小さな制御特性

応用数学では、非線形制御理論において、次の形式の非線形システム${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}$は、すべてのに対して、小さな制御特性を満たすと言われます。${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle \delta >0}$すべてに対して${\displaystyle \|x\|<\delta }$存在する${\displaystyle \|u\|<\varepsilon }$そのため、その点においてシステムのリアプノフ関数の時間微分は負定値となる。

言い換えれば、制御入力が任意に小さい場合でも、そのような入力によって漸近的に安定化可能な、システムの原点に十分近い初期構成を見つけることができます。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

システムには以下が含まれます。

• 状態x：現在の位置（位置、速度、角度など）
• コントロール：操作方法（手を動かす、モーターを調整する、ハンドルを回すなど）

方程式${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}$、これは単に「システムが時間とともにどのように変化するかは、現在の状態 x と制御入力 u に依存する」という意味です。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

この場合、リアプノフ関数はエネルギーや目標からの距離のような役割を果たします。負の定値微分は、目標点以外ではエネルギーが減少していることを意味し、システムは必ず平衡点に収束します。

簡単に言うと、微小制御特性とは、どれほど小さな制御入力であっても、平衡点の近傍には、その小さな制御でシステムを安定させるのに十分な領域が存在するということを意味します。

鉛筆をバランスよく立てることを想像してみてください。

鉛筆が次の状態である場合：

• 完全に直立している→制御は不要
• わずかに傾いている → 微調整でうまくいく
• 危うく転びそうになる → 大幅な修正が必要

小さな制御特性とは、ほぼ直立に近い状態から始めれば、非常に小さな修正を加えるだけで安定させることができるという性質のことである。