囚人３人の問題

3人の囚人の問題は、 1959年にサイエンティフィック・アメリカンのマーティン・ガードナーの「数学ゲーム」コラムに登場した。^[¹^]^[²^]これは、車とヤギをそれぞれ自由と処刑に置き換えたモンティ・ホール問題と数学的に同等である。^[³^]

問題

囚人A、B、Cの3人はそれぞれ別の独房に入れられ、死刑を宣告されている。知事はそのうちの1人を無作為に選び、恩赦を与えることにした。刑務所長は誰が恩赦されるかを知っているが、それを伝えることは許されていない。囚人Aは、処刑される2人のうちの1人の身元を教えてほしいと刑務所長に懇願する。「もしBが恩赦されるなら、Cの名前を教えてください。もしCが恩赦されるなら、Bの名前を教えてください。そして、もし私が恩赦されるなら、BかCのどちらの名前を私に教えるか、秘密裏にコインを投げて決めてください。」

看守は囚人AにBの名前を告げる。囚人Aは、自分の生存確率が1/3から1/2に上がったと信じて喜ぶ。なぜなら、生存確率は今や自分とCの間で拮抗しているからだ。囚人Aは密かにCにこのことを話す。Cは、Aの恩赦の可能性は1/3で変わっていないが、自分の可能性が2/3に上がったので喜ぶ。どちらの囚人が正しいのか？

解決

答えは、囚人Aは看守が他の囚人の名前を告げることを既に知っていたため、自分の運命に関する情報を何も得られなかったということです。囚人Aは看守から話を聞く前に、恩赦される可能性を1/3と見積もっており、これはBとCの両方と同じです。看守がBは処刑されると言ったのは、Cが恩赦される（1/3の確率）か、Aが恩赦される（1/3の確率）かのどちらかで、看守がBかCの名前を告げるために投げたコインがBを引いた（1/2の確率。したがって、Aが恩赦されるためにBの名前が告げられた確率は全体で1/2 × 1/3 = 1/6）かのどちらかです。したがって、Bが処刑されると聞いた後、Aが恩赦される可能性の推定値はCの半分になります。つまり、Bが恩赦されないことを知った今、Aが恩赦される可能性は再び1/3になりますが、Cは2/3の確率で恩赦されます。

テーブル

上記の説明は、次の表にまとめることができます。看守はAから質問を受けたため、処刑（または「恩赦なし」）の答えはBまたはCしか選べません。

所長がBは恩赦されないと答えたので、答えは2列目の「Bではない」から得られます。AとCが恩赦される確率は1対2のようです。

数式表現

電話 $A$ 、 $B$ そして $C$ 該当する囚人が恩赦される出来事、そして $b$ 看守が囚人Bが処刑されるとAに告げるという事象の場合、ベイズの定理を用いると、Aが恩赦される事後確率は次のようになる。^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {P(b|A)P(A)}{P(b|A)P(A)+P(b|B)P(B)+P(b|C)P(C)}}\\&={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}

一方、Cが恩赦を受ける確率は次のとおりである。

{\begin{aligned}P(C|b)&={\frac {P(b|C)P(C)}{P(b|A)P(A)+P(b|B)P(B)+P(b|C)P(C)}}\\&={\frac {1\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\frac {2}{3}}.\end{aligned}}

AとCを不等にする決定的な違いは、 $P(b|A)={\tfrac {1}{2}}$ しかし $P(b|C)=1$ Aが恩赦される場合、看守はAにBまたはCのどちらかが処刑されることを伝えることができ、したがって $P(b|A)={\tfrac {1}{2}}$ ;一方、Cが恩赦される場合、看守はAにBが処刑されたことしか伝えられないので、 $P(b|C)=1$ 。

直感的な説明

囚人Aが恩赦を受ける確率はわずか1/3です。BまたはCのどちらが処刑されるかを知っても、Aの恩赦の確率は変わりません。Bが処刑されると聞いた後、囚人Aは、自分が恩赦を受けられないなら、恩赦はCにしか与えられないはずだと気づきます。つまり、Cが恩赦を受ける確率は2/3です。これはモンティ・ホール問題に似ています。

考えられるケースの列挙

以下のような状況が発生する可能性があります。

Aは恩赦され、看守はBを処刑するよう命じる：1/3 × 1/2 = 1/6のケース
Aは恩赦され、看守はCの処刑を命じる：1/3 × 1/2 = 1/6のケース
Bは恩赦され、看守はCの処刑を命じる： 1/3のケース
Cは恩赦され、看守はBの処刑を命じる： 1/3のケース

