RLC回路

RLC回路は、直列または並列に接続された抵抗器(R)、インダクタ(L)、コンデンサ(C)で構成される電気回路です。回路の名前は、この回路の構成要素を表すために使用される文字に由来しており、構成要素の順序は RLC とは異なる場合があります。

この回路は電流の高調波発振器を形成し、LC 回路と同様に共振します。抵抗器を導入すると、これらの振動の減衰が増加します。これは減衰とも呼ばれます。また、抵抗器はピーク共振周波数を低下させます。抵抗器がコンポーネントとして明示的に含まれていない場合でも、ある程度の抵抗は避けられません。

RLC 回路は、発振回路として多くの用途があります。ラジオ受信機やテレビでは、周囲の電波から狭い周波数範囲を選択するためのチューニングに使用されます。この役割では、回路はしばしば同調回路と呼ばれます。RLC 回路は、バンドパス フィルター、バンドストップ フィルター、ローパス フィルター、またはハイパス フィルターとして使用できます。たとえば、チューニング アプリケーションは、バンドパス フィルタリングの一例です。RLC フィルターは2 次回路として説明されます。つまり、回路内の任意の電圧または電流は、回路解析において 2 次微分方程式で説明できます。

3 つの回路要素 R、L、C は、さまざまなトポロジーで組み合わせることができます。3 つの要素すべてを直列にするか、3 つの要素すべてを並列にするのが、概念的に最も単純で、分析が最も簡単です。ただし、実際の回路で実用的な重要性を持つ他の配置もあります。よく遭遇する問題の 1 つは、インダクタの抵抗を考慮する必要があることです。インダクタは通常、ワイヤのコイルで構成されており、その抵抗は通常は望ましくありませんが、回路に大きな影響を与えることがよくあります。

この回路の重要な特性は、特定の周波数、共振周波数f 0_で共振する能力です。周波数はヘルツ単位で測定されます。この記事では、数学的に便利な角周波数ω 0_を使用します。これはラジアン/秒で測定されます。これらは単純な比率で互いに関連しています。

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}\,.}$

共振が発生するのは、この状況のエネルギーが 2 つの異なる方法で保存されるためです。コンデンサが充電されるときの電界と、インダクタに電流が流れるときの磁界です。回路内でエネルギーは一方から他方に転送され、振動する可能性があります。機械的な類似点は、バネに吊り下げられた重りで、放すと上下に振動します。これは一時的な比喩ではありません。バネに吊り下げられた重りは、RLC 回路とまったく同じ 2 次微分方程式で記述され、一方のシステムのすべての特性に対して、もう一方のシステムの類似した特性が見つかります。回路内の抵抗器に対応する機械的な特性は、バネ - 重りシステムにおける摩擦です。外部からの力がない場合は、摩擦によって振動がゆっくりと停止します。同様に、回路内に駆動する AC 電源がない場合、RLC 回路の抵抗によって振動が「減衰」し、時間とともに減衰します。

共振周波数は、回路のインピーダンスが最小になる周波数として定義されます。同様に、インピーダンスが純粋に実数 (つまり、純粋に抵抗) になる周波数として定義することもできます。これは、共振時のインダクタとコンデンサのインピーダンスが等しいが、符号が反対で打ち消し合うために発生します。L と C が直列ではなく並列になっている回路は、実際には最小インピーダンスではなく最大インピーダンスを持ちます。このため、これらは反共振器と呼ばれることがよくありますが、これが発生する周波数を共振周波数と呼ぶのが一般的です。

