傾斜面

傾斜面はランプとも呼ばれ、垂直方向から一定の角度で傾けられた平らな支持面であり、一方の端がもう一方の端よりも高くなっており、荷物を上げたり下げたりするのを補助するために使用されます。^{[1] [2] [3]傾斜面は、ルネッサンス時代の科学者によって定義された6つの古典的な}単純機械の1つです。傾斜面は、重い荷物を垂直の障害物を越えて移動させるために使用されます。例としては、トラックに商品を積み込むために使用されるランプから、歩行者用スロープを上る人、坂を上る自動車や鉄道の列車まで多岐にわたります。^[3]

物体を傾斜面上で持ち上げるには、まっすぐ持ち上げるよりも力は少なくて済みますが、移動する距離は長くなります。 ^{[4]傾斜面の}機械的利点、つまり力が減少する係数は、傾斜面の長さと傾斜面がまたがる高さの比に等しくなります。エネルギー保存則により、摩擦による損失を無視すれば、与えられた物体を与えられた垂直距離だけ持ち上げるには同じ量の機械的エネルギー（仕事）が必要ですが、傾斜面ではより小さな力でより長い距離にわたって同じ仕事をすることができます。^{[5] [6]}

摩擦角[ ^7]は安息角^[8]とも呼ばれ、摩擦によって荷物が傾斜面上で滑り落ちることなく静止できる最大角度です。この角度は、表面間の静止摩擦係数μ _sの逆正接に等しいです。 ^[8]

他の2つの単純な機械は、傾斜面から派生したと考えられています。^[9]くさびは、移動する傾斜面、またはベースで接続された2つの傾斜面と考えることができます。^[5]スクリューは、シリンダーの周りに巻かれた狭い傾斜面で構成されています。^[5]

この用語は、特定の実装を指す場合もあります。たとえば、商品を上り下りするために急な斜面に切り込まれた直線の傾斜路などです。これには、レールの上やケーブル システムで引き上げられる車両、ジョンズタウン インクラインのようなケーブルカーやケーブル鉄道が含まれます。

傾斜面は、トラック、船、飛行機に荷物を積み下ろしするための積載スロープとして広く使用されています。 ^[3] 車椅子用スロープは、車椅子の人が体力を超えずに垂直の障害物を乗り越えられるようにするために使用されます。エスカレーターや傾斜したコンベアベルトも傾斜面の一種です。^[6]ケーブルカーやケーブル鉄道では、ケーブルを使用して鉄道車両が急勾配の傾斜面を上ります。傾斜面を使用すると、飛行機の垂直方向の力を使用して重力を軽減することにより、人間を含む重くて壊れやすい物体を安全に垂直距離まで降ろすことができます。航空機の避難スライドを使用すると、旅客機の高さから人が迅速かつ安全に地面に到達できます。

その他のインクラインは恒久的な構造物に組み込まれています。車両や鉄道の道路には、緩やかな傾斜、ランプ、土手道の形でインクラインがあり、車両が路面の牽引力を失うことなく丘などの垂直の障害物を乗り越えることができます。^[3] 同様に、歩行者用の通路や歩道には、歩行者が牽引力を維持できるように傾斜を制限する緩やかなランプがあります。^{[1] [4]インクラインは、}遊び場の滑り台、ウォータースライド、スキー場、スケートボードパークで、人々が制御された方法で滑り降りるための娯楽としても使用されます。

傾斜面は、先史時代から重い物を運ぶために人々によって使用されてきた。^{[14] [15]}ローマ人などの古代文明によって建設された傾斜道路や土手道は、現存する初期の傾斜面の例であり、上り坂で物を運ぶためのこの装置の価値を彼らが理解していたことを示している。ストーンヘンジ^[16]などの古代の石造建築物で使用された重い石は、土でできた傾斜面を使用して移動および設置されたと考えられているが、^[17]このような一時的な建築用傾斜路の証拠を見つけるのは難しい。エジプトのピラミッドは傾斜面を使用して建設された。 ^{[18] [19] [20]} 包囲斜面により、古代の軍隊は要塞の壁を乗り越えることができた。古代ギリシャ人は、コリントス地峡を陸上で船を引きずるために、長さ6km（3.7マイル）の舗装された斜面、ディオルコスを建設した。^[4]

