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位相幾何学と呼ばれる数学の分野では、特殊化（または標準）前順序は、位相空間の点の集合上の自然な前順序です。実際に考慮されるほとんどの空間、すなわちT₀分離公理を満たすすべての空間では、この前順序は部分順序（特殊化順序と呼ばれる）になります。一方、T₁空間では_{、この順序は}自明となり、ほとんど関心を持たれません。

特殊化順序は、コンピュータサイエンスの応用分野でよく考慮される概念であり、そこでは表示的意味論においてT ₀空間が現れる。また、順序理論で行われるように、部分順序集合上の適切なトポロジーを識別するためにも特殊化順序は重要である。

任意の位相空間を考える${\displaystyle X}$特殊化の順序は≤ です${\displaystyle X}$2 つの点を関連付ける${\displaystyle X}$一方が他方の閉鎖内にある場合。しかし、様々な著者は、順序がどの「方向」に進むべきかについて意見が分かれている。合意されているのは、もし

${\displaystyle x}$に含まれる${\displaystyle \mathrm {cl} \{y\}}$、

（どこ${\displaystyle \mathrm {cl} \{y\}}$は、単一要素集合の閉包を表す。${\displaystyle \{y\}}$すなわち、を含む すべての閉集合の共通部分${\displaystyle \{y\}}$)、私たちはこう言います${\displaystyle x}$は、​${\displaystyle y}$そしてそれは${\displaystyle y}$は一般化である${\displaystyle x}$これは一般的にこう書かれています${\displaystyle y\rightsquigarrow x}$または${\displaystyle y\to x.}$表記法${\displaystyle y\to x}$これは、${\displaystyle x\in \mathrm {cl} \{y\}}$定数値を持つ定数列の場合に限り${\displaystyle y}$収束して${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$（あらゆる近隣地域が${\displaystyle x}$を含む${\displaystyle y}$)

残念ながら、その物件は${\displaystyle x}$は、${\displaystyle y}$「は別の書き方で次のように書かれます」${\displaystyle x\leq y}$そして${\displaystyle y\leq x}$様々な著者によって（それぞれ^{[ 1 ]}および^{[ 2 ]}を参照）。

どちらの定義にも直感的な根拠がある。前者の場合、

${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle \mathrm {cl} \{x\}\subseteq \mathrm {cl} \{y\}。}$

しかし、私たちのスペースの場合${\displaystyle X}$プライムスペクトル${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$可換環の${\displaystyle R}$（これは代数幾何学に関連する応用における動機付けの状況である）ならば、順序の2番目の定義の下では、次のようになる。

${\displaystyle y\leq x}$かつその場合に限り${\displaystyle y\subseteq x}$リングの第一の理想として${\displaystyle R}$。

一貫性を保つため、この記事の残りの部分では、最初の定義を採用します。「${\displaystyle x}$は、${\displaystyle y}$「次のように書かれる」${\displaystyle x\leq y}$すると、

${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle x}$は、を含むすべての閉集合に含まれる。${\displaystyle y,}$そして

${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle y}$は、を含むすべての開集合に含まれています。${\displaystyle x}$。

これらの言い換えは、「専門化」という言葉がなぜ使われるのかを説明するのに役立つ。${\displaystyle y}$より一般的${\displaystyle x}$なぜなら、それはより多くの開集合に含まれているからです。これは、閉集合を点が持つ性質と見なすと特に直感的です。${\displaystyle x}$持っているかもしれないし、持っていないかもしれない。閉集合が点を多く含むほど、その点はより多くの性質を持ち、より特別なものとなる。この用法は、古典的な論理概念の種と種の概念と一致しており、また、代数幾何学における一般的な点の伝統的な用法とも一致している。代数幾何学では、閉点が最も具体的であり、空間の一般的な点とは、空でないすべての開部分集合に含まれる点である。特殊化という概念は、評価理論にも適用されている。

上位要素がより具体的であるという直観は、一般的に、コンピュータ科学において多くの応用例を持つ順序理論の一分野である領域理論に見られる。

Xを位相空間とし、≤ をX上の特殊化順序とする。すべての開集合は≤ に関して上集合であり、すべての閉集合は下集合である。一般に、その逆は成り立たない。実際、位相空間がアレクサンドロフ離散空間であるのは、すべての上集合が開集合でもある場合（または同等に、すべての下集合が閉集合でもある場合）に限る。

