空間充填曲線

数学的解析において、空間充填曲線とは、その範囲が高次元領域、通常は単位正方形（またはより一般的にはn次元単位超立方体）内のすべての点に達する曲線です。ジュゼッペ・ペアノ（1858年 - 1932年）が最初に発見したため、2次元平面上の空間充填曲線はペアノ曲線と呼ばれることもありますが、この語句はペアノが発見した空間充填曲線の特定の例であるペアノ曲線を指すこともあります。

密接に関連したFASS曲線（近似的に空間充填曲線、自己回避曲線、単純曲線、自己相似曲線）は、ある種の空間充填曲線の有限近似として考えることができます。^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

直感的には、2次元または3次元（あるいはそれ以上）の曲線は、連続的に移動する点の軌跡と考えることができます。この概念の曖昧さを排除するために、ジョーダンは1887年に次のような厳密な定義を導入しました。これは、それ以来、曲線の概念の正確な説明として採用されています。

最も一般的な形式では、このような関数の値域は任意の位相空間内に存在しますが、最も一般的に研究されるケースでは、値域は2 次元平面 (平面曲線) や 3 次元空間 (空間曲線) などのユークリッド空間内にあります。

曲線は関数自体ではなく、関数の像（関数のすべての可能な値の集合）と同一視されることもあります。また、端点のない曲線を実数直線上（または開単位区間 (0, 1)上）の連続関数として定義することもできます。

1890 年、ジュゼッペ・ペアノは、単位正方形のすべての点を通る連続曲線（現在ではペアノ曲線と呼ばれている）を発見しました。 ^{[7]彼の目的は、}単位区間から単位正方形 への連続写像を構築することでした。ペアノの動機は、単位区間内の無限数の点の濃度は、単位正方形などの任意の有限次元多様体内の無限数の点の濃度と同じであるという、ゲオルク・カントールの以前の直観に反する結果でした。ペアノが解決した問題は、そのような写像が連続的であるかどうか、つまり空間を埋める曲線であるかどうかでした。ペアノの解法では、単位区間と単位正方形の間に連続した1 対 1 の対応が設定されず、実際にそのような対応は存在しません (以下の § プロパティを参照)。

曲線には、薄さや 1 次元性といった漠然とした概念が関連付けられるのが一般的でした。通常見られる曲線はすべて区分的に微分可能 (つまり区分的に連続的な導関数を持つ) であり、そのような曲線は単位正方形全体を埋めることはできません。そのため、ペアノの空間充填曲線は非常に直感に反するものであることがわかりました。

ペアノの例から、範囲にn次元超立方体(任意の正の整数nについて) が含まれる連続曲線を推測するのは簡単でした。また、ペアノの例を、 n次元ユークリッド空間全体 ( nは 2、3、またはその他の正の整数) を満たす、端点のない連続曲線に拡張することも簡単でした。

最もよく知られている空間充填曲線は、一連の区分線形連続曲線の限界として反復的に構築され、各曲線は空間充填限界に近似します。

ペアノの画期的な論文には、3 進展開と鏡映演算子で定義される彼の構成の図は含まれていませんでした。しかし、図による構成は彼にとって完全に明確であり、彼はトリノの自宅に曲線の絵を飾るタイルを貼りました。ペアノの論文はまた、この手法が 3 以外の奇数基数にも明らかに拡張できることを指摘して終わります。彼が図による視覚化を一切利用しないことを選んだのは、図にまったく依存しない完全に厳密な証明を望んだためです。当時 (一般位相幾何学の基礎が始まった頃)、図による議論はまだ証明に含まれていましたが、直感に反する結果を理解する妨げになっていました。

1年後、デイヴィッド・ヒルベルトはペアノの構築法のバリエーションを同じ雑誌に発表した。^{[8]ヒルベルトの論文は、構築手法を視覚化するのに役立つ図を初めて含めたもので、本質的にはここに示したものと同じである。しかし、}ヒルベルト曲線の解析形式はペアノのものよりも複雑である。

カントール空間を表すとします。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$

まず、カントール空間から単位区間全体への連続関数から始めます。（カントール関数のカントール集合への制限は、このような関数の例です。）それから、位相積から単位正方形全体への連続関数を次のように設定します。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,\,1]}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,\,1]\;\times \;[0,\,1]}$

$${\displaystyle H(x,y)=(h(x),h(y)).\,}$$

カントール集合は積 に同相なので、カントール集合から への連続的な一対一写像が存在します。との合成は、カントール集合を​​単位正方形全体に写像する連続関数です。 (あるいは、すべてのコンパクトな距離空間はカントール集合の連続像であるという定理を使用して関数 を取得することもできます。) ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

最後に、 を、単位区間 全体を定義域とする連続関数 に拡張することができます。これは、の各成分に対してTietze 拡張定理を使用するか、単に「線形に」拡張することによって行うことができます (つまり、カントール集合の構築で削除された各開区間上で、上のの拡張部分を、値と を結ぶ単位正方形内の線分として定義します)。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle [0,\,1]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (a,\,b)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (a,\,b)}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$

