制御リアプノフ関数

制御理論において、制御リアプノフ関数（CLF）^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}はリアプノフ関数の概念を拡張したものである。 $V(x)$ 制御入力を持つシステムに対して。通常のリアプノフ関数は、動的システムが（リアプノフ）安定であるか、（より厳密には）漸近安定であるかをテストするために使用されます。リアプノフ安定性とは、システムが状態から開始する場合、 $x\neq 0$ ある領域Dにおいて、状態はD内にとどまります。漸近安定性のためには、状態はに収束することも必要です。 $x=0$ 制御リアプノフ関数は、システムが漸近的に安定化可能かどうか、つまり任意の状態xに対して制御が存在するかどうかをテストするために使用されます。 $u(x,t)$ 制御uを適用することで、システムを漸近的にゼロ状態にすることができる。

制御リアプノフ関数の理論と応用は、1980年代から1990年代にかけて、ズヴィ・アートスタインとエドゥアルド・D・ソンタグによって開発された。

意味

入力を持つ自律的な動的システムを考える

どこ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ は状態ベクトルであり、 $\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$ は制御ベクトルです。私たちの目標はシステムを平衡状態に導くことだとしましょう。 $x_{*}\in \mathbb {R} ^{n}$ ある領域内のすべての初期状態から $\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ 一般性を失うことなく、均衡点が $x_{*}=0$ （均衡状態の場合） $x_{*}\neq 0$ （変数変換によって原点に移動できる）。

定義。制御リアプノフ関数（CLF）とは、関数である。 $V:D\to \mathbb {R}$ 連続的に微分可能で、正定値（つまり、 $V(x)$ 全ての人にとってプラスになる $x\in D$ ただし、 $x=0$ （ゼロの場合）であり、すべての $x\in \mathbb {R} ^{n}(x\neq 0),$ 存在する $u\in \mathbb {R} ^{m}$ そのため

{\dot {V}}(x,u):=\langle \nabla V(x),f(x,u)\rangle <0,

どこ $\langle u,v\rangle$ 内積を表す $u,v\in \mathbb {R} ^{n}$ 。

最後の条件が重要な条件です。つまり、各状態xに対して、「エネルギー」Vを減少させる制御uを見つけることができるということです。直感的に言えば、各状態において常にエネルギーを減少させる方法を見つけることができれば、最終的にはエネルギーを漸近的にゼロに近づけることができ、つまりシステムを停止させることができるはずです。これは、アートスタインの定理によって厳密に証明されています。

一部の結果は、制御アフィンシステム、すなわち以下の形式の制御システムにのみ適用されます。

どこ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ そして $g_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ のために $i=1,\dots ,m$ 。

定理

エドゥアルド・ソンタグは、与えられた制御システムに対して、原点が漸近的に安定化可能な場合に限り、連続なCLFが存在することを示した。^{[ 5 ]}その後、フランシス・H・クラーク、ユーリ・レディヤエフ、エドゥアルド・ソンタグ、AI・スボティンによって、漸近的に制御可能なシステムはすべて、（一般に不連続な）フィードバックによって安定化できることが示された。^{[ 6 ]} アートスタインは、動的システム（2）が微分可能な制御リアプノフ関数を持つのは、正則な安定化フィードバックu（x）が存在する場合に限ることを証明した。

安定化入力の構築

与えられたシステムに対して制御リアプノフ関数を見つけるのはしばしば困難ですが、もし見つかれば、フィードバック安定化問題は大幅に簡略化されます。制御アフィンシステム（2）の場合、ソンタグの公式（またはソンタグの普遍公式）はフィードバック法則を与えます。 $k:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ CLFの導関数を用いて直接表す。^{[ 4 ]}^：式5.56単一入力システムの特殊な場合 $(m=1)$ ソンタグの公式は次のように書かれている。

k(x)={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {L_{f}V(x)+{\sqrt {\left[L_{f}V(x)\right]^{2}+\left[L_{g}V(x)\right]^{4}}}}{L_{g}V(x)}}&{\text{ if }}L_{g}V(x)\neq 0\\0&{\text{ if }}L_{g}V(x)=0\end{cases}}

どこ $L_{f}V(x):=\langle \nabla V(x),f(x)\rangle$ そして $L_{g}V(x):=\langle \nabla V(x),g(x)\rangle$ は、 $V$ 平行 $f$ そして $g$ それぞれ。CLFが $V$ 小さな制御特性を満たし、制御法則 $k$ 連続的である。

一般的な非線形システム（1）の場合、入力は $u$ 静的非線形計画問題を解くことで見つけることができる

u^{*}(x)={\underset {u}{\operatorname {arg\,min} }}\nabla V(x)\cdot f(x,u)

