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マルチボディシステムとは、相互に接続された剛体または柔軟な物体の動的挙動を研究するものであり、それぞれの物体は大きな並進変位および回転変位を起こす可能性がある。
相互接続された物体の動的挙動を体系的に扱うことで、力学の分野では数多くの重要な多体形式が生み出されてきた。多体システムの最も単純な物体または要素は、ニュートン（自由粒子）とオイラー（剛体）によって扱われた。オイラーは物体間の反作用力を導入した。その後、一連の形式が導き出されたが、最小座標に基づくラグランジュの形式と、拘束条件を導入する第2の定式化だけを挙げるとすれば、次のようになる。
基本的に、物体の運動は運動学的挙動によって記述されます。動的挙動は、加えられた力の平衡と運動量の変化率によって決まります。今日では、マルチボディシステムという用語は、特にロボット工学や車両力学など、多くの工学分野の研究に関連しています。重要な特徴として、マルチボディシステムの定式化は通常、相互接続された数千もの物体の任意の運動をモデル化、解析、シミュレーション、最適化するためのアルゴリズム的かつコンピュータ支援的な方法を提供します。
有限要素法では、機械システムの個々の物体や部品を詳細に解析するが、多体システム全体の挙動は、通常、以下の分野において多体システム解析法を用いて解析される。
以下の例は、典型的な多体システムを示しています。これは通常、スライダークランク機構と呼ばれます。この機構は、回転する駆動ビーム、連結ロッド、および摺動体を用いて、回転運動を並進運動に変換するために使用されます。この例では、連結ロッドとして柔軟な物体が使用されています。摺動体は回転せず、3つの回転ジョイントを使用して各物体を接続しています。各物体は空間的に6自由度を持ちますが、運動学的条件により、システム全体としては1自由度となります。
機構の動作は、以下のGIFアニメーションでご覧いただけます。
物体とは、通常、機械システムの剛体または柔軟な部分を指します（人体とは混同しないでください）。物体の例としては、ロボットの腕、自動車の車輪や車軸、人間の前腕などがあります。リンクとは、2つ以上の物体、または物体と地面との接続です。リンクは、物体の相対運動を制限する特定の（運動学的）制約によって定義されます。典型的な制約は次のとおりです。
多体システムには、自由度と拘束条件という2つの重要な用語があります。
自由度とは、物体が独立して運動できる可能性の数を表す。言い換えれば、自由度とは、空間における物体の位置を完全に定義するために必要な最小限のパラメータ数である。
剛体は、一般的な空間運動の場合、6つの自由度を持ち、そのうち3つは並進自由度、3つは回転自由度です。平面運動の場合、剛体は3つの自由度しか持たず、回転自由度は1つ、並進自由度は2つです。
平面運動における自由度は、コンピューターのマウスを使って簡単に示すことができます。自由度は、左右方向、前後方向、そして垂直軸を中心とした回転です。
拘束条件とは、1つまたは複数の物体の運動学的自由度を制限することを意味します。古典的な拘束条件は通常、 2つの物体間の相対的な並進または回転を定義する代数方程式です。さらに、2つの物体間、または物体と地面間の相対速度を拘束することも可能です。これは、例えば転がる円盤の場合で、地面に接触する円盤の点は、地面に対して常に相対速度がゼロになります。速度拘束条件を時間積分して位置拘束条件を形成できない場合、それは非ホロノミックと呼ばれます。これは、一般的な転がり拘束の場合に当てはまります。
さらに、非古典的な拘束条件も存在し、例えば、ある物体の点が別の物体の表面に沿って移動できるスライディングジョイントのように、新たな未知の座標を導入する場合もあります。接触の場合、拘束条件は不等式に基づいているため、このような拘束条件は物体の自由度を恒久的に制限するものではありません。
運動方程式は、多体システムの動的挙動を記述するために使用されます。多体システムの定式化ごとに、運動方程式の数学的表現は異なる場合がありますが、その背後にある物理法則は同じです。拘束された物体の運動は、基本的にニュートンの第2法則から導かれる方程式によって記述されます。これらの方程式は、拘束条件を追加した単一物体の一般的な運動に対して記述されます。通常、運動方程式はニュートン・オイラー方程式またはラグランジュ方程式から導出されます。
剛体の運動は、
これらのタイプの運動方程式は、いわゆる冗長座標に基づいています。なぜなら、方程式は基礎となるシステムの自由度よりも多くの座標を使用するからです。一般化座標は次のように表されます。質量行列は次のように表される。これは一般化座標に依存する可能性がある。 制約条件と行列を表す（ヤコビアンとも呼ばれる）は、座標に関する拘束条件の導関数です。この行列は、拘束力を適用するために使用されます。物体の対応する方程式に。ベクトルの成分これらはラグランジュ乗数とも呼ばれます。剛体の場合、可能な座標は2つの部分に分割できます。
どこ翻訳を表し、 回転について説明します。
剛体の場合、いわゆる二次速度ベクトルは、運動方程式におけるコリオリ項と遠心項を記述するために使用されます。その名前は、速度の二次項を含み、物体の運動エネルギーの偏微分によって生じる。
ラグランジュ乗数制約条件に関連しているそして通常は、拘束された自由度の「方向」に作用する力またはモーメントを表します。ラグランジュ乗数は、物体の位置エネルギーを変化させる外力とは異なり、「仕事」をしません。
運動方程式（1、2）は冗長座標によって表されます。つまり、座標は独立していません。これは、上に示したスライダークランク機構で例示できます。この機構では、各物体は6つの自由度を持ち、ほとんどの座標は他の物体の動きに依存しています。たとえば、剛体を含むスライダークランクの動きを記述するには、18個の座標と17個の拘束条件を使用できます。しかし、自由度は1つしかないため、運動方程式は、たとえば駆動リンクの角度を自由度として使用して、1つの方程式と1つの自由度によっても表すことができます。後者の定式化は、システムの運動を記述するために必要な座標の数が最小であるため、最小座標定式化と呼ばれます。冗長座標を最小座標に変換するのは、時に面倒で、ホロノミック拘束条件があり、運動学的ループがない場合にのみ可能です。最小座標運動方程式を導出するためのアルゴリズムがいくつか開発されており、いわゆる再帰的定式化もその一つです。結果として得られる方程式は、拘束条件がないため、標準的な時間積分法を用いて運動方程式を時間的に積分できるため、解きやすくなります。縮小されたシステムはより効率的に解けるかもしれませんが、座標変換には計算コストがかかる可能性があります。非常に一般的な多体システム定式化やソフトウェアシステムでは、システムの使いやすさと柔軟性を高めるために、冗長な座標が使用されます。
物体の柔軟性を考慮する必要があるケースはいくつかあります。例えば、柔軟性が運動学やコンプライアント機構において重要な役割を果たす場合などです。
柔軟性を考慮する方法はいくつかあります。主なアプローチは3つあります。
![\displaystyle \mathbf {q} =\left[\mathbf {u} \quad \mathbf {\Psi } \right]^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20d6dbee4375da4b6ffc3e0df78921b00d47139)
