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オームの法則は、 2点間の導体を流れる電流は、2点間の電圧に正比例すると述べています。比例定数である抵抗を導入すると、[ 1 ]この関係を記述するために使用される 3 つの数学方程式が得られます。[ 2 ]
ここで、 Iは導体を流れる電流、Vは導体の両端で測定される電圧、Rは導体の抵抗です。より具体的には、オームの法則は、この関係におけるRは電流とは無関係に一定であると述べています。[ 3 ]抵抗が一定でない場合、上記の式はオームの法則とは呼べませんが、静的/直流抵抗の定義として使用できます。[ 4 ]オームの法則は、電流の何桁にもわたる範囲で、電気伝導性材料の大部分の導電率を正確に記述する経験的な関係です。ただし、オームの法則に従わない材料もあり、これらは非オーム性と呼ばれます。
この法則は、ドイツの物理学者ゲオルク・オームにちなんで名付けられました。オームは1827年に発表した論文の中で、様々な長さの導線を含む単純な電気回路に印加された電圧と電流の測定について記述しました。オームは、上記の現代的な式よりもやや複雑な式を用いて、自身の実験結果を説明しました（下記の「歴史」を参照）。
物理学において、オームの法則という用語は、この法則の様々な一般化を指す場合にも用いられます。例えば、電磁気学や材料科学で用いられる法則のベクトル形式などが挙げられます。
ここで、Jは抵抗性材料内の特定の位置における電流密度、 Eはその位置における電場、σ (シグマ) は導電率と呼ばれる材料依存パラメータであり、抵抗率ρ (ロー)の逆数として定義される。このオームの法則の再定式化は、グスタフ・キルヒホフによるものである。[ 5 ]
1781年1月、ゲオルク・オームの研究に先立ち、ヘンリー・キャベンディッシュは、ライデン瓶と、塩水溶液を満たした様々な直径と長さのガラス管を用いて実験を行った。彼は、自分の体で回路を完成させたときに感じるショックの強さを記録することで電流を測定した。キャベンディッシュは、「速度」（電流）が「帯電度」（電圧）に正比例すると記した。彼は当時、自分の結果を他の科学者に伝えなかった[ 6 ]。そして、彼の結果は、1879年にジェームズ・クラーク・マクスウェルが発表するまで知られていなかった[ 7 ]。
フランシス・ロナルズは1814年に金箔電位計を用いて、高電圧源である乾式炉の「強度」（電圧）と「量」（電流）を区別した。彼は乾式炉の場合、特定の気象条件下では2つのパラメータ間の関係が比例しないことを発見した。[ 8 ] [ 9 ]
オームは1825年と1826年に抵抗に関する研究を行い、1827年に『ガルバニ回路の数学的考察』（Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet ）という書籍としてその成果を発表しました。 [ 10 ]彼は、自身の研究の理論的説明において、ジョセフ・フーリエの熱伝導に関する研究から大きな影響を受けました。実験には当初ボルタ電池を用いましたが、後に内部抵抗と定電圧の点でより安定した電圧源となる熱電対を用いるようになりました。電流測定には検流計を用い、熱電対端子間の電圧が接合部温度に比例することを知っていた彼は、長さ、直径、材質の異なる試験線を追加して回路を完成させました。そして、得られたデータは以下の式でモデル化できることを発見しました。 ここで、xは検流計の読み値、ℓは試験用導体の長さ、aは熱電対接合部の温度に依存する値、bは装置全体の定数である。オームはこの式から比例法則を導き出し、その結果を発表した。
現代の記法では、次のように書きます。 どこは熱電対の開放起電力であり、は熱電対の内部抵抗であり、はテストワイヤの抵抗です。ワイヤの長さで表すと、次のようになります。 どこは、単位長さあたりの試験ワイヤの抵抗です。したがって、オーム係数は、