しかし、傾斜面は、6 つの古典的な単純機械の中で、機械として認識された最後の機械でした。これは、おそらく、傾斜面が受動的で動かない装置 (負荷が可動部分) であるためであり、 ^[21]また、傾斜面や丘の形で自然界に見られるためでもあります。他の 5 つの単純機械を定義した古代ギリシャの哲学者は、傾斜面が重い物を持ち上げる用途を理解していましたが、機械として傾斜面を含めませんでした。^[22]この見解は、後世の科学者の間では存続し、1826 年になっても、カール フォン ラングスドルフは、傾斜面は「山の斜面が機械ではないのと同じように機械ではない」と書いています。^[21]傾斜面を重りを押し上げるために必要な力 (その機械的利点) を計算する問題は、ギリシャの哲学者であるアレクサンドリアのヘロン(紀元 10 年頃 - 60 年頃) とアレクサンドリアのパップス(紀元 290 年頃 - 350 年頃) によって試みられましたが、彼らの解決策は正しくありませんでした。^{[23] [24] [25]}

ルネッサンス時代になって初めて、傾斜面は数学的に解かれ、他の単純な機械と同じ分類にされました。傾斜面の最初の正しい解析は、13世紀の著者ジョルダヌス・デ・ネモーレの著作に登場しましたが、^{[26] [27]}彼の解決法は、当時の他の哲学者に伝えられなかったようです。^[24] ジローラモ・カルダーノ(1570)は、入力された力が平面の角度に比例するという誤った解決法を提案しました。^[10]その後、16世紀の終わりに、10年以内にミヒャエル・ヴァロ(1584)、シモン・ステヴィン(1586)、ガリレオ・ガリレイ(1592)によって3つの正しい解決法が発表されました。^[24]最初ではありませんでしたが、フランドルの技術者シモン・ステヴィン^[25]による導出は、その独創性とビーズの列の使用により最もよく知られています(ボックスを参照)。^{[12] [26]} 1600年、イタリアの科学者ガリレオ・ガリレイは『機械論』の中で単純な機械の分析に傾斜面を含め、力の増幅装置として他の機械との根本的な類似性を示した。^[28]

傾斜面上の滑り摩擦に関する最初の基本法則は、レオナルド・ダ・ヴィンチ（1452-1519）によって発見されたが、彼のノートに残され、公表されなかった。^{[29]これらは}ギヨーム・アモントン（1699）によって再発見され、シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロン（1785）によってさらに発展させられた。^[29] レオンハルト・オイラー（1750）は、傾斜面上の安息角の正接が摩擦係数に等しいことを示した。^[30]

斜面の機械的利点は、その勾配、つまり傾斜度に依存します。勾配が小さいほど、機械的利点は大きくなり、特定の重量を持ち上げるために必要な力は小さくなります。平面の勾配sは、平面の両端の高さの差、つまり「上昇」を水平方向の長さ、つまり「走行」で割った値に等しくなります。 ^[31]また、平面が水平方向となす角度、つまり「傾斜」で表すこともできます。 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\bigg (}{\frac {\text{上昇}}{\text{走行}}}{\bigg )}\,}$

単純な機械の機械的利点は 、 負荷に及ぼされる出力力と入力力の比率として定義されます。傾斜面では、出力負荷力は、平面上の負荷オブジェクトの重力、つまりその重量です 。入力力は 、平面に平行なオブジェクトに及ぼされ、平面を上方に動かす力です。機械的利点は、 ${\displaystyle \mathrm {MA} }$${\displaystyle F_{\text{w}}}$${\displaystyle F_{\text{i}}}$

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{\text{w}}}{F_{\text{i}}}}\,}$