看守がランダムに選択するという条件の下で、Aが恩赦される時間の 1/3 のうち、看守が B と言う確率は 1/2 であり、C と言う確率も 1/2 である。つまり、全体として、Aが恩赦される時間の1/6の確率(Aが恩赦される時間の 1/3 × 看守が B と言う時間の 1/2) で、 Aが恩赦されるため看守はBと言い、 Aが恩赦される時間の 1/6 の確率 ( Aが恩赦される時間の 1/3 ×看守がCと言う時間の1/2 )で、 Aが恩赦されるため看守は C と言うことになる。これは合計で時間の 1/3 ( 1/6 + 1/6 )がAに恩赦を与えていることになり、これは正確です。

看守がAに対してBと答える場合（全ケースの1/2）、Cが恩赦されAが処刑されるのは1/3の確率（ケース4）、Aが恩赦されるのは1/6の確率（ケース1 ）であることが明らかになった。したがって、Cの確率は（ 1/3 ） / （1/2） = 2 / 3 、 Aの確率は（1/6 ） / （1/2 ） = 1 / 3となる。

この問題の鍵は、刑務所長が恩赦を受ける囚人の名前を明かしてはならないという点にある。この条件を取り除けば、元の問題を別の形で示すことができる。この例で唯一異なる点は、囚人Aが刑務所長に他の囚人の運命（処刑される囚人を指定するわけではない）を明らかにするよう求めることである。この場合、刑務所長はコインを投げ、BとCのどちらか一方を選んで運命を明らかにする。ケースは以下のとおりである。

看守は、Aは恩赦され、Bは処刑されたと述べている（ 1/6 ）
Aは恩赦された、と看守は言う：Cは処刑された（ 1/6 ）
Bは恩赦を受けた、と所長は言う：Bは恩赦を受けた（ 1/6 ）
Bは恩赦され、Cは処刑されたと所長は言う（1/6 ）
Cは恩赦され、Bは処刑されたと所長は言う（1/6 ）
Cは恩赦を受けた、と所長は言う：Cは恩赦を受けた（ 1/6 ）

各シナリオの確率は 1/6 です。元の3人の囚人の問題は、次のように考えることができます。その問題の看守は、依然として 6 つのケースを抱えており、それぞれが 1/6 の確率で発生します。ただし、元のケースの看守は、恩赦を受けた囚人の運命を明らかにすることはできません。したがって、たとえばケース 3 では、「B が恩赦される」と言うことは選択肢ではないため、看守は代わりに「C が処刑される」と言います (ケース 4 と同じになります)。これにより、ケース 4 と 5 はそれぞれ 1/3 の確率で発生することになり、以前と同じ確率になります。

なぜこのような矛盾が生じるのか？

人々が1/2という答えを出す傾向は、影響が小さいと思われる文脈を無視する傾向によるものと考えられる。例えば、看守への質問の仕方によって答えが変わる可能性がある。これは、修正されたケースを考えることで示すことができる。 $P(A)={\frac {1}{4}},P(B)={\frac {1}{4}},P(C)={\frac {1}{2}}$ そして、問題のその他の点はすべて同じままです。^{[ 4 ]}ベイズの定理をもう一度使用すると、次のようになります。

{\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{4}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{4}}+0\times {\tfrac {1}{4}}+1\times {\tfrac {1}{2}}}}={\frac {1}{5}}.\end{aligned}}

しかし、AがBが処刑されるかどうかを単に尋ね、刑務官が「はい」と答えた場合、Aが恩赦される確率は次のようになる。

{\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {1\times {\tfrac {1}{4}}}{1\times {\tfrac {1}{4}}+0\times {\tfrac {1}{4}}+1\times {\tfrac {1}{2}}}}={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}

^{[ 4 ]}

同様の仮定として、A が事前に看守にこの情報を尋ねる計画を立てている場合がある。A が看守に何も尋ねる計画を立てておらず、看守が単に B を処刑すると告げた場合にも、上記と同様のケースが発生する。^{[ 5 ]}

もう一つ見落とされがちな前提は、看守が確率的な選択をしているという点です。 $p$ Cが処刑されるという条件の下で、看守がBを指名する条件付き確率。 $P(A|b)$ 次のように表現できます。^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {p}{p+1}}\end{aligned}}