共振周波数は、駆動源に与えられるインピーダンスによって定義されます。駆動源が取り除かれた後、または電圧のステップ（ゼロへのステップダウンを含む）を受けた後でも、回路が（しばらくの間）振動し続けることは可能です。これは、音叉が叩かれた後も鳴り続けるのと似ており、その効果はしばしばリンギングと呼ばれます。この効果は回路のピーク自然共振周波数であり、一般に駆動共振周波数とまったく同じではありませんが、通常、この 2 つは互いに非常に近い値になります。さまざまな著者が 2 つを区別するためにさまざまな用語を使用していますが、無条件共振周波数は通常、駆動共振周波数を意味します。駆動周波数は非減衰共振周波数または非減衰自然周波数と呼ばれることがあり、ピーク周波数は減衰共振周波数または減衰自然周波数と呼ばれることがあります。この用語が使用される理由は、直列または並列共振回路の駆動共振周波数が値を持つためです。^[1]

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~.}$

これは、ロスレス LC 回路、つまり抵抗器が存在しない回路の共振周波数とまったく同じです。駆動されたRLC 回路の共振周波数は、減衰のない回路と同じで、したがって減衰されていない共振周波数です。一方、共振周波数のピーク振幅は抵抗器の値に依存し、減衰共振周波数として説明されます。減衰率の高い回路は、駆動されていないときにはまったく共振しません。リンギングのぎりぎりになる抵抗値を持つ回路は、臨界減衰と呼ばれます。臨界減衰の両側は、減衰不足(リンギングが発生する) および減衰過剰(リンギングが抑制される) として説明されます。

単純な直列または並列よりも複雑なトポロジを持つ回路（この記事の後半でいくつかの例を説明します）では、駆動共振周波数が から外れ、非減衰共振周波数、減衰共振周波数、駆動共振周波数がすべて異なる可能性があります。 ${\displaystyle \\omega_{0}=1/{\sqrt{L\,C~}}\}$

減衰は回路の抵抗によって生じます。これにより、回路が自然に共振するかどうか（つまり、駆動源がない場合）が決まります。このように共振する回路は減衰不足、共振しない回路は減衰過剰と呼ばれます。減衰減衰（記号α ）は、1秒あたりのネパーで測定されます。ただし、単位のない減衰係数（記号ζ 、ゼータ）の方が便利な場合が多く、 αと次の式で 関連付けられます。

${\displaystyle \ \zeta ={\frac {\alpha }{\ \omega _{0}\ }}\ .}$

ζ = 1の特殊なケースは臨界減衰と呼ばれ、回路がちょうど振動の境界にある場合を表します。これは、振動を起こさずに適用できる最小の減衰です。

共振効果はフィルタリングに利用でき、共振付近のインピーダンスの急激な変化を利用して、共振周波数に近い信号を通過させたりブロックしたりできます。バンドパス フィルタとバンドストップ フィルタの両方を構築でき、この記事の後半でいくつかのフィルタ回路を示します。フィルタ設計の重要なパラメータは帯域幅です。帯域幅はカットオフ周波数の間で測定されます。カットオフ周波数は、回路を通過する電力が共振時に通過した値の半分に低下する周波数として最もよく定義されます。これらの半電力周波数は 2 つあり、1 つは共振周波数より上、もう 1 つは共振周波数より下です。

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,,}$

ここでΔωは帯域幅、ω1_は下側半電力周波数、ω2_は上側半電力周波数である。帯域幅は減衰と次の式で関係している。

${\displaystyle \Delta \omega =2\alpha \,,}$

ここで、単位はそれぞれラジアン/秒とネーパー/秒です。^[要出典]他の単位には変換係数が必要な場合があります。帯域幅のより一般的な測定方法は分数帯域幅で、これは帯域幅を共振周波数の割合として表し、次のように表されます。

${\displaystyle B_{\mathrm {f} }={\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}\,.}$

比帯域幅は、パーセンテージで表されることもよくあります。フィルタ回路の減衰は、必要な帯域幅になるように調整されます。ノッチ フィルタなどの狭帯域フィルタでは、減衰は低くする必要があります。広帯域フィルタでは、減衰は高くする必要があります。

