ペアノ曲線

幾何学において、ペアノ曲線は1890年にジュゼッペ・ペアノによって発見された空間充填曲線の最初の例である。 ^[1]ペアノ曲線は単位区間から単位正方形への射影的連続関数であるが、単射ではない。ペアノは、これら2つの集合は同じ濃度を持つというゲオルク・カントールの以前の結果に触発された。この例のため、一部の著者はより一般的に空間充填曲線を指すために「ペアノ曲線」という語句を使用している。^[2]

ペアノ曲線は、一連のステップによって構築できます。ここで、 番目のステップでは、前のステップで構築されたセットとシーケンスから、正方形のセットと正方形の中心のシーケンスを構築します。基本ケースとして、は単一の単位正方形で構成され、 はその中心点で構成される 1 要素のシーケンスです。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$

ステップ では、の各正方形が9 つのより小さな等しい正方形に分割され、その中心点は、これらの 9 つのより小さな正方形の中心の連続する部分列に置き換えられます。この部分列は、9 つ​​のより小さな正方形を 3 つの列にグループ化し、各列内で中心を連続して並べ、次に正方形の一方の側からもう一方の側に向かって、部分列内の連続する各点のペア間の距離が小さな正方形の辺の長さと等しくなるように列を並べることによって形成されます。このような順序付けには 4 つの方法があります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S_{i-1}}$${\displaystyle c}$

• 左の3つのセンターは下から上、中央の3つのセンターは上から下、右の3つのセンターは下から上
• 右の3つのセンターは下から上、中央の3つのセンターは上から下、左の3つのセンターは下から上
• 左の3つのセンターは上から下、中央の3つのセンターは下から上、右の3つのセンターは上から下
• 右の3つのセンターは上から下、中央の3つのセンターは下から上、左の3つのセンターは上から下

これら4つの順序付けのうち、 の場合の順序付けは、順序付けの最初の点と におけるその前の点との間の距離が、小さな正方形の辺の長さに等しくなるように選択される。が順序付けの最初の点である場合、 を置き換える9つの中心に対して、これら4つの順序付けの最初のものが選択される。^[3]${\displaystyle s}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

ペアノ曲線自体は、無限大に近づくにつれて、正方形の中心の列を通る曲線の極限になります。 ${\displaystyle i}$

冒頭で示したペアノ曲線は、リンデンマイヤー システムを使用して構築できます。この L システムは次のように記述できます。

ここで、「F」は「前方に引く」を意味し、「+」は「時計回りに 90 度回転する」を意味し、「−」は「反時計回りに 90 度回転する」を意味します。導入部の画像は、ルールの最初の 3 つの反復の画像を示しています。

「構築」セクションに示されている曲線は次のように構築されます。

ここで、「F」は「前方に引く」を意味し、「+」は「時計回りに 90° 回転する」を意味し、「−」は「反時計回りに 90° 回転する」を意味します。上の画像は、ルールの最初の 2 つの反復を示しています。

ペアノ曲線の定義では、各列の正方形の中心ではなく、各行の3つの正方形の中心を連続させることで、一部またはすべてのステップを実行することができます。これらの選択により、ペアノ曲線のさまざまなバリエーションが生まれます。^[3]

この曲線の「多重基数」の変形は、異なる方向に異なる数の細分化を持ち、任意の形状の長方形を塗りつぶすために使用できます。^[4]

ヒルベルト曲線は、正方形を 9 つの等しい小さな正方形ではなく 4 つの等しい小さな正方形に分割することに基づいた、同じアイデアのより単純な変形です。