上位トポロジー

数学において、半順序集合X上の上位位相とは、単一要素の閉包が${\displaystyle \{a\}}$ 注文セクションです${\displaystyle a]=\{x\leq a\}}$各${\displaystyle a\in X.}$もし${\displaystyle \leq }$は半順序であり、上位トポロジーは、すべての開集合がアップセットである最小の順序整合トポロジーです。ただし、すべてのアップセットが必ずしも開集合である必要はありません。前順序によって誘導される下位トポロジーは、ダウンセットに関して同様に定義されます。上位トポロジーを誘導する前順序は、その特殊化前順序ですが、下位トポロジーの特殊化前順序は、誘導前順序とは逆になります。

実数上の上位位相は、上方拡張実数直線上で最も自然に定義される。${\displaystyle (-\infty ,+\infty ]=\mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$システムによって${\displaystyle \{(a,+\infty ]:a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\}}$開集合の。同様に、実下位位相${\displaystyle \{[-\infty ,a):a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\}}$下側の実数直線上で自然に定義される${\displaystyle [-\infty ,+\infty )=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}.}$位相空間上の実関数が上半連続であるのは、それが下半連続、すなわち下半拡張線上の下半位相に関して連続である場合に限る。${\displaystyle {[-\infty ,+\infty )}.}$同様に、上実数直線への関数は、上連続である場合、すなわち上位相に関して連続である場合に限り、下半連続である。${\displaystyle {(-\infty ,+\infty ]}.}$

• トポロジー一覧– 具体的なトポロジーと位相空間の一覧 

• ゲルハルト・ギエルツ、KH・ホフマン、K・ケイメル、JD・ローソン、M・ミスラブ、DS・スコット（2003）。『連続格子と領域』ケンブリッジ大学出版局、510ページ。ISBN  0-521-80338-1。
• ケリー、ジョン・L. (1975) [1955].一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻 （第2 版）. ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-0-387-90125-1OCLC 1365153。​ 101ページ
• Knapp, Anthony W. (2005). Basic Real Analysis . Birkhhauser. p.  481. ISBN 0-8176-3250-6。