戦略的優位性

ゲーム理論では、優位戦略とは、対戦相手がどのようにプレイするかに関係なく、あるプレイヤーにとって他のどの戦略よりも優れた戦略です。非常に単純なゲームの中には、優位性を利用して解決できるものもあります。

プレイヤーは 2 つの戦略 A と B を比較して、どちらが優れているかを判断できます。比較の結果は次のいずれかになります。

• B はAを厳密に支配します(≥)。つまり、他のプレイヤーが何をしても、B を選択すると A を選択するよりも常に良い結果が得られます。
• B がA を弱く支配する(≤) : 他のプレイヤーが何をしても、B を選択すると常に A を選択した場合と同等以上の結果が得られ、対戦相手のアクションのうち少なくとも 1 つに対して B が A よりも良い結果をもたらすものが存在する。(B が A を厳密に支配する場合、B は A を弱く支配することに注意してください。したがって、「B が A を支配する」は「B が A を弱く支配する」と同義です。) ^[1]
• B はA によって弱く支配されています。つまり、対戦相手の行動のうち少なくとも 1 セットでは B の方が A よりも悪い結果をもたらしますが、対戦相手の行動のその他のセットでは A に B と同じ利益がもたらされます (戦略 A は B を弱く支配します)。
• B はA によって完全に支配されています。つまり、他のプレイヤーが何をしても、B を選択すると常に A を選択するよりも悪い結果になります。(戦略 A は B を完全に支配します)。
• A も B も他方を支配しません。B と A は同等ではなく、B が A を支配したり、A に支配されたりすることはありません。対戦相手がどのようにプレイするかによって、A を選択する方が良い場合もあれば、B を選択する方が良い場合もあります。たとえば、じゃんけんでは、B は「石を投げる」のに対し、A は「ハサミを投げる」ことになります。

この概念は、2 つの戦略の比較を超えて一般化できます。

• 戦略 B が他のすべての可能な戦略を厳密に支配する場合、戦略 B は厳密に支配的です。
• 戦略 B が他のすべての可能な戦略を弱く支配する場合、戦略 B は弱く支配的です。
• 戦略 B を厳密に支配する他の戦略が存在する場合、戦略 B は厳密に支配されます。
• 戦略 B を弱く支配する他の戦略が存在する場合、戦略 B は弱く支配されます。

戦略:ゲームにおけるプレイヤーの完全な偶発的計画。完全な偶発的計画は、プレイヤーの行動の完全な仕様であり、プレイヤーがあらゆる可能な決定ポイントで取る各アクションを記述します。情報セットは、プレイヤーが決定を下さなければならないゲーム内のポイントを表すため、プレイヤーの戦略は、各情報セットでそのプレイヤーが何をするかを記述します。^[2]

合理性:各プレイヤーは、さまざまな結果の確率を与えられた場合に、自分が最も好む結果をもたらすように行動するという仮定。フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、これらの好みが特定の条件を満たす場合、これは数学的に報酬を最大化することと同等であることを示した。報酬を最大化するわかりやすい例は金銭的利益であるが、ゲーム理論分析の目的上、この報酬は、現金報酬、労力や不快感の最小化、正義の促進など、あらゆる望ましい結果を取ることができる。これらはすべて、プレイヤーの全体的な「効用」を蓄積するものとしてモデル化できる。合理性の仮定は、プレイヤーは常に、さまざまな可能性のある結果の最良から最悪への順序付けを最もよく満たす方法で行動する、と述べている。^[2]

共通知識：各プレイヤーはゲームに関する知識を持ち、各行動に関連するルールと報酬を知っており、他のすべてのプレイヤーも同じレベルの理解を持っていることを認識しているという前提。これは、合理性の仮定に裏打ちされた他のプレイヤーの行動に対する価値判断を、行動を選択する際に考慮に入れることを可能にする前提です。 ^[2]

