信号の特定の表現
数学 と 信号処理 において 、 解析信号 は 負の周波数 成分を持たない 複素数値関数 である。 [1]解析信号の実部と虚部は、 ヒルベルト変換 によって互いに関連付けられた実数値関数である 。
実数値 関数の 解析 表現は 、元の関数とそのヒルベルト変換で構成される 解析信号 です。この表現により、多くの数学的操作が容易になります。基本的な考え方は、実数値関数の フーリエ変換 (または スペクトル) の負の周波数成分は、そのようなスペクトルの エルミート対称性 により不要であるということです 。複素数値関数を扱う場合は、これらの負の周波数成分を破棄しても情報を失うことはありません。これにより、関数の特定の属性がよりアクセスしやすくなり、単側波帯などの変調および復調技術の導出が容易になります。
操作された関数に負の周波数成分がない限り（つまり、まだ 解析的 である限り）、複素数から実数への変換は虚数部を破棄するだけです。解析的表現は 位相器の 概念を一般化したものです。 [2] 位相器は時間不変の振幅、位相、周波数に制限されますが、解析信号は時間可変パラメータを許可します。
意味 解析信号を作成するための伝達関数 がフーリエ変換を持つ 実数値 関数（ここで は周波数を表す実数値） である 場合 、変換は軸 に関して エルミート 対称性を持ちます。
s （ t ）
{\displaystyle s(t)}
S （ ふ ）
{\displaystyle S(f)}
ふ
{\displaystyle f}
ふ = 0
{\displaystyle f=0}
S （ − ふ ） = S （ ふ
）
∗
、
{\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}
ここで は の 複素共役 です 。関数:
S （ ふ
）
∗
{\displaystyle S(f)^{*}}
S （ ふ ）
{\displaystyle S(f)}
S
1つの
（ ふ ）
≜
{
2 S （ ふ ） 、
のために
ふ > 0 、
S （ ふ ） 、
のために
ふ = 0 、
0 、
のために
ふ < 0
=
2 あなた （ ふ ）
⏟
1 + 記号 （ ふ ）
S （ ふ ） = S （ ふ ） + 記号 （ ふ ） S （ ふ ） 、
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&\triangleq {\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}
どこ
あなた （ ふ ）
{\displaystyle \operatorname {u} (f)}
はヘヴィサイドの階段関数 であり 、
記号 （ ふ ）
{\displaystyle \operatorname {sgn}(f)}
は符号関数 であり 、 には、 の非負の周波数 成分 のみが含まれます 。 のエルミート対称性により、この演算は可逆です 。
S （ ふ ）
{\displaystyle S(f)}
S （ ふ ）
{\displaystyle S(f)}
S （ ふ ）
=
{
1 2
S
1つの
（ ふ ） 、
のために
ふ > 0 、
S
1つの
（ ふ ） 、
のために
ふ = 0 、
1 2
S
1つの
（ − ふ
）
∗
、
のために
ふ < 0
（エルミート対称性）
=
1 2
[
S
1つの
（ ふ ） +
S
1つの
（ − ふ
）
∗
] 。
{\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(エルミート対称性)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}
の 解析信号 は の逆フーリエ変換です 。
s （ t ）
{\displaystyle s(t)}
S
1つの
（ ふ ）
{\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}
s
1つの
（ t ）
≜
ふ
− 1
[
S
1つの
（ ふ ） ]
=
ふ
− 1
[ S （ ふ ） + 記号 （ ふ ） ⋅ S （ ふ ） ]
=
ふ
− 1
{ S （ ふ ） }
⏟
s （ t ）
+
ふ
− 1
{ 記号 （ ふ ） }
⏟
じゅう
1
π t
∗
ふ
− 1
{ S （ ふ ） }
⏟
s （ t ）
⏞
畳み込み
= s （ t ） + じゅう
[
1
π t
∗ s （ t ）
]
⏟
H
[ s （ t ） ]
= s （ t ） + じゅう
s ^
（ t ） 、
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\ &={\数学 {F}}^{-1}[S(f)+\演算子名 {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\アンダーブレース{{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{ \operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{\text{畳み込み}}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H }} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}
どこ
s ^
（ t ） ≜
H
[ s （ t ） ]
{\displaystyle {\hat {s}}(t)\triangleq \operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}
は の ヒルベルト変換 です 。
s （ t ）
{\displaystyle s(t)}
∗
{\displaystyle *}
バイナリ 畳み込み 演算子です。
じゅう
{\displaystyle j}
は虚数単位 です 。 これは、負の周波数成分を直接除去するフィルタリング操作として表現することもできること に注意してください 。
s （ t ） = s （ t ） ∗ δ （ t ） 、
{\displaystyle s(t)=s(t)*\delta (t),}
s
1つの
（ t ） = s （ t ） ∗
[
δ （ t ） + じゅう
1
π t
]
⏟
ふ
− 1
{ 2 あなた （ ふ ） }
。
