平行曲線

与えられた（親）曲線の平行曲線は、その曲線を中心とする合同な（半径が等しい）円の族の包絡線である。これは平行（直線）線の概念を一般化したものである。また、与えられた曲線から一定の法線距離にある点を持つ曲線として定義することもできる。 ^[¹^] 後者は滑らかさを仮定しているのに対し、前者はそうではないため、これら2つの定義は完全に同等ではない。^[²^]

コンピュータ支援設計では、平行曲線を表す好ましい用語はオフセット曲線です。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} （他の幾何学的文脈では、「オフセット」という用語は平行移動を指す場合もありますが、平行曲線は元の曲線とは異なる形状を持つ場合があります。 ^{[ 5 ]}）オフセット曲線は、たとえば数値制御（NC）加工において重要であり、例えば、2軸機械の円形切削工具によって行われる切削の形状を記述します。切削の形状は、あらゆる点で、カッターの軌跡に垂直な方向に一定の距離だけ、カッターの軌跡からオフセットされます。^{[ 6 ]}

ベクターグラフィックスとして知られる2Dコンピュータグラフィックスの分野では、平行曲線の（近似）計算は、ストロークと呼ばれる基本的な描画操作の1つに関係しており、これは通常、その分野ではポリラインまたはポリベジェ（それ自体はパスと呼ばれる）に適用されます。^[⁷^]

グラフの平行曲線 $y=1.5\sin(x)$ （赤色）距離 $d=0.25,\dots ,1.5$

{\displaystyle y=1.5\sin(x)} — グラフの平行曲線 $y=1.5\sin(x)$ （赤色）距離 $d=0.25,\dots ,1.5$

直線や円の場合を除き、平行曲線は、元の曲線よりも複雑な数学的構造を持っています。^{[ 1 ]}例えば、元の曲線が滑らかであっても、そのオフセットは滑らかではない場合があります。この性質は、正弦曲線を元の曲線として使用した上の図で示されています。^{[ 2 ]}一般に、曲線が有理曲線であっても、そのオフセットは有理曲線ではない場合があります。例えば、放物線のオフセットは有理曲線ですが、楕円や双曲線のオフセットは、元の曲線自体は有理曲線であっても、有理曲線ではありません。^{[ 3 ]}

この概念は 3Dサーフェスにも一般化され、オフセットサーフェスまたは平行サーフェスと呼ばれます。^{[ 8 ]}立体の体積を (一定の) 距離オフセットで増加させることは、膨張(膨張イメージ操作に類似) と呼ばれることがあります。^{[ 9 ]}反対の操作は、シェル化と呼ばれることがあります。^{[ 8 ]}オフセットサーフェスは NC において重要であり、 3 軸マシンのボールノーズエンドミルによって行われる切削の形状を記述します。 ^{[ 10 ]}切削ビットの他の形状は、一般的なオフセットサーフェスによって数学的にモデル化できます。^{[ 11 ]}

パラメトリックに与えられた曲線の平行曲線

規則的なパラメトリック表現がある場合 ${\vec {x}}=(x(t),y(t))$ 与えられた曲線のうち、平行曲線の2番目の定義（上記参照）により、距離を持つ平行曲線の以下のパラメトリック表現が得られます。 $|d|$ :

{\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)

単位法線

{\vec {n}}(t)

。

デカルト座標系では：

x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}

y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .

距離パラメータ $d$ 負の値になる場合もあります。この場合、曲線の反対側に平行な曲線が得られます（円の平行曲線の図を参照）。直線の平行曲線は一般的な意味での平行線であり、円の平行曲線は同心円であることは容易に確認できます。

