R
‖
x
‖
3
−
3
R
3
⋅
(
ω
R
⋅
x
)
⋅
x
‖
x
‖
5
p
(
x
)
=
0
σ
=
−
p
⋅
I
+
μ
⋅
(
(
∇
u
)
+
(
∇
u
)
T
)
T
=
∬
∂
V
⊂
⊃
x
×
(
σ
⋅
d
S
)
=
∫
0
π
∫
0
2
π
(
R
⋅
e
r
)
×
(
σ
⋅
e
r
⋅
R
2
sin
θ
d
φ
d
θ
)
=
8
π
μ
R
3
⋅
ω
R
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}
その他のタイプのストークス流 液体は静止しており、球体は一定の速度で動いていますが、球体のフレームに対して、球体は静止しており、液体は球体の動きと反対方向に流れています。
参照
出典 バチェラー、GK （1967）。 流体力学入門 。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 0-521-66396-2 。 ラム、H. (1994)。 流体力学 （第6版）。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-45868-9 。 1879 年に最初に出版され、第 6 版が 1932 年に初めて登場しました。
参考文献
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![{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} , \\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a18215ffc20e21fed7b6334af912f8aee46051)
![{\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218591cdc853f0ae1258027cfbf24dc57bc830d6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e559ccdcc7da6c348fa970aa9a1ac707d7cce9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\ frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\右)} _{{\text{保守的:curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{遠方界}}} _{\text{境界条件の用語}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{非保守的:カール}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x } \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}} -{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R }{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39953f26800de1949c5d83a16087656c3451aa9)
![{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32114803c83ea2ef3f396147e93b452c6b5ba3a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26dc3d95019148157b81649af2111f5e0d21524)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab11dffe1b5fc786a07793f3254a11355ad569aa)