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)*\underbrace {\left[\delta (t)+j{1 \over \pi t}\right]} _{{\mathcal {F}}^{-1}\{2u(f)\}}.}
負の周波数成分 なので 、負の周波数成分を復元するのは単純に捨てるだけな ので、直感に反するように思えるかもしれません。複素共役は負の周波数成分 のみで 構成されます 。したがって、 抑制された正の周波数成分を復元します。別の見方では、どちらの場合も虚数成分は から周波数成分を減算する項です。 演算子 は減算を除去し、新しい成分を追加したように見えます。
s （ t ） = 再 [
s
1つの
（ t ） ]
{\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}
私は [
s
1つの
（ t ） ]
{\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}
s
1つの
∗
（ t ）
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}
s （ t ） = 再 [
s
1つの
∗
（ t ） ]
{\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}
s （ t ） 。
{\displaystyle s(t).}
再
{\displaystyle \operatorname {Re} }
例
例1
s （ t ） = コス （ ω t ） 、
{\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}
どこ
ω > 0.
{\displaystyle \omega >0.}
それから：
s ^
（ t ）
= コス
（
ω t −
π 2
）
= 罪 （ ω t ） 、
s
1つの
（ t ）
= s （ t ） + じゅう
s ^
（ t ） = コス （ ω t ） + じゅう 罪 （ ω t ） =
e
じゅう ω t
。
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),\\s_{\mathrm {a} }(t)&=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.\end{aligned}}}
最後の等式は オイラーの公式 であり、その系は 一般 に 、単純な正弦波の解析表現は、複素指数で表し、 負の周波数 成分を破棄し、正の周波数成分を 2 倍にすることで得られます。また、正弦波の和の解析表現は、個々の正弦波の解析表現の和です。
コス （ ω t ） =
1 2
（
e
じゅう ω t
+
e
じゅう （ − ω ） t
）
。
{\textstyle \cos(\omega t)={\frac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}
例2 ここでは、オイラーの公式を使用して、負の周波数を識別して破棄します。
s （ t ） = コス （ ω t + θ ） =
1 2
（
e
じゅう （ ω t + θ ）
+
e
− じゅう （ ω t + θ ）
）
{\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)}
それから：
s
a
(
t
)
=
{
e
j
(
ω
t
+
θ
)
=
e
j
|
ω
|
t
⋅
e
j
θ
,
if
ω
>
0
,
e
−
j
(
ω
t
+
θ
)
=
e
j
|
ω
|
t
⋅
e
−
j
θ
,
if
ω
<
0.
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}
例3 これは、ヒルベルト変換法を使用して負の周波数成分を除去する別の例です。 複素数値の を計算することを妨げるものは何も ありません。ただし、元のスペクトルは一般に対称ではないため、可逆表現ではない可能性があります。したがって、この例を除いて、一般的な説明では実数値 を前提としています 。
s
a
(
t
)
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
s
(
t
)
=
e
−
j
ω
t
{\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}
、 どこ 。
ω
>
0
{\displaystyle \omega >0}
それから：
s
^
(
t
)
=
j
e
−
j
ω
t
,
s
a
(
t
)
=
e
−
j
ω
t
+
j
2
e
−
j
ω
t
=
e
−
j
ω
t
−
e
−
j
ω
t
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=je^{-j\omega t},\\s_{\mathrm {a} }(t)&=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.\end{aligned}}}
プロパティ
瞬間振幅と位相 関数は青色で、その解析表現の大きさは赤色で表示され、エンベロープ効果を示しています。 解析信号は 極座標 でも表現できます。
s
a
(
t
)
=
s
m
(
t
)
e
j
ϕ
(
t
)
,
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}
ここで、次の時間変動量が導入されます。
s
m
(
t
)
≜
|
s
a
(
t
)
|
{\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|}
瞬間振幅 または エンベロープ と呼ばれます 。
ϕ
(
t
)
≜
arg
[
s
a
(
t
)
]
{\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}
は瞬時位相 または 位相角 と呼ばれます 。 添付の図では、青い曲線は を表し 、赤い曲線は対応する を表しています 。
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
s
m
(
t
)
{\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}
アンラップされた 瞬間位相の時間微分は ラジアン/秒 の単位を持ち 、 瞬間角周波数 と呼ばれます。
ω
(
t
)
≜
d
ϕ
d
t
(
t
)
.
