予期せぬ吊り下げパラドックス

予期せぬ絞首刑のパラドックス または抜き打ちテストのパラドックスは、予期せぬ時期に起こると告げられた将来の出来事のタイミングに関する人の予想に関するパラドックスです。このパラドックスは、囚人の絞首刑や抜き打ちの学校テストなど、さまざまな形で応用されています。このパラドックスは、1963 年 3 月のScientific American誌のマーティンガードナーの「数学ゲーム」コラムで初めて一般に紹介されました。

その正確な性質についてはコンセンサスがなく、その結果として標準的な解決法も合意されていない。^[1] 論理的分析は「真理値」に焦点を当てており、たとえば自己言及のパラドックスとして特定している。パラドックスの認識論的研究は、代わりに知識に関する問題に焦点を当てている。^[2]たとえば、ある解釈では、これをムーアのパラドックスに還元している。^[3]これを哲学にとって「重要な問題」と見なす人もいる。^[4]

説明

このパラドックスは次のように説明されている。^[5]

裁判官は死刑囚に対し、翌週のある平日の正午に絞首刑に処されるが、その処刑は囚人にとってはサプライズとなると告げる。その日の正午に死刑執行人が独房のドアをノックするまで、絞首刑の日がいつになるかは囚人には分からない。
判決を熟考した囚人は、絞首刑を逃れられるだろうという結論を導き出した。彼の推論はいくつかの部分に分かれている。彼はまず、「突然の絞首刑」が金曜日にはあり得ないと結論づける。木曜日までに絞首刑に処せられなければ、あと 1 日しか残っていないので、金曜日に絞首刑に処せられても驚きではないからだ。裁判官の判決では、絞首刑は彼にとって驚きとなると規定されていたため、金曜日にはあり得ないと結論づける。
そして、金曜日はすでに排除されており、水曜日の正午までに絞首刑に処せられなければ、木曜日に絞首刑が行われるはずなので、木曜日に突然絞首刑が行われることもないだろうと推論する。同様の推論により、水曜日、火曜日、月曜日にも絞首刑が行われることはないと結論付ける。絞首刑は絶対に行われないと確信し、喜びにあふれて独房に戻る。
翌週、水曜日の正午に死刑執行人が囚人のドアをノックした。それは、上記すべてにもかかわらず、死刑執行人にとっては全くの驚きだった。裁判官が言ったことはすべて現実になったのだ。

このパラドックスの他のバージョンでは、死刑判決の代わりに、サプライズ消防訓練、試験、クイズ、A/Bテストの開始、ドアの後ろにライオン、またはプロポーズが行われる。^[1]

論理学派

裁判官の発表を形式論理的に定式化することは、「驚き」という言葉の意味が曖昧なため困難である。^[1]定式化の試みとしては、次のようなものがある。

囚人は来週絞首刑に処せられるが、絞首刑が来週中に行われるという仮定から、前夜に（絞首刑の）日付を推測することはできない（A）。^[1]

この告知を受けて、囚人は絞首刑が週の最終日に行われないことを推論できる。しかし、週の最後から2番目の日を除外する議論の次の段階を再現するためには、囚人は、(A)の声明から絞首刑が最終日に行われないことを推論できることは、最後から2番目の日に絞首刑が行われても不思議ではないことを意味していると主張しなければならない。^[1]しかし、「驚くべき」の意味は、 (A)の声明から推論できないことではなく、週中に絞首刑が行われるという仮定から 推論できないことに限定されているため、議論は阻止される。^[1]

これは、実際にはより良い定式化は次のようになることを示唆しています。

囚人は来週絞首刑に処せられるが、その日付は前夜にこの文を公理として用いて推測することはできない（B）。^[1]

フィッチは、この文が形式論理で表現できることを示した。^[6]週の長さをわずか2日に短縮するパラドックスの同等の形式を使用して、自己言及はすべての状況で不当ではないが、この場合は文が自己矛盾しているために不当であることを証明した。

認識論学派

囚人が将来何を知ることになるかについての暗黙の仮定と、知識についてのいくつかのもっともらしい仮定が矛盾していることを示すさまざまな認識論的定式化が提案されている。