幾何学的特性

出典: ^{[ 12 ]}

${\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad$ つまり、固定されたパラメータに対する接線ベクトルは平行であるということです。
$k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}},\quad$ と $k(t)$ 与えられた曲線の曲率と $k_{d}(t)$ パラメータに対する平行曲線の曲率 $t$ 。
$R_{d}(t)=R(t)+d,\quad$ と $R(t)$ 与えられた曲線の曲率半径と $R_{d}(t)$ パラメータに対する平行曲線の曲率半径 $t$ 。
それらが存在する場合、対応する点で平行な曲線に接する円は同心円になります。 ^{[ 13 ]}
平行線に関して言えば、曲線に対する法線は、その平行線に対しても法線となる。
平行曲線を描くと、曲線からの距離が曲率半径と一致する場所に尖点が生じます。これらは、曲線が外転曲線に接する点です。
始原曲線が平面集合の境界であり、その平行曲線が自己交差を持たない場合、後者は平面集合と与えられた半径の円盤のミンコフスキー和の境界となる。

与えられた曲線が多項式である場合（つまり、 $x(t)$ そして $y(t)$ 平行曲線が多項式である場合、平行曲線は通常多項式ではありません。CAD 分野では、これは欠点です。なぜなら、CAD システムは多項式または有理曲線を使用するからです。少なくとも有理曲線を得るためには、平行曲線の表現の平方根が解ける必要があります。このような曲線はピタゴラスホドグラフ曲線と呼ばれ、RT Farouki によって研究されました。^{[ 14 ]}

陰関数曲線の平行曲線

{\displaystyle x^{4}+y^{4}-1=0} — 方程式と暗黙の曲線（赤）の平行曲線 $x^{4}+y^{4}-1=0$

すべての陰関数曲線が解析的表現を持つ平行曲線を持つわけではありませんが、いくつかの特殊なケースでは可能です。たとえば、ピタゴラスのホドグラフ曲線は有理曲線であり、有理平行曲線を持ち、陰関数表現に変換できます。有理平行曲線を持つ別の種類の陰関数有理曲線は放物線です。^{[ 15 ]}直線や円のような単純なケースでは、平行曲線は簡単に記述できます。たとえば、

ライン

\;f(x,y)=x+y-1=0\;

→距離関数:

\;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;

（ヘッセ標準形）

丸

\;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;

→距離関数:

\;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.

一般に、特定の条件を仮定すれば、向き付けられた距離関数の存在を証明できる。 $h(x,y)$ 実際には、数値的に処理する必要がある。^{[ 16 ]}平行曲線を考慮すると、次のことが成り立つ。

距離dの平行曲線はレベルセットである $h(x,y)=d$ 対応する方向付き距離関数 $h$ 。

距離関数の特性

出典: ^{[ 12 ]}^{[ 17 ]}

$|\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,$
$h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,$
$\operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.$

例：この図は、方程式で表される陰関数曲線の平行曲線を示しています。 $\;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.$ 注記： 曲線 $\;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;$ 平行曲線ではないのは、 $\;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;$ 関心のある分野では、それは当てはまりません。

その他の例

ある曲線のインボリュート曲線は、平行な曲線の集合です。例えば、円のインボリュート曲線は平行な螺旋曲線です（図を参照）。

そして：^{[ 18 ]}

放物線は、6次の有理曲線を（両側の）オフセットとして持つ。
双曲線または楕円は、8次の代数曲線を（両側の）オフセットとして持つ。
次数 $n$ のベジェ曲線は、（両側の）オフセットとして次数 $4$ $n$ $- 2の$ 代数曲線を持ちます。特に、3 次ベジェ曲線は、（両側の）オフセットとして次数 10 の代数曲線を持ちます。

角のある曲線に平行な曲線

鋭角な部品を機械加工する際の切削経路を決定するには、角部で法線が不連続となるような、与えられた曲線に平行な（オフセット）曲線を定義する必要があります。与えられた曲線は鋭角部で滑らかではない場合でも、その平行曲線は法線が連続する滑らかな曲線となる場合もあれば、曲線からの距離が鋭角部の曲率半径と一致する場合に尖点を持つ場合もあります。

上述のように、平行曲線のパラメトリック表現では、 ${\vec {x}}_{d}(t)$ 与えられた曲線者に対して、 ${\vec {x}}(t)$ 距離とともに $|d|$ は：

{\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)

単位法線

{\vec {n}}(t)