オームの法則は、電気の物理学に関する初期の定量的記述の中で最も重要なものであったと言えるでしょう。今日では、私たちはそれをほとんど自明のことと考えています。しかし、オームが初めてその研究を発表した当時はそうではありませんでした。批評家たちは、彼の研究に対する姿勢に敵意をもって反応しました。彼らはオームの研究を「むき出しの空想の網」[ 11 ]と呼び、教育大臣は「そのような異端を説く教授は科学を教える資格がない」と宣言しました[ 12 ]。当時のドイツにおける主流の科学哲学は、自然は非常に秩序立っているため、自然を理解するために実験を行う必要はなく、科学的真理は推論のみによって導き出せるというものでした[ 13 ] 。また、オームの兄で数学者のマルティンは、ドイツの教育制度と闘っていました。これらの要因がオームの研究の受容を妨げ、彼の研究が広く受け入れられるようになったのは1840年代になってからのことでした。しかし、オームは亡くなるずっと前から、科学への貢献に対して評価を受けていました。
1850年代には、オームの法則は広く知られ、証明されていると考えられていました。1855年にサミュエル・F・B・モースが論じたように、「バーロウの法則」などの代替法則は、電信システムの設計への実際の応用という点では信用を失っていました。[ 14 ]
電子は1897年にJJトムソンによって発見され、電気回路で電流を運ぶ粒子（電荷キャリア）であることがすぐに認識されました。1900年、ポール・ドルーデによって最初の（古典的な）電気伝導モデルであるドルーデモデルが提唱され、オームの法則に対する科学的な説明がようやく与えられました。このモデルでは、固体導体は原子（イオン）の静止した格子からなり、伝導電子はその中をランダムに運動します。導体に電圧をかけると電場が発生し、電子は電場の方向に加速され、電子のドリフトが生じ、これが電流となります。しかし、電子は原子と衝突して散乱し、運動がランダム化されるため、運動エネルギーが熱エネルギーに変換されます。統計分布を用いると、電子の平均ドリフト速度、ひいては電流は、広い電圧範囲にわたって電場、ひいては電圧に比例することが示されます。
1920年代の量子力学の発展により、この考え方は多少変化しましたが、現代の理論では、電子の平均ドリフト速度は電場に比例することが示され、オームの法則が導き出されます。1927年、アーノルド・ゾンマーフェルトは電子エネルギーの量子フェルミ・ディラック分布をドルーデモデルに適用し、自由電子モデルを導き出しました。その1年後、フェリックス・ブロッホは、電子が固体結晶格子内を波動（ブロッホ電子）で移動することを示し、ドルーデモデルで仮定された格子原子からの散乱は主要なプロセスではなく、電子は不純物原子や材料中の欠陥から散乱されることを示しました。最終的な後継である固体の現代量子バンド理論は、固体中の電子はドルーデモデルで仮定されたようなエネルギーを一切持つことができず、電子が持つことが許されないエネルギーのギャップを持つエネルギーバンドに制限されることを示しました。バンドギャップの大きさは、特定の物質の特性であり、その電気抵抗率と密接に関係しているため、一部の物質が電気伝導体、一部が半導体、一部が絶縁体となる理由を説明できる。
電気伝導率を表す旧来の単位であるモー（抵抗単位オームの逆数）は今でも使われているが、1971年にエルンスト・ヴェルナー・フォン・ジーメンスにちなんで、ジーメンスという新しい名称が採用された。正式な論文ではジーメンスが好んで用いられる。
1920年代、実用的な抵抗器を流れる電流は、電圧と抵抗が完全に一定の場合でも、温度に依存する統計的な変動を示すことが発見されました。この変動は現在ジョンソン・ナイキスト雑音として知られており、電荷の離散的な性質に起因します。この熱効果により、十分に短い時間で測定された電流と電圧の測定値は、測定された電流の時間平均またはアンサンブル平均によって示されるRの値から変動するV/I比をもたらします。オームの法則は、通常の抵抗材料の場合、平均電流に対しては依然として正しいままです。
オームの研究は、マクスウェル方程式や交流回路における周波数依存効果の理解よりもはるか以前に行われた。電磁気理論や回路理論における現代の発展は、適切な範囲内で評価すれば、オームの法則と矛盾するものではない。
オームの法則は経験法則であり、ほとんどの物質において電流が電界にほぼ比例することを示す多くの実験からの一般化である。マックスウェル方程式ほど基本的なものではなく、常に成り立つとは限らない。任意の物質は十分に強い電界の下で破壊され、電気工学で関心のある物質の中には弱い電界の下で「非オーム性」を示すものもある。[ 15 ] [ 16 ]
