相互共分散

確率と統計学では、2つの確率過程 とが与えられたとき、相互共分散は、ある過程と他の過程の共分散を2つの時点のペアで与える関数である。期待値演算子の通常の表記法を用いると、過程が平均関数とを持つ場合、相互共分散は次のように与えられる。 ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]}$${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}$

相互共分散は、問題となっているプロセスの より一般的に使用される相互相関に関連しています。

2 つのランダム ベクトル と の場合、相互共分散は、要素を持つ行列(と表記されることが多い)になります。したがって、相互共分散という用語は、この概念を、のスカラー成分間の共分散行列であると理解されるランダム ベクトルの共分散と区別するために使用されます。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}}$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$

信号処理において、相互共分散は相互相関とも呼ばれ、2 つの信号の類似性の尺度であり、一般には、未知の信号を既知の信号と比較してその信号の特徴を見つけるために使用されます。これは、信号間の相対時間の関数であり、スライディングドット積と呼ばれることもあり、パターン認識や暗号解読に応用されています。

ランダムベクトルの相互共分散の定義は、次のように確率過程に一般化できます。

とを確率過程とすると、過程の相互共分散関数は次のように定義される: ^{[1] : p.172}${\displaystyle \{X(t)\}}$${\displaystyle \{Y(t)\}}$${\displaystyle K_{XY}}$

ここで、および。 ${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left[X(t)\right]}$${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left[Y(t)\right]}$

プロセスが複素数値の確率プロセスである場合、2番目の因子は複素共役である必要があります。

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}$

と が共に広義の定常である場合、以下が真です。 ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}}$すべて、${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

${\displaystyle \mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}}$全ての${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)}$全ての${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

（タイムラグ、つまり信号がシフトされた時間の量）を 設定することで、${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}$。

したがって、2つの共同WSSプロセスの相互共分散関数は次のように表されます。

これは次の式と同等である。

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu _{X}\mu _{Y}}$。

2つの確率過程は、共分散が常にゼロである場合に無相関であると言われる。 ^{[1] : p.142}正式には： ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$。

相互共分散は信号処理にも関連しており、2 つの広義の定常 ランダム プロセス間の相互共分散は、1 つのプロセスから測定されたサンプルと他のプロセスから測定されたサンプル (およびその時間シフト) の積を平均することによって推定できます。平均に含まれるサンプルは、信号内のすべてのサンプルの任意のサブセット (たとえば、有限の時間ウィンドウ内のサンプルまたは信号の 1 つのサブサンプリング) にすることができます。サンプル数が多い場合、平均は真の共分散に収束します。

相互共分散は、 2つの信号間の「決定論的」相互共分散を指すこともあります。これは、すべての時間インデックスの合計で構成されます。たとえば、離散時間信号の場合、相互共分散は次のように定義されます。 ${\displaystyle f[k]}$${\displaystyle g[k]}$

${\displaystyle (f\star g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k]}}g[n+k]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k-n]}}g[k]}$

ここで、線は信号が複素数値の場合に複素共役が取られることを示しています。

連続関数 の場合、（決定論的）相互共分散は次のように定義される。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle (f\star g)(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(t-x)}}g(t)\,dt}$。

2つの連続信号の（決定論的）相互共分散は、畳み込みと次の式 で関係する。

${\displaystyle (f\star g)(t)=({\overline {f(-\tau )}}*g(\tau ))(t)}$

そして、2つの離散時間信号の（決定論的）相互共分散は、離散畳み込みと次のよう に関係している。

${\displaystyle (f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]}$。

• 自己共分散
• 自己相関
• 相関
• 畳み込み
• 相互相関

• Mathworld の相互相関
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf