中心六角数

数学と組合せ論において、中心六角数（ちゅうかくすうすう） 、または十六進数^{[1] [2]は、中心に点があり、他のすべての点は}六角格子で中心の点を取り囲む六角形を表す中心 図形数である。次の図は、最初の4つの中心六角数のこの配置を示している。

中心六角数は、関連する六角形が頂点を共有する図形数である 角六角数と混同しないでください。

六角数のシーケンスは次のように始まります ( OEISのシーケンスA003215 )。

1、7、19、37、61、91、127、169、217、271、331、397、469、547、631、721、817、919。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

n番目の中心六角数は式^{[2]で与えられる。}

${\displaystyle H(n)=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1=3n^{2}-3n+1.\,}$

式を次のように表すと

${\displaystyle H(n)=1+6\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)}$

は、 nの中心六角数が( n −1)番目の三角数の6倍より1大きいことを示しています。

反対に、中心六角数に対応する指数 nは、次の式で計算できる。 ${\displaystyle H=H(n)}$

${\displaystyle n={\frac {3+{\sqrt {12H-3}}}{6}}.}$

これは、数値Hが中心六角形であるかどうかをテストするために使用できます。上記の式が整数である場合にのみ、中心六角形になります。

中心六角数は再帰関係を満たす^[2]${\displaystyle H(n)}$

${\displaystyle H(n+1)=H(n)+6n.}$

これから生成関数 を計算することができます。生成関数は以下を満たします。 ${\displaystyle F(x)=\sum _{n\geq 0}H(n)x^{n}}$

${\displaystyle F(x)=x+xF(x)+\sum _{n\geq 2}6nx^{n}.}$

後者の項はのテイラー級数なので、 ${\displaystyle {\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x}$

${\displaystyle (1-x)F(x)=x+{\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{2}}}}$

そして最終的に

${\displaystyle F(x)={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{3}}}.}$

10 進法では、六角形の数字の右端 (最下位) の桁が 1–7–9–7–1 (周期5 で繰り返す) のパターンに従うことがわかります。これは、5 を法としてとった場合に 0-1-3-1-0 を繰り返す三角数の最後の桁( OEISのシーケンスA008954 ) に従います。6 進法では、右端の桁は常に 1 です: 1 ₆、11 ₆、31 ₆、101 ₆、141 ₆、231 ₆、331 ₆、441 _{6 ... これは、中心にあるすべての六角形の数字を 6 (=10 6} ) を法としてとった結果が 1 になるという 事実に従います。

最初のn 個の中心六角数の和はn ³です。つまり、中心六角錐数と立方体は同じ数ですが、異なる形状を表します。反対の視点から見ると、中心六角数は 2 つの連続する立方体の差であるため、中心六角数は立方体のグノモンになります。（これは図から幾何学的に見ることができます。）特に、素数の中心六角数はキューバン素数です。

(2 n ) ²とn番目の中心六角数との差は3 n ² + 3 n − 1という形式の数であるが、 (2 n − 1) ²とn番目の中心六角数との差はプロニック数である。

多くの分割鏡式 反射望遠鏡は、制御システムを簡素化するために、中心に六角形のセグメント（光の通過を可能にするために除去された中央のセグメントは無視）で構成された主鏡を備えています。^[3]例：

• 六角数
• 魔法の六角形
• 星の数