ストークス数

ストークス数（Stk）は、ジョージ・ガブリエル・ストークスにちなんで名付けられ、流体の流れの中に浮遊する粒子の挙動を特徴付ける無次元数です。ストークス数は、粒子（または液滴）の特性時間と流れまたは障害物の特性時間 の比として定義されます。

${\displaystyle \mathrm {Stk} ={\frac {t_{0}\,u_{0}}{l_{0}}}}$

ここで、は粒子の緩和時間（抗力による粒子速度の指数関数的減衰における時定数）、は障害物から十分離れた流れの流体速度、は障害物の特性寸法（通常は直径）または流れの特性長さスケール（境界層の厚さなど）です。^[1]ストークス数の低い粒子は流体の流線に沿って進みますが（完全な移流）、ストークス数が大きい粒子は慣性によって支配され、最初の軌道に沿って進み続けます。 ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle l_{0}}$

ストークス流の場合、粒子（または液滴）レイノルズ数が約1未満のとき、粒子の抗力係数はレイノルズ数自体に反比例します。その場合、粒子の特性時間は次のように表すことができます。

${\displaystyle t_{0}={\frac {\rho _{p}d_{p}^{2}}{18\mu _{g}}}}$

ここで、は粒子密度、は粒子直径、は流体の動粘度である。^[2]${\displaystyle \rho_{p}}$${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle \mu_{g}}$

実験流体力学において、ストークス数は、粒子画像流速測定法 (PIV)実験におけるフロートレーサーの忠実度の尺度です。PIV実験では、非常に小さな粒子が乱流に巻き込まれ、光学的に観察されて、流体の動きの速度と方向 (流体の速度場とも呼ばれます) が決定されます。許容できるトレース精度を得るには、粒子の応答時間が流れの最小時間スケールよりも速くなければなりません。ストークス数が小さいほど、トレース精度が高くなります。 の場合、特に流れが急激に減速する場合、粒子は流れから離れます。 の場合、粒子は流体の流線に密接に追従します。 の場合、トレース精度の誤差は 1% 未満です。^[3]${\displaystyle \mathrm {Stk} \gg 1}$${\displaystyle \mathrm {Stk} \ll 1}$${\displaystyle \mathrm {Stk} <0.1}$

ストークス数は、前述のように、PIV データ セットの品質を推定する手段を提供します。ただし、特性速度または長さスケールの定義は、すべてのアプリケーションで明らかであるとは限りません。したがって、ストークス領域における粒子の微分方程式を定義するだけで、追跡遅延がどのように発生するかについてより深い洞察を得ることができます。ある速度で流体とともに移動する粒子は、移流するときに可変の流体速度場に遭遇します。粒子のラグランジュ参照フレームにおける流体の速度を と仮定します。これらの速度の差が、粒子の経路を修正するために必要な抗力を生成します。 ${\displaystyle v_{p}(t)}$${\displaystyle v_{f}(t)}$

${\displaystyle \Delta v(t)=v_{f}(t)-v_{p}(t)}$

ストークスの抗力は次のようになります。

${\displaystyle F_{D}=3\pi \mu d_{p}\Delta v}$

粒子の質量は次のとおりです。

${\displaystyle m_{p}=\rho _{p}{\frac {4}{3}}\pi {\bigg (}{\frac {d_{p}}{2}}{\bigg )}^{3}=\rho _{p}{\frac {\pi d_{p}^{3}}{6}}}$

したがって、粒子の加速度はニュートンの第二法則を通じて求められます。

${\displaystyle {\frac {dv_{p}(t)}{dt}}={\frac {F_{D}}{m_{p}}}={\frac {18\mu }{{d_{p}}^{2}\rho _{p}}}\Delta v(t)}$

緩和時間を次のように置き換えることができることに注意してください。 ${\displaystyle t_{0}={\frac {\rho _{p}d_{p}^{2}}{18\mu _{g}}}}$

