キルヒホッフの回路法則

キルヒホッフの回路法則は、電気回路の集中素子モデルにおける電流と電位差（一般に電圧として知られる）を扱う2つの等式である。これらは1845年にドイツの物理学者グスタフ・キルヒホッフによって初めて説明された。^[1]これはゲオルク・オームの研究を一般化したものであり、ジェームズ・クラーク・マクスウェルの研究に先行するものである。電気工学で広く使用されており、キルヒホッフの規則または単にキルヒホッフの法則とも呼ばれる。これらの法則は時間領域と周波数領域に適用でき、ネットワーク分析の基礎となる。

キルヒホッフの法則は両方とも、低周波の限界におけるマクスウェル方程式の帰結として理解できます。これらは、DC 回路、および回路に比べて電磁放射の波長が非常に大きい周波数での AC 回路に対して正確です。

この法則は、キルヒホッフの第一法則、またはキルヒホッフの接合則とも呼ばれ、電気回路内の任意のノード（接合部）について、そのノードに流入する電流の合計は、そのノードから流出する電流の合計に等しい、つまり次のように表されます。

ある点で交わる導体のネットワーク内の電流の代数和はゼロです。

電流はノードに向かう方向またはノードから離れる方向を反映する符号付き（正または負）の量であることを思い出すと、この原理は次のように簡潔に述べることができます。ここで、nはノードに向かう方向またはノードから離れる方向に電流が流れるブランチの合計数です。 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}I_{i}=0}$$

キルヒホッフの回路法則は、もともと実験結果から得られたものです。しかし、電荷は電流と電流が流れている時間の積であるため、電流法則は電荷保存則の延長として見ることができます。領域内の正味電荷が一定であれば、電流法則はその領域の境界で成立します。 ^{[2] [3]}これは、電流法則がワイヤとコンポーネント内の正味電荷が一定であるという事実に依存していることを意味します。

キルヒホッフの電流法則の行列バージョンは、 SPICEなどのほとんどの回路シミュレーション ソフトウェアの基礎となっています。電流法則は、オームの法則とともにノード解析を実行するために使用されます。

現在の法則は、ネットワークの性質（片側か両側か、アクティブかパッシブか、線形か非線形か）に関係なく、あらゆる集中ネットワークに適用されます。

この法則は、キルヒホッフの第二法則、またはキルヒホッフのループ則とも呼ばれ、次のことを述べています。

任意の閉ループの周囲の電位差(電圧)の有向和はゼロです。

キルヒホッフの電流法則と同様に、電圧法則は次のように表すことができます。$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}=0}$$

ここで、n は測定された電圧の総数です。

低周波の限界では、どのループの周囲の電圧降下もゼロです。これには、回路要素と導体によって描かれたループに限定されず、空間内に任意に配置された仮想ループが含まれます。低周波の限界では、これはファラデーの電磁誘導の法則（マクスウェル方程式の 1 つ）の帰結です。

これは、「静電気」が関係する状況で実用的に応用できます。

キルヒホッフの回路法則は集中要素モデルの結果であり、どちらもモデルが問題の回路に適用可能であることに依存します。モデルが適用できない場合、法則は適用されません。

現在の法則は、あらゆる配線、接合部、集中部品の正味電荷が一定であるという仮定に依存しています。2本の配線が容量結合されている場合など、回路部分間の電界が無視できない場合は、この仮定は当てはまらない可能性があります。これは、集中要素モデルが適用できなくなる高周波AC回路で発生します。^[4]たとえば、伝送線路では、導体内の電荷密度が常に変化している可能性があります。

一方、電圧の法則は、時間とともに変化する磁場の作用がインダクタなどの個々のコンポーネントに限定されるという事実に基づいています。実際には、インダクタによって生成される誘導電界は限定されませんが、漏れた電界は無視できるほど小さい場合がよくあります。

回路の集中要素近似は、低周波数では正確です。高周波数では、導体内の漏れ磁束と変化する電荷密度が重要になります。ある程度までは、寄生コンポーネントを使用してそのような回路をモデル化することは可能です。周波数が高すぎる場合は、有限要素モデリングまたはその他の手法を使用してフィールドを直接シミュレートする方が適切である可能性があります。

両方の法則を適用できるように回路をモデル化するには、物理​​的な回路要素と理想的な集中素子の違いを理解することが重要です。たとえば、電線は理想的な導体ではありません。理想的な導体とは異なり、電線は誘導的および容量的に互いに（およびそれ自体に）結合し、有限の伝播遅延を持ちます。実際の導体は、導体間に分布する寄生容量を考慮して容量結合をモデル化するか、寄生（相互）インダクタンスを考慮して誘導結合をモデル化することで、集中素子としてモデル化できます。^[4]電線にも自己インダクタンスがあります。

2 つの電圧源と 3 つの抵抗器で構成される電気ネットワークを想定します。

第一法則によれば、 第二法則を閉回路s ₁に適用し、電圧をオームの法則に置き換えると次のようになります。 第二法則を再びオームの法則と組み合わせて閉回路s ₂に適用すると次のようになります。 $${\displaystyle i_{1}-i_{2}-i_{3}=0}$$$${\displaystyle -R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}=0}$$$${\displaystyle -R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}=0}$$

これはi ₁、i ₂、i ₃における線形方程式の連立方程式を生じ、 これは 次式 と等価である 。 解が $${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}-i_{2}-i_{3}&=0\\-R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}&=0\\-R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}&=0\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}+(-i_{2})+(-i_{3})&=0\\R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}+0i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}\\0i_{1}+R_{2}i_{2}-R_{3}i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=100\Omega ,&R_{2}&=200\Omega ,&R_{3}&=300\Omega ,\\{\mathcal {E}}_{1}&=3{\text{V}},&{\mathcal {E}}_{2}&=4{\text{V}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}={\frac {1}{1100}}{\text{A}}\\[6pt]i_{2}={\frac {4}{275}}{\text{A}}\\[6pt]i_{3}=-{\frac {3}{220}}{\text{A}}\end{cases}}}$$

電流i _{3 は}負の符号を持ちます。これは、i ₃の想定された方向が間違っており、i _{3 は実際には}i ₃と表示された赤い矢印とは反対方向に流れていることを意味します。 R ₃の電流は左から右に流れます。

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• ファラデーの電磁誘導の法則
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