ツィオルコフスキーのロケット方程式

次のシステムを考えてみましょう。

以下の派生において、「ロケット」とは「ロケット本体と、その未使用の推進剤すべて」を意味するものとする。

ニュートンの運動第二法則は外力と（${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ロケットと排気を含むシステム全体の線形運動量の変化を次のように表します。 $${\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}}{\Delta t}}}$$ どこ${\displaystyle {\vec {P}}_{0}}$は時刻におけるロケットの運動量である${\displaystyle t=0}$: $${\displaystyle {\vec {P}}_{0}=m{\vec {V}}}$$ そして${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}}$は時刻におけるロケットの運動量と燃焼質量である。${\displaystyle t=\Delta t}$: $${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}=\left(m-\Delta m\right)\left({\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}\right)+\Delta m{\vec {V}}_{\text{e}}}$$ そして、観察者に関して言えば、

• ${\displaystyle {\vec {V}}}$は時刻におけるロケットの速度である。${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle {\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}}$は時刻におけるロケットの速度である。${\displaystyle t=\Delta t}$
• ${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}$は、時間内に排気ガスに加えられた（そしてロケットから失われた）質量の速度である。${\displaystyle \Delta t}$
• ${\displaystyle m}$は時刻におけるロケットの質量である。${\displaystyle t=0}$
• ${\displaystyle \left(m-\Delta m\right)}$は時刻におけるロケットの質量である。${\displaystyle t=\Delta t}$

排気速度${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}$観測者座標系における速度は、ロケット座標系における排気の速度と関連している。${\displaystyle v_{\text{e}}}$による： $${\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}={\vec {V}}_{\text{e}}-{\vec {V}}}$$ したがって、 $${\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}={\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}}$$ これを解くと次のようになります。 $${\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}=m\Delta {\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}\Delta m-\Delta m\Delta {\vec {V}}}$$ もし${\displaystyle {\vec {V}}}$そして${\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}}$反対です、${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{i}}}$同じ方向を向いている${\displaystyle {\vec {V}}}$、${\displaystyle \Delta m\Delta {\vec {V}}}$無視できるほど小さい（なぜなら${\displaystyle dm\,d{\vec {v}}\to 0}$)、そして${\displaystyle dm=-\Delta m}$（正のエネルギーを放出して以来）${\displaystyle \Delta m}$結果として、時間の経過とともにロケットの質量が減少する）、 $${\displaystyle \sum _{i}F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

外部からの力が存在しないならば${\textstyle \sum _{i}F_{i}=0}$（線運動量保存則） $${\displaystyle -m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$$

と仮定すると${\displaystyle v_{\text{e}}}$は定数（ツィオルコフスキーの仮説^{[ 2 ]}として知られる）であるため、積分の対象とはならず、したがって上記の式は次のように積分できる。 $${\displaystyle -\int _{V}^{V+\Delta V}\,dV={v_{e}}\int _{m_{0}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}}$$

これにより、 $${\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}}$$ または同等に $${\displaystyle m_{f}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}$$または $${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}}$$または $${\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)}$$ どこ${\displaystyle m_{0}}$は推進剤を含む初期総質量です。${\displaystyle m_{f}}$ 最終的な質量、そして${\displaystyle v_{\text{e}}}$ロケットに対するロケット排気の速度（比推力、または時間で測定する場合は、地球上の重力加速度を乗じたもの）。${\displaystyle v_{\text{e}}}$は定数ではないため、上記の形式ほど単純なロケット方程式は得られない可能性があります。多くのロケット力学研究はツィオルコフスキー定数に基づいていました。${\displaystyle v_{\text{e}}}$仮説。

価値${\displaystyle m_{0}-m_{f}}$これは、消費された推進剤の総作動質量です。

${\displaystyle \Delta V}$（Δv）は、ロケットエンジンの使用によって生じる加速度の大きさを時間積分したものです（外部からの力が全くない場合の実際の加速度に相当します）。自由空間では、速度と同じ方向に加速する場合、これは速度の増加に相当します。反対方向に加速する場合（減速）、これは速度の減少に相当します。もちろん、重力と空気抵抗も機体を加速させ、機体が経験する速度の変化に加算または減算される可能性があります。したがって、Δvは必ずしも機体の実際の速度変化と一致するとは限りません。

特殊相対性理論を考慮に入れると、相対論的ロケットに対して次の式を導出できる^{[ 6 ]}。${\displaystyle \Delta v}$再びロケットの最終速度を表す（すべての反応質量を放出し、静止質量まで減少した後）${\displaystyle m_{1}}$）ロケットが静止状態から始まった慣性座標系において（燃料を含む静止質量は${\displaystyle m_{0}}$最初は）、${\displaystyle c}$真空中における光速を表す： $${\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}$$

書き込み${\textstyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$として${\displaystyle R}$この方程式は次のように変形できます。 $${\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}+1}}}$$

次に、そのアイデンティティを使用して${\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}$（ここで「exp」は指数関数を表します。自然対数および対数恒等式の「べき乗」恒等式も参照してください 。）そして恒等式${\textstyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$（双曲線関数を参照 ）これは以下と同等です $${\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}$$

デルタv（文字通り「速度の変化」）は、宇宙船の飛行力学において、惑星や月への打ち上げや着陸、あるいは宇宙空間での軌道変更といった操縦を行うために必要な推力を表す単位です。これは速度の単位を持つスカラー量です。この文脈で使用されるデルタvは、機体の物理的な速度変化とは異なります。

デルタvは、ロケットエンジンなどの反動エンジンによって生成され、単位質量あたりの推力と燃焼時間に比例し、ロケット方程式を通して、特定の操縦に必要な推進剤の質量を決定するために使用されます。

複数の操縦を行う場合、デルタVは線形的に加算される。

惑星間ミッションの場合、デルタVはしばしばポークチョッププロットにプロットされ、これは必要なミッションデルタVを打ち上げ日の関数として表示する。

航空宇宙工学において、推進剤質量分率とは、機体の質量のうち目的地に到達せず、推進剤として燃焼される部分の割合であり、通常は機体の性能を測る指標として用いられます。言い換えれば、推進剤質量分率とは、推進剤の質量と機体の初期質量の比率です。宇宙船の場合、目的地は通常軌道ですが、航空機の場合は着陸地点となります。質量分率が高いほど、設計上の重量は軽くなります。関連する指標として、ペイロード分率があります。これは、初期重量のうちペイロードが占める割合です。

ツィオルコフスキーロケット方程式の元の文言では質量分率を直接使用していませんが、質量分率は初期質量と最終質量の比率から導き出すことができます。${\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{f}}}={\frac {m_{f}+m_{p}}{m_{f}}}={\frac {m_{p}}{m_{f}}}+1}$。

有効排気速度は、多くの場合、比推力として指定され、両者の関係は次の式で表されます。 $${\displaystyle v_{\text{e}}=g_{0}I_{\text{sp}},}$$ どこ

• ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$は、秒単位の特定のインパルスです。
• ${\displaystyle v_{\text{e}}}$は、 m/sで測定される比推力であり、m/s (または g が ft/s ²の場合は ft/s )で測定される有効排気速度と同じです。
• ${\displaystyle g_{0}}$標準重力は9.80665  m/s ² (ヤード・ポンド法では32.174  ft/s ² )です。