カットポイント

位相幾何学において、カットポイントとは連結空間上の点であり、その点を除去すると結果として生じる空間は連結されていない状態になります。点を除去しても連結されていない空間にならない場合、この点は非カットポイントと呼ばれます。

たとえば、線のすべての点はカットポイントですが、円のどの点もカットポイントではありません。

カットポイントは、各空間のカットポイントの数を数えることで、2 つの接続された空間が同相であるかどうかを判断するのに役立ちます。2 つの空間のカットポイントの数が異なる場合、それらは同相ではありません。典型的な例としては、カットポイントを使用して直線と円が同相ではないことを示すことが挙げられます。

カットポイントは、コンパクト性と連結性の特性を組み合わせた空間のクラスであり、単位区間、円、トーラスなどの多くのよく知られた空間を含む位相連続体の特徴付けにも役立ちます。

連結なT ₁位相空間Xのカットポイントとは、 X - { p } が連結されていないX内の点pのことです。カットポイントではない点は非カットポイントと呼ばれます。

空でない連結位相空間 X は、X 内のすべての点が X の切断点である場合に 切断点空間と呼ばれます。

• 閉区間[ a,b] には無限のカットポイントがあります。その端点を除くすべての点はカットポイントであり、端点 {a,b} は非カットポイントです。
• 開区間( a,b) にも、閉区間と同様に無限のカットポイントがあります。開区間には端点がないので、非カットポイントはありません。
• 円には切断点がないので、円のすべての点は非切断点になります。

• X の切断は集合 {p,U,V} であり、p は X の切断点、U と V はX-{p} の分離を形成します。
• X\{p}=U|V と書くこともできます。

• カットポイントは、連続関数では必ずしも保存されません。たとえば、f : [0, 2 π ] → R ²は、f ( x ) = (cos x , sin x ) で与えられます。区間内のすべての点 (2 つの端点を除く) はカットポイントですが、 f(x) はカットポイントのない円を形成します。
• カットポイントは同相写像の下で保存されます。したがって、カットポイントは位相不変量です。

• 2 つ以上の点を持つ連続体 (コンパクトで連結されたハウスドルフ空間) には、少なくとも 2 つの非切断点があります。具体的には、結果として生じる空間の分離を形成する各開集合には、少なくとも 1 つの非切断点が含まれます。
• ちょうど 2 つの非切断点を持つすべての連続体は、単位区間に同相です。
• K が点 a、b を持つ連続体であり、K-{a、b} が連結されていない場合、K は単位円に同相です。

• X を連結空間とし、x を X 内の切断点として X\{x}=A|B とします。この場合、{x} は開いているか閉じているかのどちらかです。{x} が開いている場合、A と B は閉じています。{x} が閉じている場合、A と B は開いています。
• X をカットポイント空間とします。X の閉点の集合は無限です。

カットポイント空間の適切な部分集合がカットポイント空間でない場合、そのカットポイント 空間は既約ではありません。

カリムスキー線:を整数の集合とし、は上の位相の基底とします。カリムスキー線は、この位相が備わった集合です。これはカットポイント空間です。さらに、既約です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle B=\{\{2i-1,2i,2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• 位相空間は、X が Khalimsky 直線に同相である場合に限り、既約カットポイント空間になります。${\displaystyle X}$

カットポイント（グラフ理論）

• ハッチャー、アレン、入門点集合位相論に関するノート、pp. 20-21
• Honari, B.; Bahrampour, Y. (1999)、「カットポイント空間」(PDF)、アメリカ数学会紀要、127 (9): 2797–2803、doi : 10.1090/s0002-9939-99-04839-x
• ウィラード、スティーブン（2004）。一般位相幾何学。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。(1970 年に Addison-Wesley Publishing Company, Inc. より初版発行。)