縮尺（地図）

地図の縮尺は、言葉（語彙的縮尺）、比率、または分数で表すことができます。例は次のとおりです。

「1センチメートルを100メートルとする」または1:10,000または1/10,000        

「1インチ対1マイル」または1:63,360または1/63,360        

「1センチメートル＝1000キロメートル」、つまり1:100,000,000 、または1/100,000,000。（この比率は通常1:100Mと略記される。）        

上記に加えて、多くの地図には1つ以上の（図解による）縮尺が示されています。例えば、現代のイギリスの地図の中には、キロメートル、マイル、海里の3つの縮尺がそれぞれ示されているものがあります。

ユーザーが理解できる言語で表現された語彙的な尺度は、比率よりも視覚的に理解しやすい場合があります。例えば、縮尺が1インチ対2マイルで、地図上で約2インチ離れた2つの村が見える場合、それらの村が実際には約4マイル離れていることを容易に把握できます。

語彙的な縮尺は、利用者が理解できない言語で表現されていたり、時代遅れの単位や定義が曖昧な単位で表現されていたりすると、問題を引き起こす可能性があります。例えば、1インチを1ハロンとする縮尺（1:7920）は、かつて学校で帝国単位が教えられていた国々の多くの高齢者には理解されるでしょう。しかし、1プースを1リーグとする縮尺は、地図製作者がリーグの多くの定義の中からどれを選択するかによって約1:144,000となり、現代の利用者でその単位に精通している人は少数派でしょう。

空間スケールとの対比。

小縮尺地図は、世界地図、大陸、大国など、広い地域を網羅しています。つまり、小さなスペースに広大な土地を表しています。縮尺が小さいのは、表現される面積の割合が比較的小さいためです。

大縮尺地図は、郡地図や都市計画図のように、より小さな地域をより詳細に示します。このような地図は、代表比率が比較的大きいため、大縮尺と呼ばれます。例えば、大縮尺地図である都市計画図は1万分の1の縮尺であるのに対し、小縮尺地図である世界地図は1億分の1の縮尺である場合があります。

以下の表は、これらの尺度の一般的な範囲を示していますが、標準規格が存在しないため、絶対的なものとして扱うべきではありません。

これらの用語は、表に示されている絶対的な意味で使われる場合もあれば、相対的な意味で使われる場合もあります。例えば、大縮尺地図（上記の表に示されているもの）のみを扱う地図閲覧者は、1:500,000の地図を小縮尺地図と呼ぶかもしれません。

英語では、「large-scale」という単語はしばしば「広範囲」という意味で使われます。しかし、前述のように、地図製作者は「large scale」という用語を、より狭い範囲を示す地図、つまり範囲の狭い地図を指すために使用します。広範囲を示す地図は「small scale」地図と呼ばれます。この点が混乱の原因となることがあります。

広大な地域を地図化すると、地球の湾曲した表面が著しく平坦化されるため、目立った歪みが生じます。歪みの分布は地図投影法によって異なります。縮尺は地図全体で異なり、表示されている縮尺はあくまで概算値です。これについては後述します。

任意の投影法の式を記述する際には、2つの慣例が用いられます。例えば、正距円筒図法は次のように記述できます。

地図製作者：      ${\displaystyle x=a\lambda }$    ${\displaystyle y=a\varphi }$

数学者：    ${\displaystyle x=\lambda }$    ${\displaystyle y=\varphi }$

ここでは、これらの慣例のうち最初のものを採用します（スナイダーによる調査での使用法に従います）。明らかに、上記の投影方程式は、地球を包み込んでから展開した巨大な円筒上の位置を定義します。これらの座標は投影図を定義すると言い、これは実際に印刷された（または閲覧された）地図とは論理的に区別されなければなりません。前のセクションで点スケールの定義が投影図に基づいている場合、スケール係数は1に近いと予想できます。通常の接線円筒投影では、赤道に沿ったスケールはk=1であり、一般に、赤道から離れるにつれてスケールは変化します。投影図上のスケールの分析は、kがその真の値である1からどれだけ離れているかを調べることです。

実際の印刷地図は、投影地図から、 1:100M（全世界地図の場合）や1:10000（都市計画図の場合）などの比率で表される一定の縮尺で作成されます。「縮尺」という言葉の使用における混乱を避けるため、この一定の縮尺率は印刷地図の代表縮尺率（RF）と呼ばれ、地図に印刷されている比率と同一視されます。正距円筒図法の実際の印刷地図の座標は次のとおりです。

印刷された地図：      ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$    ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

