正式な計画

数学、特に代数幾何学において、形式スキームとは、その周囲に関するデータを含む空間の一種である。通常のスキームとは異なり、形式スキームには、実質的にスキームから外れた方向を指す微小データが含まれる。このため、形式スキームは変形理論などの分野で頻繁に登場する。しかし、この概念は、形式関数に関する定理など、通常のスキームに関する重要な定理を導出するために用いられる定理を証明するためにも使用される。

局所ネーター的スキームとは、標準的な意味での局所ネーター的形式スキーム、すなわち形式完備化そのものを指す。言い換えれば、局所ネーター的形式スキームの圏には、すべての局所ネーター的スキームが含まれる。

形式スキームは、ザリスキの形式正則関数の理論に触発され、それを一般化したものである。

形式的なスキームに基づく代数幾何学は、形式代数幾何学と呼ばれる。

形式スキームは通常、ネーター空間の場合のみ定義されます。非ネーター空間の形式スキームの定義もいくつか提案されていますが、技術的な問題があります。したがって、本稿では局所的にネーター空間である形式スキームのみを定義します。

すべての環は可換であり、単位元を持つと仮定する。Aを（ネーター）位相環、すなわち加算と乗算の演算が連続であるような位相空間である環とする。A は、ゼロがイデアルからなる基底を持つ場合、線形位相化されているという。定義のイデアル${\displaystyle {\mathcal {J}}}$線形位相環の場合、 は、0 の任意の開近傍Vに対して、正の整数n が存在して、${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}\subseteq V}$線形位相環は、定義イデアルを持つ場合に前許容性を持ち、また完備である場合に許容性を持つ。（ブルバキの用語では、これは「完備かつ分離」である。）

Aが許容可能であると仮定し、${\displaystyle {\mathcal {J}}}$定義のイデアルである。素イデアルは、以下を含む場合に限り、開いている。${\displaystyle {\mathcal {J}}}$Aの開素イデアルの集合、または同等に、${\displaystyle A/{\mathcal {J}}}$は、 Aの形式スペクトルの基礎となる位相空間であり、Spf Aと表記される。Spf A は、環のスペクトルの構造層を用いて定義される構造層を持つ。$\displaystyle {\mathcal {J}}_{\lambda }}$定義のイデアルからなるゼロの近傍基底となる。${\displaystyle A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$同じ基礎位相空間を持つが、構造層が異なる。Spf Aの構造層は射影極限である。${\displaystyle \varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}}$。

f ∈ Aであり、 D _fがfを含まないAのすべての開素イデアルの集合である場合、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}}$、 どこ${\displaystyle {\widehat {A_{f}}}}$これは、ローカリゼーションA _fの完了です。

最後に、局所的にネーター的な形式スキームは位相的に環状の空間である。${\displaystyle ({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$（つまり、環の層が位相環の層である環付き空間）各点が${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ネーター環の形式スペクトルと同型な（位相的に環状空間として）開近傍を許容する。

射${\displaystyle f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}}$局所的にネーター的な形式スキームの射は、誘導される写像が局所的に環状空間として表される。${\displaystyle f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$は、任意のアフィン開集合Uに対する位相環の連続準同型写像である。

fは、前置詞的または${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$は${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$定義のイデアルが存在する場合の-進形式スキーム${\displaystyle {\mathcal {I}}}$そのため${\displaystyle f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$定義の理想${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$fがアディックである場合、この性質は任意の定義イデアルに対して成り立つ。

理想を追求するなら${\displaystyle I}$そしてリング${\displaystyle A}$私たちは定義することができます${\displaystyle I}$上の-進位相${\displaystyle A}$、その基底は、次の形式の集合から構成される。${\displaystyle a+I^{n}}$これは事前承認可能であり、承認可能となる場合${\displaystyle A}$は${\displaystyle I}$進的に完全。この場合${\displaystyle \operatorname {Spf} A}$位相空間${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$指輪の束と共に${\displaystyle \lim _{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}}$の代わりに${\displaystyle {\widetilde {A/I}}}$。

1. ${\displaystyle A=k[\![t]\!]}$そして${\displaystyle I=(t)}$。 それから${\displaystyle A/I=k}$だからスペース${\displaystyle \operatorname {Spf} A}$単一点${\displaystyle (t)}$その構造層が値を取る${\displaystyle k[\![t]\!]}$これと比較してください${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$構造層が値をとる${\displaystyle k}$この時点で:これは、${\displaystyle \operatorname {Spf} A}$は「形式的な厚み」である${\displaystyle A}$について${\displaystyle I}$。
2. 閉鎖されたサブスキームの正式な完了。閉鎖されたサブスキームを検討します。${\displaystyle X}$アフィン平面上の${\displaystyle k}$理想によって定義される${\displaystyle I=(y^{2}-x^{3})}$。 ご了承ください${\displaystyle A_{0}=k[x,y]}$ではない${\displaystyle I}$- 論理的に完全である; 書く${\displaystyle A}$その${\displaystyle I}$-進補完。この場合、${\displaystyle \operatorname {Spf} A=X}$空間として、そしてその構造層は${\displaystyle \lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}}$そのグローバルセクションは${\displaystyle A}$対照的に${\displaystyle X}$そのグローバルセクションは${\displaystyle A/I}$。

• 形式的な正則関数
• 変形理論
• シュレジンガーの定理

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。「幾何学的計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR 0217083。 
• 安田 隆 (2009). 「非進形式スキーム」. International Mathematics Research Notices . arXiv : 0711.0434 . doi : 10.1093/imrn/rnp021 .
• McQuillan, Michael (2002). 「形式的スキーム」.トポロジーと幾何学：SISTAGを記念して. Contemporary Mathematics. Vol.  314. pp. 187–198 . doi : 10.1090/conm/314/05431 . ISBN  9780821828205。

• 正式な完了