対称的なコンポーネント

電気工学において、対称成分法は、正常時と異常時の両方における不平衡三相電力システムの解析を簡素化します。基本的な考え方は、 N個の 位相器の非対称セットは、複雑な線形変換によってN個の対称位相器セットの線形結合として表現できるというものです。^[1]フォーテスキューの定理（対称成分）は重ね合わせ原理に基づいているため、^[2]線形電力システムのみ、または非線形電力システムの線形近似に適用できます。

最も一般的な三相システムの場合、結果として生じる「対称」成分は、直接（または正）、逆（または負）、ゼロ（または同極）と呼ばれます。回路自体がバランスが取れている場合、結果として生じる方程式は相互に線形独立であるため、対称成分の領域では電力システムの解析ははるかに簡単です。^[3]

1918年にチャールズ・レジェット・フォーテスキューは論文^[4]を発表し、N個の不平衡位相器（つまり、そのような多相信号）の任意のセットは、Nの値が素数であるときに、平衡位相器のN個の対称セットの合計として表現できることを実証しました。位相器によって表されるのは単一の周波数成分のみです。

1943年にエディス・クラークは、三相システムの対称コンポーネントの使用方法を示す教科書を出版しました。これは、元のフォーテスキューの論文よりも計算を大幅に簡素化しました。^[5] 三相システムでは、1組の位相器は調査対象のシステムと同じ位相シーケンス（正シーケンス、たとえばABC）を持ち、2組目は逆位相シーケンス（負シーケンス、ACB）を持ち、3組目では位相器A、B、Cは互いに同位相です（ゼロシーケンス、コモンモード信号）。基本的に、この方法は3つの不平衡位相を3つの独立したソースに変換し、非対称障害解析をより扱いやすくします。

単線結線図を拡張して、発電機、変圧器、架空線やケーブルなどの装置の正相、逆相、零相インピーダンスを表示することにより、単線対地短絡故障などの不平衡状態の解析が大幅に簡素化されます。この手法は、高次の位相システムにも拡張できます。

物理的には、三相システムでは、正相電流のセットは通常の回転磁界を生成し、負相電流のセットは反対の回転の磁界を生成し、ゼロ相電流のセットは位相巻線間で振動するが回転しない磁界を生成します。これらの効果はシーケンス フィルターを使用して物理的に検出できるため、数学的ツールは、負相電圧と電流を障害状態の信頼性の高い指標として使用する保護リレーの設計の基礎となりました。このようなリレーは、回路ブレーカーをトリップしたり、電気システムを保護するための他の手順を実行したりするため に使用できます。

この解析技術はゼネラル・エレクトリック社とウェスティングハウス社の技術者によって採用・発展され、第二次世界大戦後には非対称断層の解析方法として認められるようになりました。

右上の図に示すように、対称的なコンポーネントの 3 セット (正、負、ゼロのシーケンス) が加算されて、図の下部に示すように、3 つの不均衡な位相のシステムが作成されます。位相間の不均衡は、ベクトルのセット間の大きさと位相シフトの差によって発生します。個別のシーケンス ベクトルの色 (赤、青、黄) が 3 つの異なる位相 (たとえば、A、B、C) に対応していることに注意してください。最終的なプロットに到達するには、各位相のベクトルの合計を計算します。この結果のベクトルは、その特定の位相の有効な位相器表現です。このプロセスを繰り返すと、3 つの位相のそれぞれに対して位相器が生成されます。

対称成分は、三相電力システムの解析に最もよく使用されます。三相システムのある時点での電圧または電流は、電圧または電流の 3 つの成分と呼ばれる 3 つの位相器で表すことができます。

この記事では電圧について説明していますが、同じ考慮事項が電流にも適用されます。完全にバランスの取れた 3 相電力システムでは、電圧位相成分の大きさは同じですが、120 度離れています。不均衡なシステムでは、電圧位相成分の大きさと位相は異なります。

電圧位相成分を対称成分のセットに分解すると、システムの分析や不均衡の視覚化に役立ちます。3 つの電圧成分が位相成分(複素数) として表現される場合、3 つの位相成分がベクトルの成分である複素ベクトルを形成できます。3 つの相電圧成分のベクトルは次のように記述できます。

${\displaystyle \mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}}$

そしてベクトルを3つの対称成分に分解すると、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}}$

ここで、下付き文字 0、1、2 はそれぞれ、ゼロ、正、負のシーケンス成分を表します。シーケンス成分は位相角のみが異なり、対称なのでラジアンまたは 120° です。 ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{3}}\pi }$

位相ベクトルをそれに乗算すると反時計回りに 120 度回転する 位相回転演算子を定義します。${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \alpha \equiv e^{{\frac {2}{3}}\pi i}}$。

となることに注意してください。 ${\displaystyle \alpha^{3}=1}$${\displaystyle \alpha^{-1}=\alpha^{2}}$

ゼロシーケンス成分は大きさが等しく、互いに位相が一致しているため、次のようになります。

${\displaystyle V_{0}\equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0}}$、

他のシーケンス成分は同じ大きさですが、位相角は 120° 異なります。元の不平衡電圧位相器セットが正またはabc位相シーケンスを持つ場合、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&\equiv V_{a,1}=\alpha V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{c,1}\end{aligned}}}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{2}V_{b,2}=\alpha V_{c,2}\end{aligned}}}$、

