ボール（数学）

数学において、球とは球面によって囲まれた立体図形であり、立体球とも呼ばれる。^[1]球面を構成する境界点を含む閉球と、境界点を含まない開球がある。

これらの概念は、3 次元ユークリッド空間だけでなく、より低次元や高次元、および一般的な距離空間でも定義されます。 n次元の球はハイパーボールまたはnボールと呼ばれ、超球または( n −1 ) 球で囲まれます。したがって、たとえば、ユークリッド平面の球は、円で囲まれた領域であるディスクと同じものです。3 次元ユークリッド空間では、球は2 次元球で囲まれた体積とみなされます。1 次元空間では、球は線分です。

ユークリッド幾何学や非公式な用法などの他の文脈では、球は球 を意味するために使用されることがあります。位相幾何学の分野では、閉次元球はまたはと表記されることが多く、開次元球はまたは と表記されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle B^{n}}$${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {int} B^{n}}$${\displaystyle \operatorname {int} D^{n}}$

ユークリッドn空間では、半径r、中心xの(開いた) n球は、 xからr未満の距離にあるすべての点の集合です。半径rの閉じたn球は、 xからr以下の距離にあるすべての点の集合です。

ユークリッドn空間では、すべての球は超球で囲まれます。球は、n = 1のときは有界区間、n = 2のときは円で囲まれた円盤、n = 3のときは球で囲まれます。

n次元ユークリッド空間における半径rのユークリッド球の n 次元体積は、次の式で表されます。 ^[2] ここで、  Γはレオンハルト・オイラーのガンマ関数(分数引数への階乗関数の拡張として考えることができます) です。整数と半整数におけるガンマ関数の特定の値に対する明示的な式を使用すると、ガンマ関数の評価を必要としないユークリッド球の体積の式が得られます。これらは次のとおりです。 $${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}}$$

奇数次元の体積の公式では、二重階乗 (2 k + 1)!!は奇数整数2 k + 1に対して(2 k + 1)!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k − 1) ⋅ (2 k + 1)と定義されます。

( M , d )を距離空間、つまり距離(距離関数) dを持つ集合Mとし、⁠ ⁠ を正の実数とします。M内の点p を中心とする半径rの開球 (距離) は、通常B _r ( p )またはB ( p ; r )で表され、ユークリッド球と同じように、 pからr未満の距離にあるM内の点の集合として定義されます。 ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.}$$

閉球（メトリック球）は、B _r [ p ]またはB [ p ; r ]と表記されることもあり、同様にpからr以下の距離にある点の集合として定義される。 $${\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}$$

特に、定義ではr > 0が要求されるため、球（開いた球または閉じた球）には常にp自体が含まれます。単位球（開いた球または閉じた球）は半径 1 の球です。

一般計量空間内の球は、必ずしも円形である必要はありません。たとえば、チェビシェフ距離の下にある実座標空間内の球は超立方体であり、タクシー距離の下にある球は交差多面体です。閉じた球もコンパクトである必要はありません。たとえば、任意の無限次元ノルムベクトル空間内の閉じた球は、決してコンパクトではありません。ただし、三角不等式の結果として、 ベクトル空間内の球は常に凸状になります。

距離空間の部分集合は、何らかの球体に含まれる場合、有界です。任意の正の半径が与えられた場合、その半径の有限個の球体によって覆われる集合は、 完全に有界です。

距離空間の開球は基底として機能し、この空間に位相を与え、その開集合は開球の可能な和集合すべてになります。距離空間上のこの位相は、距離dによって誘導される位相と呼ばれます。

この位相における開球の閉包をとします。 は常に成り立ちますが、 が常に成り立つとは限りません。たとえば、離散計量を持つ計量空間では、 が成り立ちますが、任意の${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}}$${\displaystyle B_{r}(p)}$${\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],}$${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}}$${\displaystyle B_{1}[p]=X}$${\displaystyle p\in X.}$