Q係数は、共振器の特性を評価するために広く使用されている指標です。これは、回路に蓄積されるピークエネルギーを、共振時に回路内でラジアンあたりに消費される平均エネルギーで割った値として定義されます。したがって、 Q係数が低い回路は減衰して損失が大きく、Q 係数が高い回路は減衰が不十分で、共振周波数で駆動すると振幅が極端になりやすくなります。^[a] Q 係数は帯域幅と関連しており、Q係数が低い回路は広帯域で、Q 係数が高い回路は狭帯域です。実際、Q 係数は分数帯域幅の逆数です。

${\displaystyle Q={\frac {1}{\,B_{\mathrm {f} }\,}}={\frac {\omega _{\text{o}}}{\,\operatorname {\Delta } \omega \,}}\;.}$^[2]

Q係数は選択性に正比例し、Q係数は帯域幅に反比例します。

直列共振回路（下図参照）の場合、Q値は次のように計算できます。^[2]

${\displaystyle Q={\frac {X}{\,R\;}}={\frac {1}{\,\omega _{\text{o}}R\,C\,}}={\frac {\,\omega _{\text{o}}L\,}{R}}={\frac {1}{\,R\;}}{\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}={\frac {\,Z_{\text{o}}\,}{R\;}}\;,}$^[2]

ここで、共振時のリアクタンスはまたはであり、${\displaystyle \,X\,}$${\displaystyle \,L\,}$${\displaystyle \,C\,}$${\displaystyle \,Z_{\text{o}}\equiv {\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}\;.}$

パラメータζ、B _f、Qはすべてω ₀にスケーリングされます。つまり、同様のパラメータを持つ回路は、同じ周波数帯域で動作しているかどうかに関係なく、同様の特性を共有します。

次に、直列 RLC 回路の詳細な分析を示します。他の構成については詳細には説明しませんが、直列の場合との主な違いを示します。直列回路のセクションで示されている微分方程式の一般的な形式は、すべての 2 次回路に適用でき、各回路の任意の要素の電圧または電流を記述するために使用できます。

この回路では、3つのコンポーネントはすべて電圧源と直列になっています。支配的な微分方程式は、 3つの要素それぞれの構成方程式をキルヒホッフの電圧法則（KVL）に代入することで求められます。KVLから、

${\displaystyle V_{\mathrm {R} }+V_{\mathrm {L} }+V_{\mathrm {C} }=V(t)\,,}$

ここで、V _R、V _L、V _{C は}それぞれR、L、Cの両端の電圧であり、V ( t ) は電源からの時間変動電圧です。

上記の式に とを代入すると次のようになります。${\displaystyle V_{R}=R\ I(t)\,,}$ ${\displaystyle \,V_{\mathrm {L} }=L{\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}\,}$${\displaystyle \,V_{\mathrm {C} }=V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau \,}$

${\displaystyle RI(t)+L{\frac {\,\mathrm {d} I(t)\,}{\mathrm {d} t}}+V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau =V(t)\;.}$

電源が不変の電圧である場合、時間微分を取ってLで割ると、次の 2 次微分方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {R}{\,L\,}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+{\frac {1}{\,L\,C\,}}I(t)=0\;.}$

これは、より一般的に適用可能な形式で表現すると便利です。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0\;.}$

αとω _{0 は}どちらも角周波数の単位です。αはネパー周波数または減衰と呼ばれ、刺激が除去された後に回路の過渡応答がどれだけ速く消えるかの尺度です。名前にネパーが含まれているのは、単位がネパー/秒と見なすこともできるためです。ネパーは減衰の対数単位です。ω ₀ は角共振周波数です。^[3]

直列RLC回路の場合、これら2つのパラメータは次のように与えられる: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {R}{\,2L\,}}\\\omega _{0}&={\frac {1}{\,{\sqrt {L\,C\,}}\,}}\;.\end{aligned}}}$

有用なパラメータは減衰係数ζであり、これはこれら2つの比として定義されます。ただし、ζが使用されず、代わりにαが減衰係数と呼ばれることもあります。そのため、その用語の使用には注意が必要です。^[5]

