二乗平均平方根

数学において、一組の数値の二乗平均平方根（略称：RMS、RMSまたはrms）は、その組の平均二乗の平方根です。^[1] 組 が与えられた場合、そのRMSはまたはと表記されます。RMSは2次平均（ と表記）としても知られ、 ^{[2] [3]}一般化平均の特殊なケースです。連続関数のRMSは と表記され、関数の二乗の積分によって定義できます。推定理論では、推定量の二乗平均偏差は、推定量がデータからどれだけ離れているかを測定します。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{\mathrm {RMS}}}$${\displaystyle \mathrm {RMS} _{x}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle f_{\mathrm {RMS} }}$

一連の値 (または連続時間 波形) の RMS 値は、値の二乗の算術平均の平方根、または連続波形を定義する関数の二乗です。

n個の値のセットの場合、RMSは ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle x_{\text{RMS}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)}}.}$

区間にわたって定義された連続関数（または波形）f（t ）の対応する式は、 ${\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}$

${\displaystyle f_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}},}$

そして、全時間にわたる関数のRMSは

${\displaystyle f_{\text{RMS}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,{\rm {d}}t}}}.}$

周期関数の全時間にわたる RMS は、関数の 1 周期の RMS に等しい。連続関数または信号の RMS 値は、等間隔の観測値からなるサンプルの RMS を取ることで近似できる。さらに、Cartwright が示したように、さまざまな波形の RMS 値は微積分なしで決定することもできる。^[4]

ランダムプロセスの RMS 統計の場合、平均の代わりに 期待値が使用されます。

波形が純粋な正弦波の場合、振幅 (ピークツーピーク、ピーク) と RMS の関係は、連続周期波の場合と同様に固定され既知です。ただし、これは周期的または連続的ではない可能性のある任意の波形には当てはまりません。平均がゼロの正弦波の場合、RMS とピークツーピーク振幅の関係は次のようになります。

ピークツーピーク ${\displaystyle =2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.}$

他の波形の場合、関係は正弦波の場合と同じではありません。たとえば、三角波またはのこぎり波の場合:

ピークツーピーク ${\displaystyle =2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.}$

既知の単純な波形を足し合わせて作られた波形は、その波形が直交している場合（つまり、波形同士の積の平均が、波形同士の積以外のすべてのペアでゼロである場合）、その波形のRMS値は、その波形のRMS値の二乗和の平方根となる。^[5]

${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{Total}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{1}^{2}+{\text{RMS}}_{2}^{2}+\cdots +{\text{RMS}}_{n}^{2}}}}$

あるいは、完全に正に相関している、つまり互いに「同位相」である波形の場合、それらの RMS 値は直接合計されます。

交流電流のRMSは、抵抗負荷で同じ電力を消費する一定の直流電流の値に等しい。^[1]

波形の組み合わせのRMSの特殊なケースは次の通りである: ^[6]

${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC+DC}}={\sqrt {{\text{V}}_{\text{DC}}^{2}+{\text{RMS}}_{\text{AC}}^{2}}}}$

ここで、は信号の直流（または平均）成分を指し、は信号の 交流成分を指します。${\displaystyle {\text{V}}_{\text{DC}}}$${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC}}}$

電気技師は、電気抵抗Rによって消費される電力 P を知る必要があることがよくあります。抵抗に一定の電流 Iが流れている場合は、計算が簡単です。負荷がRオームの場合、電力は次のように求められます。

${\displaystyle P=I^{2}R.}$

しかし、電流が時間とともに変化する関数I ( t ) である場合、この式は、電流 (および瞬時電力) が時間とともに変化するという事実を反映するように拡張する必要があります。関数が周期的である場合 (家庭用 AC 電源など)、平均電力消費量を計算することで、時間とともに消費される平均電力について議論することは依然として意味があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{Avg}}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{\text{Avg}}&&{\text{where }}(\cdots )_{\text{Avg}}{\text{ denotes the temporal mean of a function}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{\text{Avg}}R&&{\text{(as }}R{\text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{by definition of root-mean-square}}\end{aligned}}}$

したがって、関数I ( t ) のRMS 値I _{RMSは、電流}I ( t )の時間平均電力消費と同じ電力消費を生み出す定電流です。

平均電力は、時間とともに変化する電圧V ( t ) 、RMS値V _RMSの場合と同じ方法で求めることもできる。

${\displaystyle P_{\text{Avg}}={V_{\text{RMS}}^{2} \over R}.}$

この式は、正弦波やのこぎり波などの任意の周期波形に使用でき、指定された負荷に供給される平均電力を計算できます。

これら 2 つの式の平方根を取って掛け合わせると、次の式で表されるべき乗が得られます。

${\displaystyle P_{\text{Avg}}=V_{\text{RMS}}I_{\text{RMS}}.}$

どちらの導出も、電圧と電流が比例していること（つまり、負荷Rが純粋に抵抗性であること）を前提としています。無効負荷（つまり、エネルギーを消散させるだけでなく、蓄積することもできる負荷）については、 AC 電力のトピックで説明します。