チョウ（1998）^[7]は、 2日間のうちの1日に突然の絞首刑が行われるというパラドックスのバージョンについて詳細な分析を行っています。チョウの分析を予期せぬ絞首刑のケースに当てはめてみると（ここでも、わかりやすくするために1週間を2日間に短縮しています）、裁判官の発表は次の3つのことを確認しているように思われます。

S1: 絞首刑は月曜日か火曜日に行われます。
S2: 絞首刑が月曜日に行われる場合、囚人は日曜日の夕方にはそれが月曜日に行われることを知りません。
S3: 絞首刑が火曜日に行われる場合、囚人は月曜日の夜には絞首刑が火曜日に行われることを知りません。

最初のステップとして、囚人は、火曜日に絞首刑が行われるというシナリオは矛盾を生じるため不可能であると推論する。つまり、一方では、S3により、囚人は火曜日の絞首刑が月曜日の夜に行われることを予測することはできないが、他方では、S1と消去法によって、囚人は火曜日の絞首刑が月曜日の夜に行われることを予測することができる。

チョウの分析は、囚人の推論の微妙な欠陥を指摘している。不可能なのは火曜日の絞首刑ではない。むしろ、囚人が月曜日の夜に裁判官の主張S1、S2、S3がすべて真実であると知っているにもかかわらず、火曜日に絞首刑が行われる状況が不可能なのだ。

パラドックスを生じさせる囚人の推論は、月曜日の夜には（まだ生きているなら）S1、S2、S3が真実であると知るだろうと暗黙のうちに想定しているため、成り立つ。この想定は、いくつかの異なる根拠から不当であるように思われる。裁判官が何かが真実であると宣言したとしても、それが真実であると囚人が知る十分な根拠にはなり得ないと主張することもできる。さらに、たとえ囚人が現時点で何かが真実であると知っていたとしても、未知の心理的要因によって将来この知識が消去される可能性がある。最後に、チョウは、囚人が真実であると「知っている」はずの陳述は、囚人が特定のことを「知る」ことができないという陳述であるため、予期せぬ吊り下げパラドックスはムーアのパラドックスのより複雑なバージョンにすぎないと信じる理由があると示唆している。適切な類推は、1週間の長さを1日に短縮することで得られる。すると裁判官の判決はこうなる。「あなたは明日絞首刑に処せられるが、あなたはそれを知らないのだ。」

参照

参考文献

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さらに読む

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Levy, Ken (2009). 「抜き打ち試験のパラドックスの解決法」. Southern Journal of Philosophy . 47 (2): 131–158. CiteSeerX 10.1.1.1027.1486 . doi :10.1111/j.2041-6962.2009.tb00088.x. SSRN 1435806. 2017年3月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年1月2日閲覧。著者は、抜き打ち試験（または予期せぬ絞首刑）は実際に学期末に行われる可能性があり、したがって、このパラドックスを引き起こす最初の前提は、一見すると単純に間違っていると主張しています。
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外部リンク

「抜き打ち検査のパラドックスと第 2 不完全性定理」、Shira Kritchman とRan Raz著、 ams.orgより
「抜き打ち試験のパラドックス：動的認識論的論理におけるいわゆる2つの解決策のレビュー」^{[永久リンク切れ‍ ]} Alexandru Marcoci、アムステルダム大学理学部
「ジェスロ・オン・デス・ロウ」：このパラドックスに基づいた曲で、サイモン・ベックが作曲し演奏した。

[Chow-1] Chow, TY (1998). 「抜き打ち試験、あるいは予期せぬ吊り下げパラドックス」アメリカ数学月刊誌. 105 (1): 41–51. arXiv : math/9903160 . doi :10.2307/2589525. JSTOR 2589525.

[2] スタンフォード百科事典における、他の認識論的パラドックスと併せての吊り下げパラドックスに関する議論

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[4] ソレンセン、RA（1988）。ブラインドスポット。オックスフォード：クラレンドンプレス。ISBN 978-0198249818。

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[6] Fitch, F. (1964). 「予測パラドックスのゲーデル的定式化」Am. Phil. Q. 1 ( 2): 161–164. JSTOR 20009132.

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