${\displaystyle {\frac {dv_{p}(t)}{dt}}={\frac {1}{t_{0}}}\Delta v(t)}$

上記の一次微分方程式はラプラス変換法によって解くことができます。

${\displaystyle t_{0}sv_{p}(s)=v_{f}-v_{p}(s)}$

${\displaystyle {\frac {v_{p}(s)}{v_{f}(s)}}={\frac {1}{t_{0}s+1}}}$

上記の解は、周波数領域では、特性時間が である一次システムを特徴付けます。したがって、-3 dB ゲイン (カットオフ) 周波数は次のようになります。 ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle f_{-3{\text{dB}}}={\frac {1}{2\pi t_{0}}}}$

サイド パネルにプロットされたカットオフ周波数と粒子伝達関数により、非定常流れアプリケーションにおける PIV エラーと、それが乱流スペクトル量および運動エネルギーに与える影響を評価できます。

前のセクションで説明した粒子追跡のバイアス誤差は、周波数領域では明らかですが、粒子の動きを追跡して流れ場の測定を実行する場合（粒子画像速度測定法など）は、その認識が困難になることがあります。上記の微分方程式に対する単純ですが洞察に富んだ解は、強制関数がヘヴィサイドのステップ関数である場合に可能であり、これは粒子が衝撃波を通過することを表します。この場合、は衝撃波の上流の流速であり、 は衝撃波を横切る速度低下です。 ${\displaystyle v_{f}(t)=V_{u}-\Delta VH(t)}$${\displaystyle V_{u}}$${\displaystyle \デルタV}$

粒子のステップ応答は単純な指数関数です。

${\displaystyle v_{p}(t)=(V_{u}-\Delta V)+\Delta Ve^{-t/t_{0}}}$

時間の関数としての速度を距離の関数としての粒子速度分布に変換するには、方向への 1 次元の速度ジャンプを想定します。 が衝撃波の位置にあると 仮定し、前の式を積分して次の式を得ます。${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle x_{\text{particle}}=\int _{0}^{\Delta t}v_{p}(t)dt=\int _{0}^{\Delta t}(V_{u}-\Delta V)dt+\int _{0}^{\Delta t}\Delta Ve^{-t/t_{0}}dt}$

${\displaystyle x_{\text{particle}}=\Delta t(V_{u}-\Delta V)+\Delta t\Delta V(1-e^{-\Delta t/t_{0}})}$

緩和時間（速度が 95% 変化するまでの時間）を考慮すると、次のようになります。 ${\displaystyle \Delta t=3t_{0}}$

${\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=3t_{0}(V_{u}-\Delta V)+3t_{0}\Delta V(1-e^{-3}) }$

${\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=3t_{0}(V_{u}-0.05\Delta V)}$

これは、粒子の速度が衝撃波からの下流速度の 5% 以内に落ち着くことを意味します。実際には、PIV システムでは、衝撃波はおよそこの距離でぼやけて見えることになります。 ${\displaystyle x_{{\text{粒子}},95\%}}$${\displaystyle x_{{\text{粒子}},95\%}}$

たとえば、よどみ点温度 298 K でマッハ数 の通常の衝撃波を考えてみましょう。 のプロピレングリコール粒子は流れを だけぼかしますが、 は流れを だけぼかします(ほとんどの場合、許容できない PIV 結果が生成されます)。 ${\displaystyle M=2}$${\displaystyle d_{p}=1~\mu {\text{m}}}$${\displaystyle x_{{\text{粒子}},95\%}=5{\text{mm}}}$${\displaystyle d_{p}=10~\mu {\text{m}}}$${\displaystyle x_{{\text{粒子}},95\%}=500{\text{ mm}}}$

衝撃波は流れの急激な減速の最悪のシナリオですが、PIV における粒子追跡誤差の影響を示しており、その結果、オーダーの長さスケールで取得された速度場がぼやけてしまいます。 ${\displaystyle x_{{\text{粒子}},95\%}}$