各州について $x$ 。

例

以下に、リアプノフ候補関数を制御問題に適用した典型的な例を示します。

ばね硬化と位置依存質量を持つ質量-ばね-ダンパーシステムである非線形システムを考える。

m(1+q^{2}){\ddot {q}}+b{\dot {q}}+K_{0}q+K_{1}q^{3}=u

望ましい状態が与えられた場合、 $q_{d}$ 、実際の状態、 $q$ 、エラーあり、 $e=q_{d}-q$ 関数を定義する $r$ として

r={\dot {e}}+\alpha e

コントロール・リアプノフ候補は

r\mapsto V(r):={\frac {1}{2}}r^{2}

これは全ての人にとってプラスとなる。 $r\neq 0$ 。

ここで、 $V$

{\dot {V}}=r{\dot {r}}

{\dot {V}}=({\dot {e}}+\alpha e)({\ddot {e}}+\alpha {\dot {e}})

目標は、時間微分を

{\dot {V}}=-\kappa V

これは、グローバルに指数的に安定しています。 $V$ は全体的に正定値である（実際そうである）。

したがって、私たちは ${\dot {V}}$ 、

({\ddot {e}}+\alpha {\dot {e}})=({\ddot {q}}_{d}-{\ddot {q}}+\alpha {\dot {e}})

要件を満たす

({\ddot {q}}_{d}-{\ddot {q}}+\alpha {\dot {e}})=-{\frac {\kappa }{2}}({\dot {e}}+\alpha e)

ダイナミクスの置換により、 ${\ddot {q}}$ 与える

\left({\ddot {q}}_{d}-{\frac {u-K_{0}q-K_{1}q^{3}-b{\dot {q}}}{m(1+q^{2})}}+\alpha {\dot {e}}\right)=-{\frac {\kappa }{2}}({\dot {e}}+\alpha e)

解決する $u$ 制御法則が得られる

u=m(1+q^{2})\left({\ddot {q}}_{d}+\alpha {\dot {e}}+{\frac {\kappa }{2}}r\right)+K_{0}q+K_{1}q^{3}+b{\dot {q}}

と $\kappa$ そして $\alpha$ 両方ともゼロより大きい、調整可能なパラメータ

この制御法則は、時間微分に代入すると予想どおりグローバルな指数安定性を保証する。

{\dot {V}}=-\kappa V

これは線形1階微分方程式であり、解は

V=V(0)\exp(-\kappa t)

したがって、エラーとエラー率については、 $V={\frac {1}{2}}({\dot {e}}+\alpha e)^{2}$ 指数関数的にゼロに減衰する。

この結果から特定の応答を調整したい場合は、導出した解に代入し直す必要があります。 $V$ そして解く $e$ これは読者への演習課題とするが、解決策の最初の数ステップは以下のとおりである。

r{\dot {r}}=-{\frac {\kappa }{2}}r^{2}

{\dot {r}}=-{\frac {\kappa }{2}}r

r=r(0)\exp \left(-{\frac {\kappa }{2}}t\right)

{\dot {e}}+\alpha e=({\dot {e}}(0)+\alpha e(0))\exp \left(-{\frac {\kappa }{2}}t\right)

これは、任意の線形微分方程式の解法を用いて解くことができる。

参考文献

↑イシドリ・A. (1995)。非線形制御システム。スプリンガー。ISBN 978-3-540-19916-8。
↑フリーマン、ランディ A.、ペタル V. ココトヴィッチ (2008)。「ロバスト制御リアプノフ関数」。ロバスト非線形制御設計（図解、再版）。ビルクハウザー。pp. 33–63。doi : 10.1007 / 978-0-8176-4759-9_3。ISBN 978-0-8176-4758-22009年3月4日に取得。
↑ハシル、ハッサン (2015).非線形制御. ピアソン. ISBN 9780133499261。
1 2 Sontag, Eduardo (1998). Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition (PDF) . Springer. ISBN 978-0-387-98489-6。
↑ Sontag, ED (1983). "漸近可制御性のリアプノフ型特性". SIAM J. Control Optim . 21 (3): 462–471 . doi : 10.1137/0321028 . S2CID 450209 .
↑ Clarke, FH; Ledyaev, YS; Sontag, ED; Subbotin, AI (1997). "漸近可制御性はフィードバック安定化を意味する". IEEE Trans. Autom. Control . 42 (10): 1394– 1407. doi : 10.1109/9.633828 .

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[3] ハシル、ハッサン (2015).非線形制御. ピアソン. ISBN 9780133499261。

[Sontag_(1998)-4] 1 2 Sontag, Eduardo (1998). Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition (PDF) . Springer. ISBN 978-0-387-98489-6。

[5] Sontag, ED (1983). "漸近可制御性のリアプノフ型特性". SIAM J. Control Optim . 21 (3): 462–471 . doi : 10.1137/0321028 . S2CID 450209 .

[6] Clarke, FH; Ledyaev, YS; Sontag, ED; Subbotin, AI (1997). "漸近可制御性はフィードバック安定化を意味する". IEEE Trans. Autom. Control . 42 (10): 1394– 1407. doi : 10.1109/9.633828 .

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意味

定理

安定化入力の構築

例

関連項目

参考文献