オームの法則は、幅広い長さスケールで観測されている。20世紀初頭には、オームの法則は原子スケールでは成り立たないと考えられていたが、実験はこの予想を裏付けていない。2012年現在、研究者たちは、幅4原子、高さ1原子という小さなシリコンワイヤーでもオームの法則が成り立つことを実証している。[ 17 ]
電流密度の印加電場への依存性は本質的に量子力学的な性質を持つ（古典伝導率と量子伝導率を参照）。オームの法則につながる定性的な記述は、1900年にポール・ドルーデによって開発されたドルーデモデルを用いた古典力学に基づいて行うことができる。 [ 18 ] [ 19 ]
ドルーデモデルでは、電子（またはその他の電荷キャリア）は、物質の構造を構成するイオンの間を跳ね回るピンボールのように扱われます。電子は、その位置における平均電場によって、電場とは逆方向に加速されます。しかし、衝突のたびに、電子は電場によって得られる速度よりもはるかに大きな速度でランダムな方向に偏向されます。その結果、電子は衝突によってジグザグの軌道を描きますが、一般的には電場とは逆方向にドリフトします。
ドリフト速度は電流密度と電場Eとの関係を決定し、衝突とは無関係です。ドルーデは平均ドリフト速度をp = − e E τから計算しました。ここで、pは平均運動量、− eは電子の電荷、τは衝突間の平均時間です。運動量と電流密度はどちらもドリフト速度に比例するため、電流密度は印加された電場に比例するようになります。これがオームの法則につながります。
オームの法則を説明する際に、水力学のアナロジーが用いられることがあります。パスカル（またはPSI）で測定される水圧は、電圧のアナロジーです。なぜなら、水平なパイプ上の2点間に水圧差が生じると水が流れるからです。リットル/秒で表される水の体積流量は、クーロン/秒で表される電流のアナロジーです。最後に、水圧が測定される2点間のパイプに設置された開口部などの流量制限器は、抵抗器のアナロジーです。開口部制限器を通過する水の流量は、制限器の両端の水圧差に比例すると言えます。同様に、電気抵抗器を通過する電荷の流れ、すなわち電流の流量は、抵抗器の両端で測定される電圧差に比例します。より一般的には、水頭を電圧のアナロジーとみなすことができ、その場合、オームの法則は、水頭と体積流量を水力伝導率を介して関連付けるダルシーの法則に類似しています。
流体の流れネットワークでは、流量と圧力の変数を水力オームのアナロジーを使用して計算できます。[ 20 ] [ 21 ]この方法は、定常流と過渡流の両方の状況に適用できます。線形層流領域では、ポアズイユの法則がパイプの水力抵抗を記述しますが、乱流領域では圧力と流量の関係は非線形になります。
オームの法則に対する水力学的アナロジーは、例えば、循環器系を通る血流を近似するために使用されてきた。[ 22 ]
回路解析においては、オームの法則を表す以下の3つの等価表現が互換的に用いられる。
各方程式は、オームの法則の定義関係としていくつかの情報源で引用されている[ 2 ] [ 23 ] [ 24 ] 、または3つすべてが引用されている[ 25 ]、または比例形式から導出されている[ 26 ] 、あるいはオームの元の記述に対応しない2つだけが示される場合もある[ 27 ] [ 28 ] 。
この方程式の相互変換性は三角形で表すことができ、上段にV（電圧）、左段にI（電流）、右段にR（抵抗）を配置します。上段と下段の間の区切り線は除算を表します（そのため、区切り線が用いられています）。
抵抗器は、オームの法則に従って電荷の通過を妨げる回路素子であり、特定の抵抗値Rを持つように設計されています。回路図では、抵抗器は長い長方形またはジグザグの記号で表されます。ある動作範囲でオームの法則に従って動作する素子（抵抗器または導体）は、オームの法則と単一の抵抗値だけでその範囲での素子の動作を説明できるため、オーム素子（またはオーム抵抗器）と呼ばれます。