${\displaystyle \zeta \equiv {\frac {\alpha }{\,\omega _{0}\,}}\;.}$

直列RLC回路の場合、減衰係数は次のように表される。

${\displaystyle \zeta ={\frac {\,R\,}{2}}{\sqrt {{\frac {C}{\,L\,}}\,}}={\frac {1}{\ 2Q\ }}~.}$

ダンピング係数の値によって回路が示す過渡現象の種類が決まります。^[6]

微分方程式の特性方程式は^[7]である。

${\displaystyle s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0\,.}$

s領域における方程式の根は、^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)={\frac {-\omega _{0}}{\ \zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\ }}\ }}\ ,\\s_{2}&=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)\;.\end{aligned}}}$

微分方程式の一般解は、どちらかの根における指数関数か、あるいは両者の線形重ね合わせである。

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\;.}$

係数A ₁とA ₂は、解析対象の特定の問題の境界条件によって決まります。つまり、過渡現象の開始時の回路の電流と電圧の値と、無限時間後に安定すると推定される値によって設定されます。^[8]回路の微分方程式は、ζの値に応じて 3 つの異なる方法で解きます。これらは、過剰減衰 ( ζ > 1 )、不足減衰 ( ζ < 1 )、および臨界減衰 ( ζ = 1 )です。

過減衰応答（ζ > 1）は^[9]

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\;.}$

過減衰応答は振動を伴わない過渡電流の減衰である。^[10]

減衰応答（ζ <1）は^[11]

${\displaystyle I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)\,.}$

標準的な三角関数の恒等式を適用すると、2つの三角関数は位相シフトを伴う単一の正弦波として表現できる。^[12]

${\displaystyle I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )\;.}$

減衰不足応答は、周波数ω _dで減衰する振動である。振動は減衰率αで決まる速度で減衰する。αの指数は振動の包絡線を表す。B 1とB ₂ (または2番目の形式ではB ₃と位相シフトφ ) は境界条件によって決まる任意の定数_である。周波数ω _{d は}^[11]で与えられる。

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}\,}}\;.}$

これは減衰共振周波数または減衰固有周波数と呼ばれます。これは、外部ソースによって駆動されていない場合に回路が自然に振動する周波数です。共振周波数ω ₀は、外部振動によって駆動されたときに回路が共振する周波数であり、区別するために非減衰共振周波数と呼ばれることがよくあります。^[13]

臨界減衰応答（ζ = 1）は^[14]

${\displaystyle I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\;.}$

_{臨界減衰応答は、}振動することなく可能な限り最短時間で減衰する回路応答を表します。この考慮は、オーバーシュートすることなく可能な限り迅速に目的の状態に到達することが求められる制御システムでは重要です。D 1とD _{2 は}境界条件によって決定される任意の定数です。^[15]

直列RLCは、ラプラス変換を使用して過渡的および定常AC状態の動作の両方について解析できます。^[16]上記の電圧源がラプラス変換されたV ( s )（ここでsは複素周波数 s = σ + jω）の波形を生成する場合、KVLをラプラス領域に適用できます。

${\displaystyle V(s)=I(s)\left(R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\right)\,,}$

ここで、I ( s )はすべてのコンポーネントを流れるラプラス変換された電流です。I ( s )を解くと、

${\displaystyle I(s)={\frac {1}{\,R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\,}}V(s)\;.}$

そして並べ替えると、

${\displaystyle I(s)={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}V(s)\;.}$

ラプラスアドミタンス Y ( s )を解くと:

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}\,.}$

前の節で定義した パラメータαとω0_{を使って簡略化すると、}

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)\,}}\;.}$

Y ( s )のゼロは、 Y ( s ) = 0となるsの値です。

${\displaystyle s=0\quad {\mbox{and}}\quad |s|\rightarrow \infty \;.}$

Y ( s )の極は、 Y ( s ) → ∞となるsの値です。二次方程式の公式により、

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}\;.}$

Y ( s )の極は_、上のセクションの微分方程式の特性多項式における 根s1およびs2_{と同一である。}

任意のV ( t )に対して、 I ( s )の逆変換によって得られる解は次のようになる。

• 減衰不足の場合、ω ₀ > α :