ゲームで 1 人のプレイヤーに絶対優位戦略が存在する場合、そのプレイヤーはゲームのナッシュ均衡のそれぞれでその戦略を実行します。両方のプレイヤーが絶対優位戦略を持っている場合、ゲームには「優位戦略均衡」と呼ばれる唯一のナッシュ均衡があります。ただし、そのナッシュ均衡は必ずしも「効率的」ではありません。つまり、両方のプレイヤーにとってより良い、均衡ではないゲーム結果が存在する可能性があります。これを説明するために使用される古典的なゲームは、囚人のジレンマです。

厳密に支配された戦略はナッシュ均衡の一部にはなり得ないため、どのプレイヤーにとってもその戦略を実行するのは不合理です。一方、弱く支配された戦略はナッシュ均衡の一部となる場合があります。たとえば、右図の ペイオフ マトリックスを考えてみましょう。

戦略C は戦略D を弱支配します。 C をプレイする場合を考えてみましょう。対戦相手がC をプレイすれば1 を得、対戦相手がD をプレイすれば0 を得ます。これを、どちらにしても 0 を得る Dと比べてみてください。1 つのケースでは、 DではなくC をプレイすることで成績が良くなり、成績が悪くなることは決してないため、C はD を弱支配します。それにもかかわらず、⁠ ⁠はナッシュ均衡です。両方のプレイヤーがD を選択したとします。どちらのプレイヤーも、一方的に逸脱しても成績は良くなりません。プレイヤーがC のプレイに切り替えても、依然として 0 を得ます。これは、ナッシュ均衡の要件を満たしています。両方のプレイヤーが C を選択したとします。どちらのプレイヤーも、一方的に逸脱しても成績は良くなりません。プレイヤーが D のプレイに切り替えても、依然として 0 を得ます。これも、ナッシュ均衡の要件を満たしています。 ${\displaystyle (D,D)}$

支配戦略の反復的除去 (または削除、除去) (IESDS、IDSDS、IRSDS とも呼ばれる) は、支配戦略を反復的に除去するゲーム解決の一般的な手法の 1 つです。最初のステップでは、すべての支配戦略が各プレイヤーの戦略空間から除去されます。これは、合理的なプレイヤーがこれらの戦略をプレイすることはないからです。その結果、新しい、より小さなゲームが生まれます。以前は支配されていなかった戦略も、より小さなゲームで支配される可能性があります。最初のステップが繰り返され、さらに小さな新しいゲームが作られる、というように続きます。

このプロセスは、プレイヤー間の合理性が共通の知識であると仮定されているため有効です。つまり、各プレイヤーは他のプレイヤーが合理的であることを知っており、各プレイヤーは他のプレイヤーが自分が他のプレイヤーが合理的であることを知っていることを知っており、これが無限に続きます (Aumann、1976 を参照)。

• 最大支配戦略
• リスク優位
• 勝利の戦略

• フーデンバーグ、ドリュー、ティロール、ジーン(1993)。ゲーム理論。MIT プレス。
• ギボンズ、ロバート（1992）。応用経済学者のためのゲーム理論。プリンストン大学出版。ISBN 0-691-00395-5。
• ギンティス、ハーバート（2000年）。『ゲーム理論の進化』プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-00943-0。
• レイトン・ブラウン、ケビン、ショーハム、ヨアブ（2008年）。『ゲーム理論のエッセンス：簡潔で学際的な入門』サンラファエル、カリフォルニア州：Morgan & Claypool Publishers。ISBN 978-1-59829-593-1。88 ページの数学入門書。セクション 3.3 を参照してください。多くの大学で無料でオンラインで入手できます。
• ラポポート、A.（1966）。二人ゲーム理論：基本概念。ミシガン大学出版局。
• ジム・ラトリフのゲーム理論コース：戦略的優位性
• ショーハム、ヨアブ、レイトンブラウン、ケビン (2009)。マルチエージェントシステム：アルゴリズム、ゲーム理論、論理的基礎。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-89943-7。計算の観点からの包括的なリファレンス。セクション 3.4.3、4.5 を参照してください。オンラインで無料でダウンロードできます。
• 「混合戦略における厳密な優位性 - ゲーム理論 101」。gametheory101.com。2021 年 12 月 17 日閲覧。
• ワトソン・ジョエル。戦略：ゲーム理論入門。第3版。WW Norton & Company 2013年。

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