交流電流の一般的なケースでは、主電源の場合とほぼ同様に、 I ( t ) が正弦波電流であるため、上記の連続ケースの式から RMS 値を簡単に計算できます。I p をピーク電流として定義すると、_次のようになります。

${\displaystyle I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},}$

ここで、tは時間、ω は角周波数（ω  = 2 π / T、Tは波の周期） です。

I _{p は}正の定数であり、積分内で二乗される ので、

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.}$

三角関数の二乗を排除するために三角恒等式を使用する:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}}$

しかし、間隔は完全なサイクルの整数倍（RMSの定義による）なので、正弦項は打ち消され、次のようになります。

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.}$

同様の分析により、正弦波電圧の類似の式が得られます。

${\displaystyle V_{\text{RMS}}={V_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}},}$

ここで、I _{P は}ピーク電流を表し、V _{P は}ピーク電圧を表します。

電力計算に便利なため、電源コンセントの電圧（たとえば、 米国では 120 V、 欧州では 230 V）は、ほとんどの場合、ピーク値ではなく RMS 値で示されています。ピーク値は、上記の式の RMS 値から計算できます。これは、ソースが純粋な正弦波であると仮定すると、 V _P  =  V _RMS  ×  √ 2 を意味します。したがって、米国の主電源電圧のピーク値は約 120 ×  √ 2、つまり約 170 ボルトです。ピークツーピーク電圧はこの 2 倍で、約 340 ボルトです。同様の計算により、欧州のピーク主電源電圧は約 325 ボルト、ピークツーピーク主電源電圧は約 650 ボルトであることがわかります。

電流などの RMS 量は、通常 1 サイクルで計算されます。ただし、目的によっては、送信電力損失を計算するときに、より長い期間の RMS 電流が必要になります。同じ原理が適用され、(たとえば) 1 日 24 時間のうち 12 時間使用される 10 アンペアの電流は、平均電流は 5 アンペアですが、長期的には RMS 電流は 7.07 アンペアになります。

RMS 電力という用語は、平均電力または平均電力の同義語として誤って使用されることがあります (たとえば、オーディオ業界) (抵抗負荷の RMS 電圧または RMS 電流の 2 乗に比例します)。オーディオ電力の測定とその欠点については、「オーディオ電力」を参照してください。

気体分子の物理学では、二乗平均速度は平均二乗速度の平方根として定義されます。理想気体の RMS 速度は、次の式を使用して 計算されます。

${\displaystyle v_{\text{RMS}}={\sqrt {3RT \over M}}}$

ここで、R は気体定数8.314 J/(mol·K)、Tはケルビン単位での気体の温度、M はキログラム/モル単位での気体のモル質量です。物理学では、速度は速度のスカラー量として定義されます。静止した気体の場合、分子の平均速度はゼロであっても、数千 km/h のオーダーになることがあります。

2 つのデータ セット (1 つは理論的な予測から、もう 1 つは何らかの物理変数の実際の測定からなど) を比較する場合、2 つのデータ セットのペアワイズ差の RMS は、平均して誤差が 0 からどのくらい離れているかを示す指標として使用できます。ペアワイズ差の絶対値の平均は、差の変動性を示す便利な指標です。ただし、数学的な慣習や他の公式との互換性のため、差の RMS が通常は推奨される指標です。

RMSはパーセバルの定理を用いて周波数領域で計算できる。サンプリングされた信号の場合、はサンプリング周期であり、 ${\displaystyle x[n]=x(t=nT)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={\frac {1}{N}}\sum _{m=1}^{N}\left|X[m]\right|^{2},}$

ここで、Nはサンプル サイズ、つまりサンプル内の観測値の数と DFT 係数です。 ${\displaystyle X[m]=\operatorname {DFT} \{x[n]\}}$

この場合、時間領域で計算された RMS は周波数領域で計算されたものと同じになります。

${\displaystyle {\text{RMS}}\{x[n]\}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{n}{x^{2}[n]}}}={\sqrt {{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{m}{{\bigl |}X[m]{\bigr |}}^{2}}}={\sqrt {\sum _{m}{\left|{\frac {X[m]}{N}}\right|^{2}}}}.}$

母集団または波形の標準偏差は 、その算術平均からのRMS偏差です。これらは、RMS値と次の式で関連しています^[7]${\displaystyle \sigma _{x}=(x-{\overline {x}})_{\text{rms}}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\overline {(x-{\overline {x}})^{2}}}=x_{\text{rms}}^{2}-{\overline {x}}^{2}}$。

このことから、RMS には二乗偏差 (誤差) も含まれるため、RMS 値は常に平均値以上であることがわかります。

物理学者は、入力信号の平均がゼロであると想定できる場合、つまり、特定のベースラインまたはフィッティングからの信号の平均二乗偏差の平方根を指す場合に、標準偏差の同義語として二乗平均平方根という用語をよく使用します。 ^{[8] [9]}これは、電気技術者が信号の「AC のみ」の RMS を計算するときに役立ちます。標準偏差は、平均の周りの信号の変化の RMS であり、0 の周りではなく、DC 成分が除去されます (つまり、平均信号が 0 の場合、RMS(信号) = stdev(信号) です)。

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