オームの法則は、抵抗要素のみを含む回路（静電容量やインダクタンスを含まない回路）において、駆動電圧や電流が一定（直流）か時間的に変化する（交流）かに関わらず、あらゆる形態の駆動電圧や電流に対して成り立ちます。オームの法則は、そのような回路において、どの時点においても有効です。
直列または並列に接続された抵抗器は、回路解析においてオームの法則を適用するために、単一の「等価抵抗」としてグループ化されることがある。
交流または時間変動する電圧や電流が印加される回路に、コンデンサ、インダクタ、伝送線路などのリアクタンス要素が含まれる場合、電圧と電流の関係は微分方程式の解となるため、オームの法則（上記で定義）は直接適用されません。なぜなら、その形式には値Rを持つ抵抗のみが含まれており、容量 ( C ) やインダクタンス ( L ) を含む可能性のある複素インピーダンスが含まれていないからです。
時間不変交流回路の式はオームの法則と同じ形式をとります。ただし、変数は複素数に一般化され、電流と電圧の波形は複素指数関数になります。[ 29 ]
このアプローチでは、電圧または電流波形はAe st の形式をとります。ここで、tは時間、sは複素パラメータ、Aは複素スカラーです。任意の線形時不変システムでは、すべての電流と電圧をシステムへの入力と同じsパラメータで表現できるため、時間とともに変化する複素指数項を相殺し、電流および電圧波形の複素スカラーを用いてシステムを代数的に記述することができます。
抵抗の複素一般化はインピーダンスであり、通常はZと表記されます。インダクタの場合、 コンデンサの場合、
これで書けるようになった、 ここで、VとIはそれぞれ電圧と電流の複素スカラーであり、Zは複素インピーダンスである。
このオームの法則の形式は、Rの代わりにZを用いることで、より単純な形式を一般化したものである。Zが複素数の場合、熱を放散する役割を担うのは実数部のみである。
一般的な交流回路では、Zは周波数パラメータsによって大きく変化するため、電圧と電流の関係も同様に変化する。
定常正弦波の一般的な場合、sパラメータは次のように定義される。複雑な正弦波に対応するこのような複雑な電流波形と電圧波形の実部は、回路内の実際の正弦波電流と電圧を表しており、異なる複素スカラーによって位相が異なる場合があります。
オームの法則は、電気回路の解析で使用される基本的な方程式の 1 つです。これは、金属導体と、この動作のために特別に作られた回路部品 (抵抗器) の両方に適用されます。どちらも電気工学では広く使用されています。オームの法則に従う材料と部品は「オーム性」[ 30 ]と呼ばれ、印加されるVまたはIの値や、印加される電圧または電流が正または負の極性の DC (直流) または AC (交流) であるかどうかに関係なく、抵抗(R = V / I )の値が同じであることを意味します。
真のオームデバイスでは、印加電圧Vの値に関係なく、R = V / Iから同じ抵抗値が計算されます。つまり、V / Iの比は一定であり、電流を電圧の関数としてプロットすると、曲線は直線になります。電圧をある値Vに強制すると、その電圧V を測定電流Iで割った値はR に等しくなります。または、電流をある値Iに強制すると、測定電圧V をその電流Iで割った値もRになります。I対Vのプロットが直線であるため、抵抗Rのデバイスに印加される2 つの異なる電圧V 1とV 2の任意の組み合わせに対して、電流I 1 = V 1 / RとI 2 = V 2 / Rを生成する場合、比 ( V 1 − V 2 )/( I 1 − I 2 ) もRに等しい定数であることも真です。演算子「デルタ」(Δ) は量の差を表すために使用され、Δ V = V 1 − V 2および Δ I = I 1 − I 2と書くことができます。まとめると、抵抗Rを持つ真のオームデバイスの場合、任意の印加電圧または電流、あるいは任意の印加電圧または電流の差に対して、V / I = Δ V /Δ I = Rとなります。