  ${\displaystyle I(t)={\frac {1}{\,L\,}}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cos(\omega _{\mathrm {d} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {d} }\ }}\sin(\omega _{\mathrm {d} }\tau )\right]\,d\tau \,,}$

• 臨界減衰の場合、ω ₀ = α :

  ${\displaystyle \ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\ \left[\ 1-\alpha \tau \ \right]\ \mathrm {d} \tau \ ,}$

• 過剰減衰の場合、ω ₀ < α :

  ${\displaystyle \ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cosh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {r} }\ }}\sinh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )\right]\,d\tau \ ,}$

ここでω _r = √ α ² − ω ₀ ²であり、coshとsinhは通常の双曲関数です。

正弦定常状態は、s = jω（jは虚数単位）とすることで表されます。この代入により、上記の式の大きさは次のようになります。

${\displaystyle {\big |}Y(j\omega ){\big |}={\frac {1}{{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\,\omega C\,}}\right)^{2}}}\,}}\;.}$

そして、 ωの関数としての電流は次のように求められる。

${\displaystyle {\big |}I(j\omega ){\big |}={\big |}Y(j\omega ){\big |}\cdot {\bigl |}V(j\omega ){\bigr |}\;.}$

| I ( jω ) |にはピーク値があります。このピークでのωの値は、この特定のケースでは、減衰されていない自然共振周波数に等しくなります。 ^[17]これは、抵抗器の両端の最大電圧、したがって最大熱放散が自然周波数で発生することを意味します。

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\,{\sqrt {L\ C\ }}\,}}\;.}$

電流の周波数応答から、さまざまな回路要素にかかる電圧の周波数応答も決定できます（図を参照）。さらに、コンデンサにかかる最大電圧は、周波数で発生します。

${\displaystyle \omega _{C}={\frac {\ {\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}}}\ }{L}}\;,}$

一方、インダクタの最大電圧は

${\displaystyle \omega _{L}={\frac {1}{\ C{\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}\ }}\ }}\;.}$

それは次の通りです: 。 ${\displaystyle \omega _{C}<\omega _{0}<\omega _{L}}$

並列 RLC 回路の特性は、電気回路の双対関係から得られ、並列 RLC は直列 RLC のデュアル インピーダンスであることを考慮するとわかります。これを考慮すると、この回路を記述する微分方程式は、直列 RLC を記述する微分方程式の一般的な形式と同じであることが明らかになります。

並列回路の場合、減衰αは^[18]で与えられる。

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\,2\,R\,C\,}}}$

そして減衰係数は

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{\,2\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\,~.}$

同様に、他のスケールパラメータである比帯域幅とQも互いに逆数です。つまり、同じ値のコンポーネントから構成されると、あるトポロジの広帯域、低Q回路は、別のトポロジでは狭帯域、高Q回路になります。並列回路の 比帯域幅とQは次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\mathrm {f} }&={\frac {1}{\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\\Q&=R{\sqrt {{\frac {C}{L}}~}}\,~.\end{aligned}}}$

ここでの式は、上記の直列回路の式の逆数であることに注意してください。

この回路の複素アドミタンスは、各コンポーネントのアドミタンスを合計することで求められます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\,Z\,}}&={\frac {1}{\,Z_{L}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{C}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{R}\,}}\\&={\frac {1}{\,j\,\omega \,L\,}}+j\,\omega \,C+{\frac {1}{\,R\,}}\,.\end{aligned}}}$

直列配置から並列配置に変更すると、回路は共振時にインピーダンスが最小値ではなく最大値を持つようになるため、回路は反共振器になります。

反対側のグラフは、回路が定電圧で駆動されている場合、共振周波数で電流の周波数応答が最小になることを示しています。一方、定電流で駆動されている場合は、直列回路の電流と同じ曲線をたどる電圧が最大になります。 ${\displaystyle ~\omega _{0}=1/{\sqrt {\,L\,C~}}~}$