摩擦のない理想的な傾斜面のMAは理想的な機械的利点と呼ばれることがあり、摩擦を考慮したMAは実際の機械的利点と呼ばれます。^[32]${\displaystyle \mathrm {MA} }$ ${\displaystyle \mathrm {IMA} }$ ${\displaystyle \mathrm {AMA} }$

動かされる物体と平面との間に摩擦がない場合、その装置は理想的な傾斜面と呼ばれます。この状態は、物体が樽のように転がっていたり、車輪やキャスターで支えられていたりする場合に近づきます。エネルギー保存則により、摩擦のない傾斜面の場合、荷物を持ち上げる仕事は、入力された力によって行われた仕事に等しくなります。^{[33] [34] [35]}${\displaystyle W_{\text{out}}}$${\displaystyle W_{\text{in}}}$

${\displaystyle W_{\rm {out}}=W_{\rm {in}}\,}$

仕事は、物体が移動する変位に力をかけたものと定義されます。荷物に行われた仕事は、その重量に、傾斜面の「上昇」である垂直方向の変位を掛けたものに等しくなります。

${\displaystyle W_{\rm {out}}=F_{\rm {w}}\cdot {\text{上昇}}\,}$

入力仕事は、物体にかかる力と傾斜面の対角線の長さの積に等しくなります。 ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

${\displaystyle W_{\rm {in}}=F_{\rm {i}}\cdot {\text{長さ}}\,}$

これらの値を上記のエネルギー保存則に代入して整理すると

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {\text{長さ}}{\text{高さ}}}\,}$

平面の角度で機械的利点を表すには、 ^[34]図（上）から次のことがわかる。 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{上昇}}{\text{長さ}}}\,}$

それで

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {1}{\sin \theta }}\,}$

したがって、摩擦のない傾斜面の機械的利点は、傾斜角の正弦の逆数に等しくなります。この式から得られる入力力は、傾斜面上で荷物を動かないように保持する、または一定の速度で押し上げるために必要な力です。入力力がこれより大きい場合、荷物は面を上に向かって加速します。力が小さい場合、荷物は面を下に向かって加速します。 ${\displaystyle F_{\rm {i}}}$

平面と負荷の間に摩擦がある場合、例えば重い箱を斜面を滑らせる場合、入力力によって加えられた仕事の一部は摩擦によって熱として消散し、負荷にかかる仕事は少なくなります。エネルギー保存則により、出力仕事と摩擦エネルギー損失の合計は入力仕事に等しくなります 。${\displaystyle W_{\text{fric}}}$

${\displaystyle W_{\text{in}}=W_{\text{fric}}+W_{\text{out}}\,}$

したがって、摩擦がない場合よりも大きな入力力が必要となり、機械的利点は低くなります。摩擦がある場合、負荷は表面に平行な正味の力がそれに対抗する摩擦力よりも大きい場合にのみ移動します。^{[8] [36] [37]}最大摩擦力は次のように与えられます 。${\displaystyle F_{\text{f}}}$

${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$

ここで、は荷重と平面の間に働く法線力で、表面に対して垂直に向いています。は2つの表面間の静摩擦係数で、材質によって異なります。入力力が加えられていない場合、平面の傾斜角 がある最大値より小さいと、平面に平行な重力成分は摩擦を克服するには小さすぎるため、荷重は静止したままになります。この角度は安息角と呼ばれ、表面の構成に依存しますが、荷重の重量には依存しません。以下に示すように、安息角の 正接は次の式に等しくなります。${\displaystyle F_{\text{n}}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

摩擦がある場合、荷重が平面を上下に滑らずに静止している入力力の範囲が常に存在しますが、摩擦のない傾斜面の場合、荷重が静止している入力力の値は 1 つだけです。 ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

傾斜面上の荷重を自由体として考えると、それには3つの力が作用する：^{[8] [36] [37]}

• 荷重を移動させるために荷重に加えられる力。傾斜面と平行に作用します。${\displaystyle F_{\text{i}}}$
• 垂直下向きに作用する荷重の重さは${\displaystyle F_{\text{w}}}$
• 飛行機が荷重に及ぼす力。これは 2 つの要素に分解できます。
  • 傾斜面が荷重に及ぼす垂直力。この力は表面に対して垂直（法線）に向かいます。${\displaystyle F_{\text{n}}}$
  • 荷重面上の摩擦力は表面と平行に作用し、常に物体の運動と反対方向になります。この力は、 2 つの表面間の静摩擦係数μ に法線力を乗じた値に等しくなります。${\displaystyle F_{\text{f}}}$