つまり

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{1}\end{aligned}}}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,1}=\alpha V_{1}\end{aligned}}}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,2}=\alpha V_{2}\end{aligned}}}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,2}=\alpha ^{2}V_{2}\end{aligned}}}$。

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{abc}&={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{0}\\V_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}\\\alpha ^{2}V_{1}\\\alpha V_{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{2}\\\alpha V_{2}\\\alpha ^{2}V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\textbf {A}}\mathbf {v} _{012}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}},{\textbf {A}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$

代わりに、元の不平衡電圧位相器セットが負またはACCB位相シーケンスを持つ場合は、次の行列を同様に導出できます。

${\displaystyle {\textbf {A}}_{acb}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

シーケンスコンポーネントは解析方程式から導出される

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\textbf {A}}^{-1}\mathbf {v} _{abc}}$

どこ

${\displaystyle {\textbf {A}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

上記の 2 つの式は、3 つの位相器の非対称セットに対応する対称コンポーネントを導出する方法を示しています。

• シーケンス 0 は、元の 3 つの位相器の合計の 3 分の 1 です。
• シーケンス 1 は、元の 3 つの位相器を反時計回りに 0°、120°、240° 回転させた合計の 3 分の 1 です。
• シーケンス 2 は、元の 3 つの位相器を反時計回りに 0°、240°、120° 回転させた合計の 3 分の 1 です。

視覚的には、元のコンポーネントが対称である場合、シーケンス 0 と 2 はそれぞれ三角形を形成し、合計は 0 になり、シーケンス 1 のコンポーネントは直線になります。

位相ベクトルは閉じた三角形を形成します (例: 外部電圧または線間電圧)。位相の同期成分と逆位相成分を見つけるには、外部三角形の任意の辺を取り、選択した辺を底辺として共有する 2 つの正三角形を描きます。これらの 2 つの正三角形は、同期システムと逆位相システムを表します。 ${\displaystyle \scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};\;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};\;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}}$

位相器 V が完全に同期したシステムである場合、ベースライン上にない外側の三角形の頂点は、同期システムを表す正三角形の対応する頂点と同じ位置になります。逆成分の量はすべて、この位置からの偏差を意味します。偏差は、逆位相成分のちょうど 3 倍です。

同期成分も同様に「逆正三角形」からの偏差の 3 倍です。これらの成分の方向は、関連する位相に対して正しいです。どの側を選んだかに関係なく、これが 3 つの位相すべてに当てはまるというのは直感に反するように思えますが、それがこの図の美しさです。この図はナポレオンの定理からのもので、古い参考書に時々登場するグラフィカルな計算手法と一致しています。^[6]

上記の変換行列 A はDFT 行列であり、そのため、任意の多相システムに対して対称成分を計算できること がわかります。

電力システムでは、非線形負荷の結果として高調波が発生することがよくあります。高調波の各次数は、異なるシーケンス コンポーネントに寄与します。次数の基本波と高調波は、正のシーケンス コンポーネントに寄与します。次数の高調波は、負のシーケンスに寄与します。次数の高調波は、ゼロ シーケンスに寄与します。 ${\displaystyle \scriptstyle 3n+1}$${\displaystyle \scriptstyle 3n-1}$${\displaystyle \scriptstyle 3n}$

上記のルールは、各位相の位相値 (または歪み) がまったく同じ場合にのみ適用されることに注意してください。さらに、電力システムでは高調波も一般的ではないことに注意してください。

ゼロ シーケンスは、大きさと位相が等しい不平衡位相器の成分を表します。これらは同相であるため、n 相ネットワークを流れるゼロ シーケンス電流の合計は、個々のゼロ シーケンス電流成分の大きさの n 倍になります。通常の動作状態では、この合計は無視できるほど小さいです。ただし、落雷などの大規模なゼロ シーケンス イベントが発生すると、この非ゼロの電流の合計によって、個々の相導体よりも中性導体に流れる電流が大きくなります。中性導体は通常、個々の相導体よりも大きくなく、これらの導体よりも小さいことが多いため、大きなゼロ シーケンス成分は中性導体の過熱や火災につながる可能性があります。

大きなゼロシーケンス電流を防ぐ方法の 1 つは、ゼロシーケンス電流に対して開回路として現れるデルタ接続を使用することです。このため、ほとんどの送電と多くの二次送電はデルタを使用して実装されます。多くの配電もデルタを使用して実装されますが、「旧式の」配電システムは、低い変換コストでラインの容量を増やすために「ワイアップ」(デルタからワイに変換) されることがありますが、中央ステーションの保護リレーのコストが高くなります。

• 対称
• 直接直交零変換
• アルファベータ変換

注記

文献

• J. ルイス ブラックバーン『電力システム工学のための対称コンポーネント』、マルセル デッカー、ニューヨーク (1993)。ISBN 0-8247-8767-6 
• William D. Stevenson, Jr. 『電力システム分析の要素』第3版、 McGraw -Hill、ニューヨーク (1975)。ISBN 0-07-061285-4。 
• 対称コンポーネントの初期開発に関するIEEEの歴史記事、2005 年 5 月 12 日取得。
• ウェスティングハウス社、『応用保護リレー』、1976 年、ウェスティングハウス社、ISBN なし、議会図書館カード番号 76-8060 - 電気機械式保護リレーに関する標準参考書