図4に示すような並列LC回路のインダクタと直列抵抗器は、コイル巻線の抵抗とその自己容量を考慮する必要がある場合によく見られるトポロジーです。並列LC回路はバンドパスフィルタリングによく使用され、Qは主にこの抵抗によって決まります。この回路の共振周波数は^{[19]です。}

${\displaystyle \ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-\left({\frac {R}{\ L\ }}\right)^{2}~}}\ .}$

これは、アドミタンスの虚数部がゼロになる周波数として定義される回路の共振周波数です。特性方程式の一般化された形式に現れる周波数（この回路では前と同じです）

${\displaystyle \ s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0\ }$

同じ周波数ではない。この場合、それは自然な減衰のない共振周波数である：^[20]

${\displaystyle \ \omega '_{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {LC~}}\ }}\ .}$

インピーダンスが最大となる周波数ωmax_は^{[21]で与えられる。}

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {max} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{L}^{2}\ ~}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{L}^{2}\ }}~}}~}}\ ,}$

ここでQ _L ≡ ⁠ω′ ₀ L/R⁠ はコイルの品質係数である^{。これは[21]}で近似できる。

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {max} }\approx \omega '_{0}\ {\sqrt {1-{\frac {1}{\ 2Q_{L}^{4}\ }}~}}\ .}$

さらに、正確な最大インピーダンスの大きさは^{[21]で与えられる。}

${\displaystyle \ |Z|_{\mathrm {max} }={\frac {RQ_{L}^{2}}{\ {\sqrt {2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2\ }}-\left(2Q_{L}^{2}+1\right)~}}\ }}={\frac {RQ_{L}}{\ {\sqrt {2{\sqrt {1+2/Q_{L}^{2}\ }}-\left(2+1/Q_{L}^{2}\right)~}}\ }}\ .}$

この値は^[21]で近似できる。${\displaystyle \ Q_{L}\gg 1\ ,}$

${\displaystyle \ |Z|_{\mathrm {max} }\approx RQ_{L}^{2}\ .}$

同様に、直列LC回路のコンデンサと並列の抵抗器は、損失のある誘電体を持つコンデンサを表すために使用できます。この構成は図5に示されています。この場合の共振周波数（インピーダンスの虚数部がゼロになる周波数）は、^{[22]で与えられます。}

${\displaystyle \ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-{\frac {1}{\ (RC)^{2}\ }}\ }}\ ,}$

一方、インピーダンスが最小となる 周波数ω _{m は次のように表される。}

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{C}^{2}\ }}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{C}^{2}\ }}\ }}\ }}\ ,}$

ここでQ _C = ω′ ₀ RCです。

コンデンサが電気振動を生成できるという最初の証拠は、1826年にフランスの科学者フェリックス・サヴァリによって発見されました。^{[23] [24]}彼は、ライデン瓶が鉄の針に巻かれた電線を通して放電されたとき、針が時々一方向に磁化され、時々反対方向に磁化されることを発見しました。彼は、これが電線内の減衰振動放電電流によって引き起こされ、針の磁化が前後に反転し、影響が出ないほど小さくなり、針がランダムな方向に磁化されたままになることであると正しく推測しました。

アメリカの物理学者ジョセフ・ヘンリーは1842年にサヴァリの実験を繰り返し、明らかに独立して同じ結論に達した。^{[25] [ 26]}イギリスの科学者ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）は1853年に、インダクタンスを通したライデン瓶の放電は振動するはずであることを数学的に示し、その共振周波数を導出した。^{[23] [25] [26]}

英国の無線研究者オリバー・ロッジは、ライデン瓶の大きな電池を長い電線で放電させることで、可聴域の共振周波数を持つ同調回路を作り出し、放電時に火花から楽音を生成した。^[25] 1857年、ドイツの物理学者ベレント・ヴィルヘルム・フェダーセンは、回転鏡の中で共振ライデン瓶回路によって生成された火花を撮影し、振動の目に見える証拠を示した。^{[23] [25] [26]} 1868年、スコットランドの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、インダクタンスと静電容量を持つ回路に交流電流を流す効果を計算し、共振周波数で応答が最大になることを示した。^[23]