ニュートンの運動の第二法則によれば、荷重にかかる力の合計がゼロであれば、荷重は静止または定常運動していることになります。上り坂と下り坂では摩擦力の方向が逆なので、これら 2 つのケースは別々に考慮する必要があります。

• 上り坂の動き:荷物にかかる力の合計は上り坂側に向かうため、摩擦力は平面に沿って下向きに向かい、入力された力に対抗します。

機械的な利点は

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta +\phi )}}\,}$

ここで、これは傾斜面を上る動きが起こる条件です。加えられた力F _{i が}この式で与えられた値よりも大きい場合、荷重は面を上に移動します。${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

• 下り坂の動き:荷物にかかる力の合計は下り坂側に向かうため、摩擦力は平面の上方に向けられます。

機械的な利点は

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta -\phi )}}\,}$

これは、平面上での差し迫った動きの条件です。適用される力F _{i が}この式で与えられた値よりも小さい場合、荷重は平面上で滑り落ちます。次の 3 つのケースがあります。

1. ${\displaystyle \theta <\phi \,}$: 機械的利点は負です。力が加わらない場合は、荷物は動かず、滑り落ちるには負の（下り坂の）力を加える必要があります。
2. ${\displaystyle \theta =\phi \,}$: 「安息角」。機械的利点は無限大です。力が加わらなければ、荷物は滑りませんが、わずかな負の力（下り坂の力）が加わると滑ります。
3. ${\displaystyle \theta >\phi \,}$: 機械的利点は正です。力が加わらない場合は、荷物は平面を滑り落ち、動かないようにするには何らかの正の（上り坂の）力が必要です。

傾斜面の機械的利点は、傾斜面上の荷物の重量と、それを傾斜面から引き上げるのに必要な力の比率です。荷物の移動でエネルギーが消散または蓄積されない場合、この機械的利点は傾斜面の寸法から計算できます。

これを示すために、傾斜路上の水平から角度θで車両の位置rを次のように表すものと する。

${\displaystyle \mathbf {r} =R(\cos \theta ,\sin \theta ),}$

ここでRはランプに沿った距離です。ランプを登る車の速度は

${\displaystyle \mathbf {v} =V(\cos \theta ,\sin \theta ).}$

損失がないため、力Fによって荷物を傾斜路に沿って移動させるために使用される電力は、荷物の 重量Wの垂直方向の揚力である出力に等しくなります。

車をランプから引き上げる入力力は次のように表される。

${\displaystyle P_{\mathrm {in} }=FV,\!}$

そして出力は

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=\mathbf {W} \cdot \mathbf {v} =(0,W)\cdot V(\cos \theta ,\sin \theta )=WV\sin \theta .}$

入力パワーと出力パワーを等しくすると、機械的利点は次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

傾斜面の機械的利点は、傾斜面の長さLと高さHの比から計算することもできます。傾斜面の角度の正弦は次のように表されるからです。

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {H}{L}},}$

したがって、

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {L}{H}}.}$

例: 傾斜路の高さがH = 1メートル、長さがL = 5メートルの場合、機械的利点は

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=5,}$

つまり、20 ポンドの力で 100 ポンドの荷物を持ち上げることができるということです。

リバプール・ミナール斜面は1804メートル×37.50メートルの寸法で、

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=1804/37.50=48.1,}$

したがって、ケーブルにかかる 100 ポンドの張力は 4810 ポンドの荷重を持ち上げます。この傾斜の勾配は 2% です。つまり、角度 θ は sin θ≈tan θ になるほど小さいということです。

ウィキメディア・コモンズには、傾斜面に関連するメディアがあります。

• 物理学傾斜面のインタラクティブシミュレーション