A をXの部分集合とする。Aを含む最小の上集合を↑ Aと表記し、 A を含む最小の下集合を↓ Aと表記する。A = { x } が単一要素集合の場合は、↑ xおよび ↓ xという表記を用いる。x ∈ Xに対して、次の関係が成り立つ。

• ↑ x = { y ∈ X  : x ≤ y } = ∩{ xを含む開集合}。
• ↓ x = { y ∈ X  : y ≤ x } = ∩{ xを含む閉集合} = cl{ x }。

下側の集合 ↓ xは常に閉集合ですが、上側の集合 ↑ x は開集合でも閉集合でもありません。位相空間Xの閉点は、まさに≤ に関してXの最小要素です。

• 開集合が {∅, {1}, {0,1}} であるシェルピンスキー空間{0,1}では、特殊化の順序は自然な順序 (0 ≤ 0、0 ≤ 1、および 1 ≤ 1) です。
• p、qがSpec( R )（可換環Rのスペクトル）の要素である場合、 p ≤ qとなるのは、 q ⊆ p（素イデアルとして）である場合に限る。したがって、Spec( R )の閉点はまさに極大イデアルである。

その名前が示すように、特殊化前順序は前順序であり、つまり反射的かつ推移的です。

特殊化順序によって決定される同値関係は、位相的不可分性の関係に他なりません。つまり、 xとyが位相的に不可分であるのは、 x ≤ yかつ y ≤ xの場合のみ です。したがって、 ≤ の反対称性は、まさに T ₀分離公理です。つまり、xとyが不可分であれば、x = yとなります。この場合、特殊化順序について語ることは正当化されます。

一方、特殊化順序の対称性は、 R ₀分離公理と同等です。すなわち、x ≤ yは、 xとy が位相的に区別できない場合に限り成り立ちます。したがって、基礎となる位相が T ₁であれば、特殊化順序は離散的であり、つまり、x ≤ yは、 x = yの場合に限り成り立ちます。そのため、特殊化順序は、T ₁位相、特にすべてのハウスドルフ空間にとってはあまり重要ではありません。

任意の連続関数${\displaystyle f}$2つの位相空間間の関係は、これらの空間の特殊化順序に関して単調である。${\displaystyle x\leq y}$暗示する${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$しかし、その逆は一般には成り立ちません。圏論 の言葉で言えば、位相空間の圏から順序付き集合の圏への関手があり、位相空間にその特殊化順序を割り当てます。この関手には左随伴関手があり、アレクサンドロフ位相を順序付き集合上に配置します。

この順序が興味深いのは、 T ₀空間よりもさらに具体的な空間、すなわち「冷静な空間」である。これらの空間と特殊化順序との関係は、より微妙である。

特殊化順序≤を持つ任意のソバー空間Xに対して、

• ( X , ≤) は有向完全半順序であり、すなわち( X , ≤)のすべての有向部分集合Sは上限sup Sを持ちます。
• ( X , ≤)の任意の有向部分集合Sと任意の開集合Oについて、sup SがOに含まれるならば、SとO は空でない共通部分を持つ。

2番目の性質は、開集合が有向上限によって到達不可能である、と表現できる。位相が特定の順序≤に関して順序整合的であるとは、それが≤を特殊化順序として誘導し、かつ≤内の有向集合の（既存の）上限に関して到達不可能であるという上記の性質を持つ場合をいう。

特殊化順序は、あらゆるトポロジーから前順序を取得するツールを提供する。その逆もまた自然な問いである。すなわち、すべての前順序は、何らかのトポロジーの特殊化前順序として得られるのだろうか？

実際、この質問に対する答えは肯定的であり、一般に、集合X上には、特定の順序 ≤ を特殊化順序として誘導する位相が多数存在します。順序 ≤ のアレクサンドロフ位相は特別な役割を果たします。それは ≤ を誘導する最も細かい位相です。もう一方の極端な例、つまり ≤ を誘導する最も粗い位相は、上位位相であり、集合 ↓ x ( Xのあるxについて) のすべての補集合が開いている最小の位相です。

これら二つの極端な例の間にも興味深い位相が存在する。与えられた順序≤に対して、上記の意味で順序整合的な最も細かいソバー位相はスコット位相である。しかし、上位位相は依然として最も粗いソバー順序整合位相である。実際、その開集合はどの上限からもアクセスできない。したがって、特殊化順序≤を持つ任意のソバー空間は、上位位相よりも細かく、スコット位相よりも粗い。しかし、そのような空間は存在しない可能性があり、つまり、ソバー順序整合位相が存在しない半順序が存在する。特に、スコット位相は必ずしもソバーではない。