。

急カーブで（ $t=t_{c}$ )、通常 ${\vec {x}}(t_{c})$ によって与えられた ${\vec {n}}(t_{c})$ 不連続であるということは、法線の左側からの片側極限が不連続であることを意味する。 ${\vec {n}}(t_{c}^{-})$ 右からの制限とは等しくない ${\vec {n}}(t_{c}^{+})$ 数学的には、

{\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)

。

しかし、通常のファンを定義することはできる^{[ 11 ]} ${\vec {n}}_{f}(\alpha )$ 補間関数を提供する ${\vec {n}}(t_{c}^{-})$ そして ${\vec {n}}(t_{c}^{+})$ 、そして使用する ${\vec {n}}_{f}(\alpha )$ の代わりに ${\vec {n}}(t_{c})$ 鋭角な角で：

{\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad

どこ

0<\alpha <1

。

結果として得られる平行曲線の定義 ${\vec {x}}_{d}(t)$ 望ましい動作を提供します。

{\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{if }}t<t_{c}{\text{ or }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{if }}t=t_{c}{\text{ where }}0<\alpha <1\end{cases}}

アルゴリズム

一般的に、ベジェ曲線の平行曲線は別のベジェ曲線ではないことが、1984 年に Tiller と Hanson によって証明されています。^{[ 19 ]}したがって、実際には近似手法が使用されます。曲線を繰り返し細分化することで任意の精度レベルを実現できますが、より優れた手法では同じ精度レベルを達成するために必要な細分化回数が少なくなります。Elber、Lee、Kim による 1997 年の調査^{[ 20 ]}は広く引用されていますが、より優れた手法が最近提案されています。曲線フィッティングに基づく最新の手法が、他のアルゴリズムへの参照や比較、およびオープンソースの JavaScript ソースコードとともに、2022 年 9 月にブログ記事^{[ 21 ]}で公開されました。

オフセットのためのもう1つの効率的なアルゴリズムは、 KimmelとBruckstein（1993）によって記述されたレベルアプローチである。 ^{[ 22 ]}

平行（オフセット）面

オフセット面は数値制御加工において重要であり、3軸フライス盤のボールエンドミルによって切削される形状を記述する。^{[ 10 ]}規則的なパラメトリック表現がある場合 ${\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 与えられた曲面が利用可能な場合、平行曲線の2番目の定義（上記参照）は、距離を持つ平行曲面の次のパラメトリック表現に一般化されます。 $|d|$ :

{\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)

単位法線

{\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}

。

距離パラメータ $d$ 負の値になる場合もあります。この場合、曲面の反対側に平行な面が得られます（円の平行曲線に関する同様の図を参照）。簡単に確認できます。平面の平行面は一般的な意味での平行平面であり、球の平行面は同心球です。

幾何学的特性

出典: ^{[ 23 ]}

${\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad$ つまり、固定パラメータに対する接線ベクトルは平行であるということです。
${\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad$ つまり、固定パラメータに対する法線ベクトルは方向が一致するということです。
$S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad$ どこ $S_{d}$ そして $S$ は形状演算子です ${\vec {x}}_{d}$ そして ${\vec {x}}$ 、それぞれ。

主曲率は形状演算子の固有値であり、主曲率方向はその固有ベクトルであり、ガウス曲率はその行列式であり、平均曲率はそのトレースの半分である。

$S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad$ どこ $S_{d}^{-1}$ そして $S^{-1}$ は、形状演算子の逆です。 ${\vec {x}}_{d}$ そして ${\vec {x}}$ 、それぞれ。

主曲率半径は形状演算子の逆関数の固有値であり、主曲率方向はその固有ベクトルであり、ガウス曲率の逆数はその行列式であり、平均曲率半径はそのトレースの半分である。

平行曲線の幾何学的性質との類似性に注目してください。

一般化

この問題は、オフセット面などの高次元にかなり明白に一般化され、パイプ面にはやや自明ではないものの一般化されます。^{[ 24 ]}高次元バージョンの用語は、平面の場合よりもさらに多様であることに注意してください。たとえば、他の著者は平行繊維、リボン、チューブについて言及しています。^{[ 25 ]} 3D 面に埋め込まれた曲線の場合、オフセットは測地線に沿って取られる可能性があります。^{[ 26 ]}