しかしながら、電気回路にはオームの法則に従わない部品も存在します。つまり、電流と電圧の関係（I - V曲線）が非線形（または非オーム的）です。例として、p-n接合ダイオード（右の曲線）が挙げられます。図に示すように、ダイオードでは電流は印加電圧に対して線形に増加しません。印加電圧（ V ）の特定の値に対する電流（ I ）の値は曲線から求めることができますが、オームの法則からは求めることができません。これは、「抵抗」の値が印加電圧の関数として一定ではないためです。さらに、電流は印加電圧が正の場合にのみ大きく増加し、負の場合は増加しません。非線形曲線上の特定の点におけるV / Iの比は、静的抵抗、弦抵抗、またはDC抵抗と呼ばれることがありますが[ 31 ] [ 32 ]、図に示すように、非線形曲線上の特定の点によって、全V/全Iの値は変化します。これは、曲線上の特定の点における「直流抵抗」V/Iが、曲線上の同じ点を中心とするピーク振幅ΔVボルトまたはΔIアンペアの交流信号を印加してΔV/ΔIを測定することによって決定される値とは異なることを意味します。ただし、一部のダイオードアプリケーションでは、デバイスに印加される交流信号が小さいため、動的抵抗、小信号抵抗、または増分抵抗の観点から回路を解析することが可能です。これは、電圧の平均値（直流動作点）におけるV - I曲線の傾きの逆数（つまり、電圧に対する電流の微分値の逆数）として定義されます。十分に小さな信号の場合、動的抵抗により、オームの法則の小信号抵抗は、直流動作点におけるV - I曲線に接線方向に引かれた直線の傾きの逆数として概算できます。[ 33 ]
オームの法則は、「ある状態にある導体の場合、起電力は発生する電流に比例する」と表現されることがある。つまり、印加された起電力（または電圧）と電流の比である抵抗は、「電流の強さによって変化しない」ということである。「ある状態」という修飾語は、通常、材料の抵抗率が温度に依存するため、「一定温度」を意味すると解釈される。電流の伝導は導体のジュール熱に関係するため、ジュールの第一法則によれば、導体に電流が流れると導体の温度が変化する可能性がある。したがって、抵抗の温度依存性により、典型的な実験装置では抵抗が電流に依存することになり、この形式の法則を直接検証することは困難である。マックスウェルらは、1876年に加熱効果を制御して法則を実験的に検証するためのいくつかの方法を考案した。[ 34 ]通常、ジュール熱を防ぐために、サンプルの抵抗の測定は低電流で行われる。しかし、わずかな電流でもペルティエ効果により、最初の（2番目の）試料接点で加熱（冷却）が発生します。試料接点の温度は異なり、その差は電流に比例します。回路全体の電圧降下には、さらにゼーベック熱起電力も含まれ、これも電流に比例します。その結果、無視できるほど小さな電流でも試料抵抗に熱補正が生じます。[ 35 ]補正の大きさは試料抵抗に匹敵する可能性があります。[ 36 ]
オームの原理は、電圧差の影響を受けた電気導体における電荷の流れ（すなわち電流）を予測するものであり、ジャン＝バティスト＝ジョゼフ・フーリエの原理は、温度差の影響を受けた熱伝導体における熱の流れを予測するものである。
同じ方程式は両方の現象を記述しますが、方程式の変数は2つのケースで異なる意味を持ちます。具体的には、温度（駆動力）と熱流束（駆動される「量」、つまり熱エネルギーの流れの速度）を変数とする熱伝導（フーリエ）問題を解くと、電位（駆動力）と電流（駆動される「量」、つまり電荷の流れの速度）を変数とする類似の電気伝導（オーム）問題も解くことになります。[ 37 ]
フーリエの研究の基礎は、熱伝導率に関する彼の明確な概念と定義にあった。彼は、他の条件がすべて同じであれば、熱流束は温度勾配に厳密に比例すると仮定した。小さな温度勾配の場合には確かにこの仮定は正しいが、実際の物質（例えば、熱伝導率が温度の関数である物質）が大きな温度勾配にさらされると、厳密な比例関係は失われる。
オームの法則にも同様の仮定が用いられている。すなわち、他の条件が同じであれば、各点における電流の強さは電位勾配に比例するというものである。電流が勾配に比例するという仮定の正確さは、現代の測定方法を用いれば、熱の場合よりも電気の場合の方が容易に検証できる。
上記の形式のオームの法則は、電圧、電流、抵抗が「巨視的」レベル、つまり一般的には電気回路の回路要素としてどのように相互に関連しているかを記述するため、電気/電子工学の分野で非常に有用な方程式です。微視的レベルで物質の電気的特性を研究する物理学者は、密接に関連した、より一般的なベクトル方程式を使用します。これは、オームの法則の V、I、Rスカラー変数と密接に関連している変数を持ち、それぞれが導体内の位置の関数である、オームの法則とも呼ばれることがあります。物理学者は、オームの法則のこの連続体形式をよく使用します。[ 38 ]
