位相平面

より一般的には、右辺の係数を行列形式で表し、行列式で与えられる固有値λを用いて解く。

${\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}-\lambda \mathbf {I} \right)=0}$

および固有ベクトル：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$

固有値は指数成分のべき乗を表し、固有ベクトルは係数です。解を代数形式で記述すると、指数項の基本乗法因子を表します。固有ベクトルは一意ではないため、このようにして得られたすべての解には、未定の定数c ₁、c ₂、 …、c _nが含まれます。

一般的な解決策は次のとおりです。

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}}c_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\begin{bmatrix}k_{3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.}$

ここで、λ ₁とλ ₂は固有値であり、( k ₁ , k ₂ ) 、( k ₃ , k ₄ ) は基本固有ベクトルです。定数c ₁とc ₂は固有ベクトルの非一意性を表すものであり、システムの初期条件が与えられない限り解くことはできません。

上記の行列式から、次の特性多項式が得られます。

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+D)\lambda +(AD-BC)=0}$

これは次の形式の二次方程式です。

${\displaystyle \lambda ^{2}-p\lambda +q=0}$

どこ$${\displaystyle p=A+D=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\,,}$$（「tr」はトレースを表す）$${\displaystyle q=AD-BC=\det(\mathbf {A} )\,.}$$

固有値の明示的な解は、二次方程式の解の公式によって与えられる。

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}(p\pm {\sqrt {\Delta }})\,}$

どこ$${\displaystyle \Delta =p^{2}-4q\,.}$$

固有ベクトルと節点は位相経路の形状を決定し、次に示すように、力学系の解を視覚的に解釈する。

まず、位相平面は、2つの固有ベクトルを表す直線（システムがこれらの直線に向かって収束するか、またはこれらの直線から離れて発散する安定状態を表す）を描画することによって設定されます。次に、方向場の破線の代わりに実線を使用して位相平面がプロットされます。固有値の符号は、位相平面の挙動を示します。

• 符号が反対の場合、固有ベクトルの交点は鞍点となる。
• 両方の符号が正の場合、固有ベクトルはシステムがそこから逸脱する安定した状態を表し、交点は不安定なノードになります。
• 両方の符号が負の場合、固有ベクトルはシステムが収束する安定した状態を表し、交点は安定ノードになります。

上記は、微分方程式の解における指数項の挙動を思い出すことで視覚的に理解できる。

この例では、実数で独立した固有値の場合のみを扱います。実数で重複する固有値の場合は、係数行列を未知ベクトルと最初の固有ベクトルを用いて解き、2×2連立方程式の2番目の解を求める必要があります。ただし、行列が対称行列の場合は、直交固有ベクトルを用いて2番目の解を求めることができます。

複素固有値と固有ベクトルは、正弦関数、余弦関数、指数関数といった形で解を生成します。この状況における単純な点の1つは、システムの完全な解集合を生成するために、固有値と固有ベクトルのそれぞれ1つずつしか必要としないということです。