ノルムを持つ任意のノルム付きベクトル空間 V は、距離が である計量空間でもある。 このような空間では、距離が 未満の点の周りの任意の点の球は、単位球の拡大縮小（ による）および平行移動（ による）されたコピーと見なすことができる。このような「中心化された」球は、で表されます。${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|.}$${\displaystyle B_{r}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{1}(0).}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle B(r).}$

前述のユークリッド球は、ノルムベクトル空間内の球の例です。

pノルムL _pを持つ直交空間 R ⁿにおいて、つまりいくつかを選んで定義すると、原点の周りの半径 を持つ開球は集合によって与えられます 。 n = 2の場合、2次元平面では、 L ₁ノルム（タクシー計量またはマンハッタン計量と呼ばれることが多い）による「球」は、対角線が座標軸に平行な正方形で囲まれます。 L _∞ノルム（チェビシェフ計量とも呼ばれる）による「球」は、境界として、辺が座標軸に平行な正方形を持ちます。 ユークリッド計量として知られるL ₂ノルムは、円内によく知られた円を生成し、pの他の値では、対応する球はラメ曲線（半楕円または超楕円）で囲まれた領域です。 ${\displaystyle p\geq 1}$$${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},}$$${\displaystyle r}$$${\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

n = 3の場合、L ₁球は軸が揃った対角線を持つ八面体内にあり、L _∞球は軸が揃った辺を持つ立方体内にあり、p > 2のL _pの球の境界は超楕円体です。p = 2 は通常の球の内側を生成します。

多くの場合、次のようなケースも考えられます。この場合、次のように定義します。${\displaystyle p=\infty}$$${\displaystyle \lVert x\rVert _{\infty }=\max\{\left|x_{1}\right|,\dots ,\left|x_{n}\right|\}}$$

より一般的には、R ⁿの中心対称、有界、開、凸サブセットX が与えられた場合、ボールがすべて Xの平行移動され均一にスケールされたコピーであるR ⁿ上のノルムを定義できます。この定理は、「開」サブセットが「閉」サブセットに置き換えられた場合は成立しないことに注意してください。これは、原点が R ⁿ上のノルムの要件を満たしますが、定義しないためです。

任意の位相空間 X内の球について話すことはできますが、必ずしも計量によって誘導される必要はありません。Xの(開いたまたは閉じた) n次元位相球は、 (開いたまたは閉じた) ユークリッドn球に同相な X の任意の部分集合です。位相n球は、セル複合体の構成要素として、組み合わせ位相学において重要です。

任意の開いた位相n球は、デカルト空間R ⁿおよび開いた単位n立方体（超立方体）(0, 1) ⁿ ⊆ R ⁿに同相です。任意の閉じた位相n球は、閉じたn立方体[0, 1] ⁿに同相です。

n球がm球に同相であるためには、n = mでなければなりません。開いたn球BとR ⁿの間の同相は、 Bの 2 つの可能な位相的向きと同一視できる 2 つのクラスに分類できます。

位相的なn球体は滑らかである必要はありません。滑らかであれば、ユークリッドのn球体と微分同相である必要はありません。

ボールにはいくつかの特別な領域を定義できます。

• キャップ、1つの平面で囲まれた
• 球の中心を頂点とする円錐形の境界で囲まれた扇形
• 一対の平行な平面で囲まれた線分
• 異なる半径を持つ2つの同心球で囲まれた殻
• 球の中心と球の表面を通る2つの平面で囲まれたくさび形

• Smith, DJ; Vamanamurthy, MK (1989). 「単位球はどのくらい小さいか?」.数学雑誌. 62 (2): 101–107. doi :10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR  2690391.
• Dowker, JS (1996). 「ユークリッド球上のロビン条件」.古典重力と量子重力. 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th/9506042 . Bibcode :1996CQGra..13..585D. doi :10.1088/0264-9381/13/4/003. S2CID  119438515.
• グルーバー、ピーター M. (1982)。「ユークリッド球に含まれる凸体の空間の等長変換」。イスラエル数学ジャーナル。42 (4): 277–283。doi : 10.1007 /BF02761407。S2CID 119483499  。