電気共振曲線の最初の例は、1887年にドイツの物理学者ハインリッヒ・ヘルツが電波の発見に関する先駆的な論文の中で発表したもので、スパークギャップLC共振器検出器から得られるスパークの長さを周波数の関数として示していました。^[23]

同調回路間の共鳴の最初の実証の 1 つは、1889 年頃のロッジの「シントニック ジャー」実験でした^{[23] [25]}彼は、スパーク ギャップ付きの調整可能な 1 ターン コイルに接続されたライデン ジャーで構成される 2 つの共鳴回路を隣り合わせに配置しました。誘導コイルからの高電圧が一方の同調回路に適用され、スパークが発生して電流が振動すると、インダクタが共鳴するように調整されている場合にのみ、もう一方の同調回路でスパークが励起されました。ロッジと一部の英国の科学者は、この効果を「シントニー」という用語で表現することを好みましたが、最終的には「共鳴」という用語が定着しました^[23]。

RLC回路が初めて実用化されたのは1890年代で、スパークギャップ無線送信機で受信機を送信機に同調させるのに使われた。同調を可能にする無線システムの最初の特許は1897年にロッジによって出願されたが、最初の実用的なシステムは1900年にイギリス系イタリア人の無線の先駆者であるグリエルモ・マルコーニによって発明された。^[23]

これらの回路は、アナログラジオの同調回路で非常によく使用されます。調整可能な同調は、通常、平行板可変コンデンサを使用して実現されます。これにより、 Cの値を変更して、さまざまな周波数の局に同調できます。工場で同調がプリセットされているラジオのIF ステージの場合、より一般的なソリューションは、インダクタ内の調整可能なコアを使用してL を調整することです。この設計では、コア (インダクタンスを増大させる効果のある高透磁率の材料で作られています) にネジが切られており、必要に応じてインダクタ巻線にさらにねじ込んだり、さらにねじ外したりできます。

フィルタリング アプリケーションでは、抵抗器はフィルタが動作する負荷になります。減衰係数の値は、フィルタの必要な帯域幅に基づいて選択されます。帯域幅が広いほど、減衰係数の値を大きくする必要があります (逆も同様)。3 つのコンポーネントにより、設計者は 3 つの自由度を得ることができます。これらのうち 2 つは、帯域幅と共振周波数を設定するために必要です。設計者には、R、L、C を便利な実用的な値にスケーリングするために使用できる 1 つが残ります。または、最後の自由度を使用する外部回路によってR を事前に決定することもできます。

RLC回路はローパスフィルタとして使用できます。回路構成を図6に示します。コーナー周波数、つまり3dBポイントの周波数は次のように表されます。

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

これはフィルタの帯域幅でもある。減衰係数は^{[27]で与えられる。}

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2R_{L}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.}$

ハイパス フィルタを図 7 に示します。コーナー周波数はローパス フィルタと同じです。

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

フィルタのストップバンドはこの幅である。^[28]

バンドパスフィルタは、負荷抵抗と直列にLC回路を配置するか、負荷抵抗と並列にLC回路を配置することで、RLC回路で形成できます。これらの配置は、それぞれ図8と図9に示されています。中心周波数は次のように与えられます。

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,,}$

そして直列回路の帯域幅は^[29]

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {R_{L}}{L}}\,.}$

シャントバージョンの回路は、高インピーダンス源、つまり定電流源によって駆動されることを意図している。そのような条件下では、帯域幅は^[29]

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {1}{CR_{L}}}\,.}$

図10は、負荷に直列に接続されたLC回路で形成されたバンドストップフィルタを示しています。図11は、負荷に直列に接続されたLC回路で形成されたバンドストップフィルタです。最初のケースでは、共振時に低インピーダンスになったときに電流が共振器に流れるように、高インピーダンスソースが必要です。2番目のケースでは、共振時に高インピーダンスになったときに反共振器の両端で電圧が低下するように、低インピーダンスソースが必要です。^[30]