ここで、Eはボルト毎メートル単位の電界ベクトル（オームの法則のVに相当し、単位はボルト）、 Jはアンペア毎単位面積単位の電流密度ベクトル（オームの法則のIに相当し、単位はアンペア）、ρ " rho " は抵抗率（オーム・メートル単位、単位はオームの法則のRに相当）です。上記の式は、 J = σ Eとも表記されます[ 39 ]。ここで、σ " sigma " は導電率であり、 ρの逆数です。
2点間の電圧は次のように定義されます。[ 40 ] と電場ベクトルEの積分に沿った経路要素。印加された電場Eが均一で、図に示すように導体の長さに沿って方向付けられている場合、電圧 V を電場と逆方向という通常の慣例に従って定義し (図を参照)、電圧 V が導体の長さに沿って差動的に測定されることを理解すれば Δ 記号を省略できるため、上記のベクトル方程式は次のスカラー方程式に簡略化されます。
E場はワイヤの長さ方向に均一であるため、均一な抵抗率ρを持つ導体の場合、電流密度Jも任意の断面積で均一であり、ワイヤの長さ方向に配向されるため、次のように書くことができます。[ 41 ]
上記の2つの結果（それぞれEとJについて）を、このセクションの冒頭に示した連続体形式に代入すると、次のようになります。
均一導体の電気抵抗は、抵抗率を用いて次のように表される。[ 41 ] ここで、ℓは導体の長さ（SI単位はメートル）、aは断面積（円形ワイヤの場合、rが半径であればa = πr² ）（単位は平方メートル）、ρは抵抗率（単位はオームメートル）である。
上記の式からRをその前の式に代入すると、導体の長さに沿って均一な電場（および均一な電流密度）が存在する場合のオームの法則の連続体形式は、より馴染みのある形式に簡略化されます。
熱運動が十分に低く、周期構造からのずれがない完全な結晶格子は抵抗を持たないが、[ 42 ]実際の金属には結晶学的欠陥、不純物、複数の同位体、原子の熱運動がある。電子はこれらすべてから散乱され、その結果、流れに対する抵抗が生じる。
オームの法則のより複雑な一般化された形式は、物質の性質、特にその電子構造を研究する凝縮系物理学において重要である。大まかに言えば、それらは構成方程式と輸送係数理論の分野に属する。
外部磁場Bが存在し、導体が静止状態ではなく速度vで移動している場合、電荷キャリアに ローレンツ力によって誘起される電流を考慮するために、追加の項を加える必要がある。
運動する導体の静止系では、 v = 0なのでこの項は消えます。静止系における電場は実験室系における電場Eと異なるため、矛盾はありません。E ′ = E + v × Bです。電場と磁場は相対的な関係にあります。ローレンツ変換を参照してください。
印加電圧または電界が時間的に変化するため電流Jが交流となる場合、自己インダクタンスを考慮するために抵抗にリアクタンスを加える必要があります（電気インピーダンスを参照）。周波数が高い場合や導体がコイル状になっている場合は、リアクタンスが大きくなる可能性があります。
プラズマのような導電性流体でも同様の効果が見られます。速度で移動する流体を考えてみましょう。磁場の中で相対運動によって電場が発生する帯電粒子に電気力を及ぼし、電流を発生させる電子ガスの運動方程式（数密度は）は次のように書かれています。
どこ、そしてはそれぞれ電子の電荷、質量、速度である。また、は、速度場を持つイオンと電子の衝突頻度である。電子はイオンに比べて質量が非常に小さいので、上記の式の左辺を無視して次のように書くことができます。
ここで電流密度の定義を使用し、またこれは電気伝導率です。この式は、次のように等価的に記述することもできます。 どこは電気抵抗率です。また、次のように表記することも一般的です。の代わりにこれは、磁気拡散率の定義に使用される表記法と同じであるため、混乱を招く可能性があります。。
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=IR オームの法則。