この慣例により、本来の射影スケーリングと縮小スケーリングを明確に区別することができる。

ここからはRF（反射率）を無視して、投影マップを用いて作業を進めます。

地球表面上の点Pを中心とする緯度にある小さな円を考えてみましょう。${\displaystyle \varphi }$経度${\displaystyle \lambda }$点の縮尺は位置と方向によって変化するため、投影図上の円の投影は歪みます。ティソは、歪みが大きすぎない限り、円は投影図上で楕円になることを証明しました。一般に、楕円の寸法、形状、向きは投影図上で変化します。これらの歪み楕円を地図投影図に重ね合わせると、地図上で点の縮尺がどのように変化しているかがわかります。この歪み楕円はティソの指示楕円として知られています。ここに示されている例は、ナショナル ジオグラフィック協会が作成した世界地図の標準投影法であるウィンケル トリペル投影法です。最小の歪みは、北緯と南緯が 30 度の中央子午線上にあります。（その他の例^{[ 5 ] [ 6 ]}）。

スケールを定量的に理解するための鍵は、球面上の微小要素を考えることである。図は緯度にある点Pを示している。${\displaystyle \varphi }$経度${\displaystyle \lambda }$球面上にある点Qは緯度にある。${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$経度${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$線PKとMQは長さの経線弧である。${\displaystyle a\,\delta \varphi }$どこ${\displaystyle a}$は球の半径であり、${\displaystyle \varphi }$はラジアン単位で表されます。線分 PM と KQ は長さの平行円弧です。${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$と${\displaystyle \lambda }$ラジアン単位で表す。点Pにおける投影の点特性を導出するには、曲面の微小要素PMQKを取るだけで十分である。QがPに近づく極限では、このような要素は無限小の平面長方形に収束する。

球の通常の円筒投影は ${\displaystyle x=a\lambda }$そして${\displaystyle y}$緯度のみの関数に等しい。したがって、球面上の微小要素 PMQK は、底辺が 1 の正確な長方形である微小要素 P'M'Q'K' に投影される。${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$身長 ${\displaystyle \delta y}$球面と投影上の要素を比較することで、緯線と経線上の縮尺係数の式を直ちに導き出すことができる。（一般的な方向における縮尺の扱いについては、以下を参照のこと。）

並列スケールファクター  ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

子午線スケール係数 ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}$

平行スケール係数に注意してください${\displaystyle k=\sec \varphi }$ 定義とは無関係である${\displaystyle y(\varphi )}$したがって、これはすべての通常の円筒形投影で同じです。

緯度30度では、平行尺度は${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

緯度45度では、平行尺度は${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

緯度60度では、平行尺度は${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

緯度80度では、平行尺度は${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}$

北緯85度では、平行尺度は${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

以下の例は、3 つの通常の円筒投影図を示しており、それぞれの場合において、ティソの指示曲線を使用して、位置と方向による縮尺の変化を示しています。

メルカトル図法の縮尺は赤道上で1となる。これは、その作成に使用される補助円筒が赤道上で地球に接線方向となるためである。このため、通常の投影法は接線投影法と呼ばれるべきである。縮尺は緯度によって変化する。${\displaystyle k=\sec \varphi }$。 以来${\displaystyle \sec \varphi }$極に近づくにつれて無限大に近づくため、メルカトル図法は高緯度で著しく歪んでおり、このため世界地図には全く不適切です（航海や等角航路について議論する場合を除く）。しかし、緯度約25度では、${\displaystyle \sec \varphi }$ は 約 1.1 なので、メルカトル図法は赤道を中心とした幅 50 度の帯状領域では 10% 以内の精度となります。より狭い帯状領域では精度が向上し、幅 16 度の帯状領域 (赤道を中心とした) では 1% 以内、つまり 100 分の 1 の精度となります。

優れた大規模地図の標準的な基準は、精度が1万分の4、つまり0.04%以内であることであり、これは${\displaystyle k=1.0004}$。 以来${\displaystyle \sec \varphi }$ この値は次の値に達します${\displaystyle \varphi =1.62}$度（下の図の赤い線を参照）。したがって、接線メルカトル図法は、赤道を中心とした幅 3.24 度の帯状領域内で非常に正確です。これは、南北距離約360 km（220マイル）に相当します。この帯状領域内では、メルカトル図法は正角（角度保存）であるため、非常に優れており、非常に正確で、形状も保存されます。これらの観察結果から、経線を投影の「赤道のように」扱う横メルカトル図法が開発され、その経線から狭い範囲で正確な地図が得られるようになりました。このような地図は、ほぼ南北に並んでいる国（イギリスなど）に適しており、このような地図 60 枚がユニバーサル横メルカトル図法（UTM）に使用されています。これらの投影法（さまざまな楕円体に基づいています）の両方において、x と y の変換方程式と縮尺係数の式は、緯度と経度の両方に関する複雑な関数であることに注意してください。  