{\displaystyle \omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).}
したがって、瞬間周波数 （ ヘルツ単位 ） は次のようになります。
f
(
t
)
≜
1
2
π
ω
(
t
)
.
{\displaystyle f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}
[3] 瞬間振幅、瞬間位相、および瞬間周波数は、いくつかのアプリケーションで信号のローカルな特徴を測定および検出するために使用されます。信号の解析表現の別のアプリケーションは、 変調信号 の復調に関連しています。極座標は、 振幅変調 と位相 (または周波数) 変調の影響を便利に分離し、特定の種類の信号を効果的に復調します。
複素エンベロープ/ベースバンド 解析信号は周波数が0Hzに向かってシフト（ダウンコンバート）されることが多く、非対称の負の周波数成分が生成される可能性がある。
ここで、は 任意の基準角周波数である。 [2]
s
a
↓
(
t
)
≜
s
a
(
t
)
e
−
j
ω
0
t
=
s
m
(
t
)
e
j
(
ϕ
(
t
)
−
ω
0
t
)
,
{\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
この関数は、複素エンベロープ や 複素 ベースバンド など、さまざまな名前で呼ばれます 。複素エンベロープは一意ではなく、 の選択によって決まります。この概念は、 パスバンド信号 を扱うときによく使用されます 。 が 変調信号の場合、 は その 搬送周波数 と同等になることがあります。
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
他の場合には、は、 必要な通過帯域の中央あたりになるように選択されます。次に、実数係数の単純な ローパス フィルタを 使用して、目的の部分を切り取ることができます。もう 1 つの目的は、最高周波数を下げることです。これにより、エイリアスのないサンプリングの最小レートが下がります。周波数シフトによって、複素信号表現の数学的扱いやすさが損なわれることはありません。したがって、その意味では、ダウンコンバートされた信号は依然として 解析的 です。ただし、実数値表現を復元することは、実数成分を抽出するだけの単純な作業ではなくなりました。アップコンバートが必要になる場合があり、信号が サンプリング されている場合(離散時間)、 エイリアシング を 回避するために補間( アップサンプリング ) も必要になることがあります 。
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
を の最高周波数よりも大きい値に選択した 場合、 には 正の周波数はありません。その場合、実数成分を抽出すると、逆の順序で実数成分が復元されます。つまり、低周波成分が高周波成分になり、高周波成分が低周波成分になります。これを使用して、 下側波帯 または 反転側波帯 と呼ばれる 単側波帯 信号を復調できます。
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
s
a
(
t
)
,
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t),}
s
a
↓
(
t
)
{\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)}
参照周波数の他の選択肢が考慮されることもあります。
最小限に抑えるために選択されること もある
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
∫
0
+
∞
(
ω
−
ω
0
)
2
|
S
a
(
ω
)
|
2
d
ω
.