前述の分析は、超ストークス領域、つまり粒子レイノルズ数が1よりはるかに大きい場合では正確ではありません。マッハ数が1よりはるかに小さいと仮定すると、ストークス数の一般化された形式がイスラエルとロスナーによって実証されました。^[4]

$${\displaystyle {\text{Stk}}_{\text{e}}={\text{Stk}}{\frac {24}{{\text{Re}}_{o}}}\int _{0}^{{\text{Re}}_{o}}{\frac {d{\text{Re}}^{\prime }}{C_{D}({\text{Re}}^{\prime }){\text{Re}}^{\prime }}}}$$

「粒子自由流レイノルズ数」は どこにありますか？${\displaystyle {\text{Re}}_{o}}$

$${\displaystyle {\text{Re}}_{o}={\frac {\rho _{g}|\mathbf {u} |d_{p}}{\mu _{g}}}}$$

追加の関数は次のように定義される。^[4]これは非ストークス抗力補正係数を記述する。 ${\displaystyle \psi ({\text{Re}}_{o})}$

$${\displaystyle {\text{Stk}}_{e}={\text{Stk}}\cdot \psi ({\text{Re}}_{o})}$$

この関数は次のように定義されます。

$${\displaystyle \psi ({\text{Re}}_{o})={\frac {24}{{\text{Re}}_{o}}}\int _{0}^{{\text{Re}}_{o}}{\frac {d{\text{Re}}^{\prime }}{C_{D}({\text{Re}}^{\prime }){\text{Re}}^{\prime }}}}$$

限界粒子自由流レイノルズ数を考慮すると、 となり、したがって となる。したがって、予想どおり、ストークスの抗力領域では補正係数は 1 となる。Wessel & Righi ^{[5]は、Schiller & Naumann [6]}の球面上の抗力に関する経験的相関からを評価した。${\displaystyle {\text{Re}}_{o}\to 0}$${\displaystyle C_{D}({\text{Re}}_{o})\to 24/{\text{Re}}_{o}}$${\displaystyle \psi \to 1}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle C_{D}({\text{Re}})}$

$${\displaystyle \psi ({\text{Re}}_{o})={\frac {3({\sqrt {c}}{\text{Re}}_{o}^{1/3}-\arctan({\sqrt {c}}{\text{Re}}_{o}^{1/3}))}{c^{3/2}{\text{Re}}_{o}}}}$$

ここで、定数。従来のストークス数は、大きな粒子の自由流レイノルズ数に対する抗力を大幅に過小評価します。したがって、粒子が流体の流れ方向から離れる傾向を過大評価します。これにより、後続の計算や実験の比較でエラーが発生します。 ${\displaystyle c=0.158}$

例えば、整列した薄壁の円形ノズルによる粒子の選択的捕捉は、BelyaevとLevin ^[7]によって次のように示されています。

${\displaystyle c/c_{0}=1+(u_{0}/u-1)\left(1-{\frac {1}{1+\mathrm {Stk} (2+0.617u/u_{0})}}\right)}$

ここで、は粒子濃度、は速度、下付き文字0はノズルのかなり上流の状態を示します。特性距離はノズルの直径です。ここでストークス数は次のように計算されます。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \mathrm {Stk} ={\frac {u_{0}V_{s}}{dg}}}$

ここで、は粒子の沈降速度、はサンプリングチューブの内径、は重力加速度です。 ${\displaystyle V_{s}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle g}$

• ストークスの法則– レイノルズ数が1未満の粒子に対する流体中の抗力について^[8]

• フックス、NA（1989）。エアロゾルの力学。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-66055-4。
• Hinds, William C. (1999)。エアロゾル技術：空中粒子の特性、挙動、測定。ニューヨーク：Wiley。ISBN 978-0-471-19410-1。
• Snyder , WH; Lumley, JL (1971). 「乱流中の粒子速度自己相関関数のいくつかの測定」。流体力学ジャーナル。48 : 41–71。Bibcode : 1971JFM ....48...41S。doi : 10.1017/S0022112071001460。S2CID 122731370  。
• Collins, LR; Keswani, A (2004). 「乱流エアロゾルにおける粒子クラスタリングのレイノルズ数スケーリング」New Journal of Physics . 6 (119): 119. Bibcode :2004NJPh....6..119C. doi : 10.1088/1367-2630/6/1/119 .