もし $p=1$ つまり、看守が確率的な選択をしていることを考慮に入れなければ、 $P(A|b)={\frac {1}{2}}$ しかし、問題の本質は、看守がコインを投げているということである（ $p={\frac {1}{2}}$ ）、それで $P(A|b)={\frac {1}{3}}$ [ ⁵^]

ジュデア・パール（1988）はこの例の変形を用いて、信念の更新は観察された事実だけでなく、それらの事実につながった実験（つまり、質問）にも依存しなければならないことを示した。^{[ 7 ]}

参考文献

↑ガードナー、マーティン（1959年10月）。「数学ゲーム：確率と曖昧さの問題を含む問題」。サイエンティフィック・アメリカン。201（4）：174–182。doi：10.1038 /scientificamerican1059-174。
↑ガードナー、マーティン (1959)。「数学ゲーム：3人の現代数学者がレオンハルト・オイラーの有名な予想をいかにして反証したか」サイエンティフィック・アメリカン。201 (5): 188。doi : 10.1038/scientificamerican1159-181。
↑ベイリー、ハーブ (2000)。「モンティ・ホールは混合戦略を使用する」。Mathematics Magazine。73 ( 2 ) : 135–141。JSTOR 2691085 。
1 2 3下條慎介、市川慎一（1990年8月）「確率に関する直観的推論：『3人の囚人問題』の理論的および実験的分析」「. Cognition . 36 (2): 205. doi : 10.1016/0010-0277(89)90012-7 . PMID 2752704 . S2CID 45658299 .
1 2 Wechsler, Sergio; Esteves, LG; Simonis, A.; Peixoto, C. (2005 年 2 月). "無関心、中立性、および情報性: 3 人の囚人のパラドックスの一般化" . Synthese . 143 (3): 255– 272. doi : 10.1007/s11229-005-7016-1 . JSTOR 20118537 . S2CID 16773272 . 2021 年12 月 15 日取得.
↑ Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure . Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (1979年初版第3版). New York: John Wiley & Sons, Inc. Exercise 33.3, pp. 441 and 576. ISBN 0-471-00710-2MR 1324786 .
↑パール、ジュデア (1988).知能システムにおける確率的推論：もっともらしい推論のネットワーク（初版）. サンマテオ、カリフォルニア州：モーガン・カウフマン. pp. 58–60 . ISBN 978-1-55860-479-7。

さらに読む

フレデリック・モステラー著『確率論における50の難問』、28ページ、Googleブックス。
リチャード・アイザック著『確率の喜び』24ページ（Googleブックス）。

[1] ガードナー、マーティン（1959年10月）。「数学ゲーム：確率と曖昧さの問題を含む問題」。サイエンティフィック・アメリカン。201（4）：174–182。doi：10.1038 /scientificamerican1059-174。

[Gardner1959b-2] ガードナー、マーティン (1959)。「数学ゲーム：3人の現代数学者がレオンハルト・オイラーの有名な予想をいかにして反証したか」サイエンティフィック・アメリカン。201 (5): 188。doi : 10.1038/scientificamerican1159-181。

[3] ベイリー、ハーブ (2000)。「モンティ・ホールは混合戦略を使用する」。Mathematics Magazine。73 ( 2 ) : 135–141。JSTOR 2691085 。

[Shimojo-4] 1 2 3下條慎介、市川慎一（1990年8月）「確率に関する直観的推論：『3人の囚人問題』の理論的および実験的分析」「. Cognition . 36 (2): 205. doi : 10.1016/0010-0277(89)90012-7 . PMID 2752704 . S2CID 45658299 .

[Wechsler-5] 1 2 Wechsler, Sergio; Esteves, LG; Simonis, A.; Peixoto, C. (2005 年 2 月). "無関心、中立性、および情報性: 3 人の囚人のパラドックスの一般化" . Synthese . 143 (3): 255– 272. doi : 10.1007/s11229-005-7016-1 . JSTOR 20118537 . S2CID 16773272 . 2021 年12 月 15 日取得.

[6] Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure . Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (1979年初版第3版). New York: John Wiley & Sons, Inc. Exercise 33.3, pp. 441 and 576. ISBN 0-471-00710-2MR 1324786 .

[7] パール、ジュデア (1988).知能システムにおける確率的推論：もっともらしい推論のネットワーク（初版）. サンマテオ、カリフォルニア州：モーガン・カウフマン. pp. 58–60 . ISBN 978-1-55860-479-7。

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