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}
あるいは、 [4]を選択して、 アンラップされた 瞬間位相を 線形近似する際の平均二乗誤差を最小化することができる 。
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)}
∫
−
∞
+
∞
[
ω
(
t
)
−
ω
0
]
2
|
s
a
(
t
)
|
2
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}
または別の代替案（何らかの最適な場合 ）：
θ
{\displaystyle \theta }
∫
−
∞
+
∞
[
ϕ
(
t
)
−
(
ω
0
t
+
θ
)
]
2
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}
時間周波数信号処理の分野では、ウィグナー・ヴィル分布 の定義において解析信号が必要であることが示され、 それによってこの方法が実際の応用に必要な望ましい特性を持つことができるようになった。 [5]
「複素エンベロープ」という語句は、 （一定周波数の）位相器の 複素振幅というより単純な意味を与えられることがあります。 [a] [b]
また別の場合には、上で定義された複素エンベロープは、 複素振幅の時間依存の一般化として解釈されます。 [c] それらの関係は、実数値の場合（変化する エンベロープ が一定の 振幅 を一般化する）と似ています。
s
m
(
t
)
{\displaystyle s_{m}(t)}
解析信号の複数変数信号への拡張 解析信号の概念は、通常時間である単一の変数の信号に対して明確に定義されています。2 つ以上の変数の信号の場合、解析信号はさまざまな方法で定義できます。以下に 2 つのアプローチを示します。
アドホックな方向に基づく多次元分析信号 この場合の 負の周波数 が何を意味するかが分かれば、解析信号を簡単に一般化して多次元信号に応用することができます。これは 、フーリエ領域に 単位ベクトル を導入し、の場合、任意の周波数ベクトルを負としてラベル付けすることで実行でき ます。解析信号は、1 変数信号の場合に説明した手順に従って、すべての負の周波数を除去し、その結果を 2 倍することで生成されます。ただし、 追加の制約がない限り、 を選択する特定の方向はありません。したがって、 の選択は アドホック、つまりアプリケーション固有です。
u
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}
ξ
{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}
ξ
⋅
u
^
<
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0}
u
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}
u
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}
単一遺伝子シグナル 解析信号の実数部と虚数部は、1 変数信号に対して定義されているように、ベクトル値単一信号の 2 つの要素に対応します。ただし、単一信号は任意の数の変数に簡単に拡張でき、 n 変数信号の場合は ( n + 1) 次元のベクトル値関数を生成します。
参照
アプリケーション
注記
^ 「複素エンベロープ（または複素振幅）」 [6] ^ 「複素エンベロープ（または複素振幅）」、p.586 [7] ^ 「複素エンベロープは、複素振幅を時間の関数として拡張解釈したものである。」p. 85 [8]
参考文献
^ Smith, JO「解析信号とヒルベルト変換フィルター」、オーディオアプリケーションによる離散フーリエ変換 (DFT) の数学、第 2 版、https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html、または https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html、オンライン ブック、2007 年版、2021 年 4 月 29 日にアクセス。 ^ ab ブレイスウェル、ロン。 フーリエ変換とその応用 。マグロウヒル、2000年。pp. 361-362 ^ B. Boashash、「信号の瞬時周波数の推定と解釈 - パート I: 基礎」、IEEE 論文集、第 80 巻、第 4 号、pp. 519–538、1992 年 4 月 ^ Justice, J. (1979-12-01). 「音楽計算における解析信号処理」. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 27 (6): 670–684. doi :10.1109/TASSP.1979.1163321. ISSN 0096-3518. ^ B. Boashash、「時間周波数信号解析におけるウィグナー分布の使用に関する注記」、IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing、第 26 巻、第 9 号、1987 年 ^ Hlawatsch, Franz; Auger, François (2013-03-01). 時間周波数分析. John Wiley & Sons. ISBN 9781118623831 。 ^ Driggers, Ronald G. (2003-01-01). 光学工学百科事典: Abe-Las、1-1024 ページ。CRC Press。ISBN 9780824742508 。 ^ 岡本健一 (2001-01-01). 地球環境リモートセンシング. IOS Press. ISBN 9781586031015 。
さらに読む レオン・コーエン、 「時間周波数分析 」、プレンティス・ホール、アッパー・サドル・リバー、1995年。 Frederick W. King、 「Hilbert Transforms 」、第2巻、Cambridge University Press、Cambridge、2009年。 B. Boashash、 「時間周波数信号解析および処理：包括的なリファレンス」 、Elsevier Science、オックスフォード、2003 年。
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(エルミート対称性)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641488b89157adff28b410cdd5db079397e49e42)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\ &={\数学 {F}}^{-1}[S(f)+\演算子名 {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\アンダーブレース{{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{ \operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{\text{畳み込み}}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H }} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5711f9be6eedb356fde414a2d7b8cde5c99606)
![{\displaystyle {\hat {s}}(t)\triangleq \operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cb293cc9e18cad9099adab4f7a4e89cbcbbe3e)
![{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)*\underbrace {\left[\delta (t)+j{1 \over \pi t}\right]} _{{\mathcal {F}}^{-1}\{2u(f)\}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2823637109a2a4675c9c32db3d6ab9c7c38e70c9)
![{\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b2b0b048c344b45666f9bdb18eafbe3d9579fd)
![{\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46373663e75d8458d4a3c4ed17306abbe6a2062)
![{\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609e0bfb3fae4804aaa51433204fa2dd5542baca)
![{\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d8a52bd820aa1b96fbbfef3c8422b0c8a44ddc)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49707ed8e6b2a70796b660e58addaa6cd63054a5)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260b4957a0fdd2b8444092dfd7fb331e169ff50d)