発振回路の用途では、一般に減衰（または同等の減衰係数）をできるだけ小さくすることが望ましい。実際には、この目的を達成するには、直列回路の場合は回路の抵抗R を物理的に可能な限り小さくし、並列回路の場合はR を可能な限り大きくする必要がある。どちらの場合でも、RLC 回路は理想的なLC 回路によく近似する。ただし、減衰が非常に低い回路（ Q係数が高い）の場合は、コイルやコンデンサの誘電損失などの問題が重要になることがある。

発振回路では

${\displaystyle \alpha \ll \omega _{0}\,,}$

または同等

${\displaystyle \zeta \ll 1\,.}$

結果として、

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }\approx \omega _{0}\,.}$

共振時の直列RLC回路では、電流は回路の抵抗によってのみ制限される。

${\displaystyle I={\frac {V}{R}}\,.}$

Rが小さく、例えばインダクタの巻線抵抗のみで構成されている場合は、この電流は大きくなります。インダクタの両端の電圧は

${\displaystyle V_{L}={\frac {V}{R}}\omega _{0}L\,.}$

コンデンサーの両端にも、インダクターと逆位相の同じ大きさの電圧が発生します。Rを十分に小さくできれば、これらの電圧は入力電圧の数倍になります。電圧比は、実際には回路の Qです。

${\displaystyle {\frac {V_{L}}{V}}=Q\,.}$

並列回路の電流でも同様の効果が見られます。回路は外部ソースに対して高インピーダンスのように見えますが、並列インダクタとコンデンサの内部ループには大きな電流が循環しています。

過減衰直列RLC回路はパルス放電回路として使用できます。波形を生成するために使用できるコンポーネントの値を知っておくと便利なことがよくあります。これは次の形式で記述されます。

${\displaystyle I(t)=I_{0}\left(\,e^{-\alpha \,t}-e^{-\beta \,t}\right)\,.}$

このような回路は、エネルギー貯蔵コンデンサ、抵抗の形の負荷、回路インダクタンス、およびスイッチのすべて直列接続で構成できます。初期条件は、コンデンサの電圧がV ₀で、インダクタに電流が流れていないことです。インダクタンスLがわかっている場合、残りのパラメータは次のように表されます。静電容量:

${\displaystyle C={\frac {1}{~L\,\alpha \,\beta \,~}}\,,}$

抵抗（回路と負荷の合計）：

${\displaystyle R=L\,(\,\alpha +\beta \,)\,,}$

コンデンサの初期端子電圧:

${\displaystyle V_{0}=-I_{0}L\,\alpha \,\beta \,\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

Rが既知 の場合（静電容量）に整理すると、

${\displaystyle C={\frac {~\alpha +\beta ~}{R\,\alpha \,\beta }}\,,}$

インダクタンス（回路と負荷の合計）：

${\displaystyle L={\frac {R}{\,\alpha +\beta ~}}\,,}$

コンデンサの初期端子電圧:

${\displaystyle V_{0}={\frac {\,-I_{0}R\,\alpha \,\beta ~}{\alpha +\beta }}\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

• RC回路
• RL回路
• 線形回路

• アガルワル、アナント、ラング、ジェフリー H. (2005)。アナログおよびデジタル電子回路の基礎。モーガン カウフマン。ISBN 1-55860-735-8。
• Humar, JL (2002).構造のダイナミクス. Taylor & Francis. ISBN 90-5809-245-3。
• アーウィン、J. デイビッド (2006)。基礎工学回路解析。Wiley。ISBN 7-302-13021-3。
• カイザー、ケネス L. (2004)。電磁両立性ハンドブック。CRC プレス。ISBN 0-8493-2087-9。
• ニルソン、ジェームズ・ウィリアム; リーデル、スーザン・A. (2008)。電気回路。プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-198925-2。