それを一般化する別の方法は、（2Dでも）別の曲線でパラメータ化された可変距離を考慮することです。^{[ 23 ]}例えば、 METAFONTのように円の代わりに楕円でストローク（エンベロープ）をすることができます。^{[ 23 ]}^[²⁷^]

最近では、Adobe Illustrator のバージョンCS5で、可変幅の制御点が視覚的に指定されるものの、やや似た機能が追加されました。^{[ 28 ]}一定距離オフセットと可変距離オフセットを区別することが重要な状況では、CDO と VDO という略語が使用されることがあります。^{[ 9 ]}

一般的なオフセット曲線

曲線の通常のパラメトリック表現があると仮定します。 ${\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))$ 、そして、単位法線によってパラメータ化できる2番目の曲線があります。 ${\vec {d}}({\vec {n}})$ 、通常の ${\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}$ （この法線によるパラメータ化は、曲率が厳密に正または負であり、したがって凸で滑らかで直線ではない曲線に対して存在します。）一般オフセット曲線のパラメトリック表現は ${\vec {x}}(t)$ オフセット ${\vec {d}}({\vec {n}})$ は：

{\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad

どこ

{\vec {n}}(t)

単位法線は

{\vec {x}}(t)

。

自明なオフセットに注意してください。 ${\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}$ 通常の平行曲線（オフセット曲線とも呼ばれる）が得られます。

幾何学的特性

出典: ^{[ 23 ]}

${\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad$ つまり、固定されたパラメータに対する接線ベクトルは平行であるということです。
平行線に関しては、曲線の法線は、その曲線の一般的なオフセットにも法線となる。
$k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad$ と $k_{d}(t)$ 一般オフセット曲線の曲率、 $k(t)$ 曲率 ${\vec {x}}(t)$ 、そして $k_{n}(t)$ 曲率 ${\vec {d}}({\vec {n}}(t))$ パラメータの場合 $t$ 。
$R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad$ と $R_{d}(t)$ 一般オフセット曲線の曲率半径、 $R(t)$ 曲率半径 ${\vec {x}}(t)$ 、そして $R_{n}(t)$ 曲率半径 ${\vec {d}}({\vec {n}}(t))$ パラメータの場合 $t$ 。
一般オフセット曲線を作成すると、曲線の曲率がオフセットの曲率と一致する箇所に尖点が生じます。これらの点は、曲線がエヴォリュートに接する点です。

一般的なオフセット面

一般オフセット曲面は、数値制御加工で3軸エンドミルで使用されるさまざまな切削ビットによって行われる切削の形状を表します。^{[ 11 ]}曲面の規則的なパラメトリック表現があると仮定します。 ${\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 、そして、単位法線によってパラメータ化できる2番目のサーフェスがあります。 ${\vec {d}}({\vec {n}})$ 、通常の ${\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}$ （この法線によるパラメータ化は、ガウス曲率が厳密に正であり、したがって凸で滑らかで平坦ではない曲面に対して存在します。）一般オフセット曲面のパラメータ表現は ${\vec {x}}(t)$ オフセット ${\vec {d}}({\vec {n}})$ は：

{\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad

どこ

{\vec {n}}(u,v)

単位法線は

{\vec {x}}(u,v)

。

自明なオフセットに注意してください。 ${\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}$ 通常の平行面（オフセット面とも呼ばれる）が得られます。

幾何学的特性

出典: ^{[ 23 ]}

平行線に関して言えば、曲面の接平面は、その曲面の一般オフセットの接平面と平行である。
平行線に関しては、曲面の法線は、その曲面の一般的なオフセットに対しても法線となる。
$S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad$ どこ $S_{d},S,$ そして $S_{n}$ は形状演算子です ${\vec {x}}_{d},{\vec {x}},$ そして ${\vec {d}}({\vec {n}})$ 、それぞれ。