割線投影の基本的な考え方は、球を円筒に投影し、その円筒が球と2つの平行線で交わるというものです。$\displaystyle \varphi _{1}}$北緯と南緯。これらの緯度では縮尺が正確である一方、これらの緯度より南の緯線は投影によって縮尺されるため、（緯線の）縮尺係数は1未満でなければならない。その結果、縮尺が1からずれる範囲が広くなる。

例として、可能なセカントメルカトル図法の1つは次のように定義されます。

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}$

数値乗数は投影の形状を変えるものではありませんが、縮尺係数が変更されることを意味します。

セカントメルカトルスケール、${\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}$

したがって

• 赤道上の目盛りは0.9996です。
• 緯度が与えられたとき、 スケールはk  = 1 となる。 $\displaystyle \varphi _{1}}$どこ ${\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}$となることによって${\displaystyle \varphi _{1}=1.62}$度、
• 緯度における k=1.0004$\displaystyle \varphi _{2}}$によって与えられた${\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}$そのために${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$度。したがって、投影は${\displaystyle 1<k<1.0004}$つまり、4.58度というより広い範囲で0.04%の精度が得られる（接線形式の場合は3.24度）。

これは、前のセクションの図の下側の（緑色の）曲線で示されています。

このような高精度の狭い領域は、UTMと英国OSGB投影法で使用されており、どちらも楕円体上の割線横メルカトル図法で、中心子午線上の縮尺は一定です。${\displaystyle k_{0}=0.9996}$等尺線${\displaystyle k=1}$ 中心子午線から東西約180kmの範囲に、わずかに湾曲した線が引かれています。縮尺係数の最大値は、UTM座標系では1.001、OSGB座標系では1.0007です。

緯度における単位スケールの線${\displaystyle \varphi _{1}}$（北と南）は、円筒投影面が球と交わる点で、割線投影の標準平行線である。

狭い帯では${\displaystyle |k-1|<0.0004}$は、大規模な高精度マッピングにとって重要です。世界地図では、スケール変動を制御するために、より間隔の広い標準緯線が使用されます。例は次のとおりです。

• ベールマン社製、標準パラレル（北緯30度、南緯30度）。
• ガル等面積図、標準緯線は北緯45度、南緯45度。

後者の縮尺図をランベルト等積縮尺係数と比較して以下に示します。後者では、赤道は単一の標準緯線であり、経線縮尺の減少を補償するために緯線縮尺がk=1から増加します。ガル図法では、赤道で緯線縮尺が減少（k=0.707）し、経線縮尺が増加（k=1.414）します。これがガル・ピーターズ図法における形状の大きな歪みの原因となります（地球儀上では、アフリカは幅と長さがほぼ同じです）。標準緯線上では、経線縮尺と緯線縮尺の両方が1であることに注意してください。

通常の円筒投影の場合、微小要素の幾何学は次のようになる。

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}$

角度間の関係${\displaystyle \beta }$そして${\displaystyle \alpha }$は

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

メルカトル図法の場合 ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$贈る${\displaystyle \alpha =\beta }$角度は保存されます。（これはメルカトル図法を導出するために使用される関係なので、当然のことです。）等距離図法とランベルト図法では、次のようになります。${\displaystyle y'(\varphi )=a}$そして${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$それぞれ、したがって、${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$緯度によって異なる ${\displaystyle \varphi }$微小要素PQが角度をなすときの点Pにおける点スケールを表す。 ${\displaystyle \alpha \,}$子午線で${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$それは距離の比率で表されます。

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

設定${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$そして代入する${\displaystyle \delta \varphi }$そして${\displaystyle \delta y}$式(a)と式(b)からそれぞれ

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

メルカトル図法以外の投影法では、まず計算する必要があります。${\displaystyle \beta }$から${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \varphi }$式(c)を使うと、${\displaystyle \mu _{\alpha }}$例えば、正距円筒図法では${\displaystyle y'=a}$となることによって

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

一定の傾きを持つ直線を考えると ${\displaystyle \beta }$投影では、対応する値の両方が${\displaystyle \alpha }$そして線に沿ったスケールファクターは、${\displaystyle \varphi }$一般的な有限間隔を棒グラフの尺度に変換して意味のある結果を得る簡単な方法はありません。