曲線が単射でない場合は、曲線の交差する 2 つの部分曲線が見つかります。各部分曲線は、曲線の定義域 (単位線分) からの 2 つの互いに交わらない線の像を考慮することによって得られます。2 つの部分曲線は、 2 つの像の交点が空でない場合、交差します。交差する曲線の意味は、2 本の平行でない線の交点のように、一方から他方への曲線が必ず交差することであると考えがちです。ただし、2 つの曲線 (または 1 つの曲線の 2 つの部分曲線) は、たとえば円に接する線のように、交差せずに互いに接触する場合があります。

自己交差しない連続曲線は単位正方形を埋めることができない。なぜなら、そうすると曲線は単位区間から単位正方形への同相写像になってしまうからである（コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続的な一対一写像はどれも同相写像である）。しかし、単位正方形には切断点がないので、端点以外のすべての点が切断点である単位区間に同相になることはできない。面積がゼロでない自己交差しない曲線、オスグッド曲線が存在するが、ネットの定理によれば、それらは空間充填ではない。^[9]

古典的なペアノとヒルベルトの空間充填曲線では、2 つの部分曲線が交差しますが (技術的な意味で)、自己交差なしで自己接触が存在します。空間充填曲線は、その近似曲線が自己交差する場合、(どこでも) 自己交差できます。上の図に示すように、空間充填曲線の近似は自己回避できます。3 次元では、自己回避近似曲線に結び目が含まれることさえあります。近似曲線はn次元空間の境界部分内にとどまりますが、その長さは無制限に増加します。

空間充填曲線はフラクタル曲線の特殊なケースです。微分可能な空間充填曲線は存在しません。大まかに言えば、微分可能性は曲線がどれだけ速く回転できるかに限界を与えます。ミハウ・モラインは連続体仮説が実数直線の各点で少なくとも1つの成分が微分可能であるペアノ曲線の存在と同等であることを証明しました。^[10]

ハーン・マズルキエヴィチの定理は、曲線の連続像である空間の次の特徴付けです。

単位区間の連続像である空間は、ペアノ空間と呼ばれることもあります。

ハーン・マズルキエヴィチの定理の多くの定式化では、第二可算 が距離化可能に置き換えられます。これら 2 つの定式化は同等です。一方向では、コンパクトなハウスドルフ空間は通常の空間であり、ウリゾーン 距離化定理により、第二可算であれば距離化可能であることを意味します。逆に、コンパクトな距離空間は第二可算です。

二重退化クライン群の理論には、空間充填曲線、あるいは球充填曲線の自然な例が数多くあります。たとえば、Cannon & Thurston (2007) は、擬似アノソフ写像の写像トーラスのファイバーの普遍被覆の無限遠円が球充填曲線であることを示しました。(ここで球は、双曲 3 次元空間の無限遠球です。)

ウィーナーは『フーリエ積分とその特定の応用』の中で、空間充填曲線を使用して高次元のルベーグ積分を1 次元のルベーグ積分に簡約できることを指摘しました。

• キャノン、ジェームズ W.;サーストン、ウィリアム P. (2007) [1982]、「グループ不変ペアノ曲線」、ジオメトリとトポロジー、11 (3): 1315–1355、doi : 10.2140/gt.2007.11.1315、ISSN  1465-3060、MR  2326947
• Hilbert, D. (1891)、「Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、38 (3): 459–460、doi :10.1007/BF01199431、S2CID  123643081
• マンデルブロ、BB（1982）、「第7章：ペアノモンスター曲線の利用」、自然のフラクタル幾何学、WHフリーマン。
• マッケナ、ダグラス M. (1994)、「SquareRecurves、E-Tours、Eddies、および Frenzies: 正方形グリッド上のペアノ曲線の基本ファミリー」、ガイ、リチャード K.、ウッドロー、ロバート E. (編)、数学の軽い側面: レクリエーション数学とその歴史に関するユージン ストレンズ記念会議の議事録、アメリカ数学協会、pp. 49–73、ISBN 978-0-88385-516-4。
• Peano, G. (1890)、「Sur une courbe, qui remplit toute une aire plan」、Mathematische Annalen (フランス語)、36 (1): 157–160、doi :10.1007/BF01199438、S2CID  179177780。
• Sagan, Hans (1994)、「空間充填曲線」、Universitext、Springer-Verlag、doi :10.1007/978-1-4612-0871-6、ISBN 0-387-94265-3、MR  1299533。

ウィキメディア・コモンズには、空間充填曲線に関連するメディアがあります。

• 多次元空間充填曲線
• 結び目カットにおける一対一の存在の証明

Java アプレット:

• ペアノ平面の曲線をカット・ザ・ノットで充填する
• ヒルベルトとムーアの平面充填曲線のカット・ザ・ノット
• カット・ザ・ノットにおけるすべてのペアノ平面充填曲線