主曲率は形状演算子の固有値であり、主曲率方向はその固有ベクトルであり、ガウス曲率はその行列式であり、平均曲率はそのトレースの半分である。

$S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad$ どこ $S_{d}^{-1},S^{-1}$ そして $S_{n}^{-1}$ は、形状演算子の逆です。 ${\vec {x}}_{d},{\vec {x}},$ そして ${\vec {d}}({\vec {n}})$ 、それぞれ。

主曲率半径は形状演算子の逆関数の固有値であり、主曲率方向はその固有ベクトルであり、ガウス曲率の逆数はその行列式であり、平均曲率半径はそのトレースの半分である。

一般的なオフセット曲線の幾何学的特性との類似性に注目してください。

一般的なオフセットに対する幾何学的特性の導出

上記に挙げた一般的なオフセット曲線および曲面の幾何学的特性は、任意の次元のオフセットに対して導出できます。n 次元曲面の規則的なパラメトリック表現があると仮定します。 ${\vec {x}}({\vec {u}})$ 次元は ${\vec {u}}$ n-1 です。また、単位法線によってパラメータ化できる 2 番目の n 次元曲面があると仮定します。 ${\vec {d}}({\vec {n}})$ 、通常の ${\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}$ （この法線によるパラメータ化は、ガウス曲率が厳密に正であり、したがって凸で滑らかで平坦ではない曲面に対して存在します。）一般オフセット曲面のパラメータ表現は ${\vec {x}}({\vec {u}})$ オフセット ${\vec {d}}({\vec {n}})$ は：

{\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad

どこ

{\vec {n}}({\vec {u}})

単位法線は

{\vec {x}}({\vec {u}})

（自明なオフセット、

{\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}

（通常の平行面が得られます。）

まず、通常の ${\vec {x}}({\vec {u}})=$ 通常の ${\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),$ 定義により。次に、微分を適用します。 ${\vec {u}}$ に ${\vec {x}}_{d}$ これにより、接平面上に張られる接ベクトルが得られます。

\partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))

接線ベクトルに注目してください。 ${\vec {x}}_{d}$ は、接線ベクトルの合計です。 ${\vec {x}}({\vec {u}})$ そしてそのオフセット ${\vec {d}}({\vec {n}})$ 同じ単位法線を共有する。したがって、一般的なオフセットサーフェスは、同じ接平面と法線を共有する。 ${\vec {x}}({\vec {u}})$ そして ${\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))$ それは封筒の性質に合致する。

次に、形状演算子に対するワインガルテン方程式を考えます。これは次のように書くことができます。 $\partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S$ 。もし $S$ 可逆である、 $\partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}$ 曲面の主曲率は形状演算子の固有値であり、主曲率方向はその固有ベクトルであり、ガウス曲率はその行列式であり、平均曲率はそのトレースの半分であることを思い出してください。形状演算子の逆演算子は、曲率半径に対してこれらの同じ値を保持します。

微分方程式に代入すると ${\vec {x}}_{d}$ すると、次のようになります。

\partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad

どこ

S_{n}

は形状演算子です

{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))

。

次に、ワインガルテン方程式を再び使用して、 $\partial {\vec {n}}$ :

\partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad

どこ

S

は形状演算子です

{\vec {x}}({\vec {u}})

。

次に、 $\partial {\vec {x}}$ 両辺に $-S$ ワインガルテン方程式に戻ると、今回は $\partial {\vec {x}}_{d}$ :

\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},

-\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.

したがって、 $S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S$ 両辺を反転させると、 $S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}$ 。

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外部リンク

MathWorldの平行曲線
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平行曲線

パラメトリックに与えられた曲線の平行曲線

幾何学的特性

陰関数曲線の平行曲線

距離関数の特性

その他の例

角のある曲線に平行な曲線

アルゴリズム

平行（オフセット）面

幾何学的特性

一般化

一般的なオフセット曲線

幾何学的特性

一般的なオフセット面

幾何学的特性

一般的なオフセットに対する幾何学的特性の導出

関連項目

参考文献

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曲線

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円

包絡線