位相的K理論

数学において、位相的K理論は代数トポロジーの一分野である。これは、アレクサンダー・グロタンディークによって導入された、現在では（一般） K理論として認識されている概念を用いて、位相空間上のベクトル束を研究するために創設された。位相的K理論に関する初期の研究は、マイケル・アティヤとフリードリヒ・ヒルツェブルフによるものである。

Xをコンパクトハウスドルフ空間とし、${\displaystyle k=\mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$。 それから${\displaystyle K_{k}(X)}$は、ホイットニー和の下でのX上の有限次元kベクトル束の同型類の可換モノイドのグロタンディーク群として定義されます。束のテンソル積はK理論に可換環構造を与えます。添え字なし、${\displaystyle K(X)}$通常、複素K理論を表すのに対し、実K理論は次のように表記されることがある。${\displaystyle KO(X)}$残りの議論は、複素K理論に焦点を当てる。

まず例として、ある点のK理論は整数群であることに注目してください。これは、点上のベクトル束は自明であり、したがってその階数によって分類されるため、自然数のグロタンディーク群は整数群となるからです。

K理論の縮小版もあり、${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$Xをコンパクトな点付き空間として定義します(縮小ホモロジーを参照)。この縮小理論は直感的には自明な束を法とするK ( X )です。これは束の安定同値類の群として定義されます。2 つの束EとFは、自明な束が存在する場合に安定同型であると言われます。$\displaystyle \varepsilon _{1}}$そして$\displaystyle \varepsilon _{2}}$、 となることによって${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$この同値関係は群を生じさせる。なぜなら、すべてのベクトル束は、その直交補ベクトルとの和をとることによって自明な束に完成できるからである。あるいは、${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$マップのカーネルとして定義できる${\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }$基点x ₀をXに含めることによって誘発される。

K理論は、次のように乗法的 (一般化)コホモロジー理論を形成します。2 つの点付き空間( X、A )の短い完全列

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$

長い完全シーケンスに拡張

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)。}$

S ^{n を}空間のn番目の縮小サスペンションとし、次に次のように定義する。

${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

負のインデックスを選択することで、共境界マップの次元が増加します。

これらの群の非縮約版を持つことは、多くの場合有用であり、それは次のように定義することによって実現できます。

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$

ここ${\displaystyle X_{+}}$は${\displaystyle X}$'+' とラベル付けされた分離した基点が隣接している。^{[ 1 ]}

最後に、以下に示すボットの周期性定理は、理論を正の整数に拡張する。

• ${\displaystyle K^{n}}$（それぞれ、${\displaystyle {\ワイドティルダ {K}}^{n}}$) は、 (点付き)空間のホモトピー圏から可換環の圏への反変関手です。したがって、例えば、可縮空間上のK理論は常に です。${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• K理論のスペクトルは${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$（離散トポロジーで）${\displaystyle \mathbb {Z} }$つまり、${\displaystyle K(X)\cong [X_{+},\mathbb {Z} \times BU],}$ここで、[ , ]は点付きホモトピー類を表し、BUはユニタリ群の分類空間の余極限である。${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} (n,\mathbb {C} ^{\infty }).}$同様に、$$\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$$実際のK理論にはBOを使用してください。
• 自然な環準同型が存在する${\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),}$チャーン文字、${\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )}$これは同型写像である。
• K理論におけるスティーンロッド演算に相当するのはアダムス演算である。これらは位相的K理論における特性クラスを定義するために使用できる。
• 位相的K理論の分割原理により、任意のベクトル束に関する記述を、線束の和に関する記述に還元することができる。
• 位相的K理論におけるトム同型定理は$${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$$ここで、T ( E )はX上のベクトル束Eのトム空間である。これはEがスピン束である限り成り立つ。
• アティヤ・ヒルツェブルフのスペクトル系列を用いることで、通常のコホモロジー群からK群を計算することが可能となる。
• 位相的K理論は、 C*-環上の関手に大きく一般化することができる（演算子K理論およびKK理論を参照） 。

ラウル・ボットにちなんで名付けられた周期性の現象（ボットの周期性定理を参照）は、次のように定式化できる。

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$そして${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$ここで、Hは、上のトートロジー束のクラスである。${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$すなわち、リーマン球面。
• $\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$
• ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$

実際のK理論にも同様の周期性があるが、それは法8によるものである。

位相的K理論は、アダムス演算を介してジョン・フランク・アダムスによる「ホップ不変1」問題の証明に応用された。^{[ 2 ]}アダムスはまた、球面上の線形独立なベクトル場の数の上限も証明した。^{[ 3 ]}

マイケル・アティヤとフリードリヒ・ヒルツェブルフは、有限CW複体の位相的K理論に関連する定理を証明した。${\displaystyle X}$その有理コホモロジーと共に。特に、準同型が存在することを示した。

${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$

そのため

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

連接層のグロタンディーク群と滑らかな射影多様体のチャウ環の間には、代数的な類似関係が存在する。${\displaystyle X}$。

• アティヤ・ヒルツェブルフスペクトル系列（K理論群を見つけるための計算ツール）
• KR理論
• アティヤ・シンガー指数定理
• スネイスの定理
• 代数的K理論

• アティヤ、マイケル・フランシス（ 1989）。K理論。アドバンスト・ブック・クラシックス（第2 版）。アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0-201-09394-0MR 1043170 .​ 
• フリードランダー、エリック；グレイソン、ダニエル編（2005）。K理論ハンドブック。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。doi ： 10.1007 / 978-3-540-27855-9。ISBN 978-3-540-30436-4MR 2182598 .​ 
• カルービ、マックス（ 1978 ）。K理論入門。数学古典シリーズ。シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007 /978-3-540-79890-3。ISBN 0-387-08090-2。
• Karoubi, Max (2006). "K理論。初等入門". arXiv : math/0602082 .
• ハッチャー、アレン（2003）。「ベクトル束とK理論」。
• Stykow, Maxim (2013). "K理論と幾何学およびトポロジーの関連性" .