量子ゲーム理論

量子ゲーム理論は、古典ゲーム理論を量子領域に 拡張したものです。古典ゲーム理論とは主に 3 つの点で異なります。

1. 重ね合わせた初期状態、
2. 初期状態の量子もつれ、
3. 初期状態で使用される戦略の重ね合わせ。

この理論は量子コンピューティングのような情報物理学に基づいています。

1969 年、ジョン・クラウザー、マイケル・ホーン、アブナー・シモニー、リチャード・ホルト (総称して「CHSH」と呼ばれることが多い) は、ベルの定理を証明するために使用できる実験を説明した、よく引用される論文を執筆しました。この論文の一部では、プレイヤーが量子戦略を使用することで、古典的な方法よりも勝つ可能性が高くなるゲームについて説明しています。この論文ではゲーム理論について明示的には触れられていませんが、これは量子エンタングルメントを使用してゲームを変更する方法の初期の概要です。

^{[1] 1999年、}カリフォルニア大学サンディエゴ校の数学科の教授であるデイビッド・A・マイヤー氏が、古典的なゲーム理論のゲームであるペニーのマッチングの量子バージョンを詳述した「Quantum Strategies」を初めて出版しました。量子バージョンでは、プレイヤーは量子もつれの現象を通じて量子信号にアクセスできます。^[2]

マイヤーの論文以来、量子ゲームや、古典ゲーム理論で一般的に研究されてきたゲームで量子戦略を使用する方法を研究する論文が数多く発表されています。

ゲーム中に発生する情報転送は、物理的なプロセスと見なすことができます。2 人のプレーヤーがそれぞれ 2 つの戦略を持つ古典的なゲームという最も単純なケースでは、両方のプレーヤーがビット (「0」または「1」) を使用して戦略の選択を伝えることができます。このようなゲームの一般的な例は、囚人のジレンマです。囚人の各人は協力するか、裏切るか、つまり、知識を隠すか、相手が犯罪を犯したことを明かすかを選択できます。ゲームの量子バージョンでは、ビットは、 2 つ以上の基本状態の量子重ね合わせであるキュービットに置き換えられます。2 戦略ゲームの場合、これは、重ね合わせたスピン状態を持つ電子などのエンティティを使用して物理的に実装できます。基本状態は +1/2 (プラス半分) と -1/2 (マイナス半分) です。各スピン状態は、プレーヤーが使用できる 2 つの戦略のそれぞれを表すために使用できます。電子を測定すると、電子は基本状態の 1 つに収縮し、プレーヤーが使用した戦略を伝えます。

各プレイヤーに最初に提供される量子ビットのセット（戦略の選択を伝えるために使用）は、エンタングルされている可能性があります。たとえば、エンタングルされた量子ビットのペアは、一方の量子ビットで実行される操作がもう一方の量子ビットにも影響し、ゲームの期待されるペイオフが変わることを意味します。この簡単な例として、コインがエンタングルされている Two-upコイン ゲームの量子バージョン^{[3]があります。}

ゲームにおけるプレイヤーの仕事は戦略を選択することです。ビットに関して言えば、これはプレイヤーがビットを反対の状態に「反転」するか、現在の状態をそのままにするかを選択する必要があることを意味します。量子領域に拡張すると、プレイヤーが量子ビットを新しい状態に回転させて、各基本状態の確率振幅を変更できることを意味します。量子ビットに対するこのような操作は、量子ビットの初期状態に対するユニタリ変換である必要があります。これは、統計的確率で戦略を選択する従来の手順とは異なります。

マルチプレイヤーゲームに量子情報を導入することで、従来のゲームには見られない新しいタイプの「均衡戦略」が可能になります。プレイヤーの選択の絡み合いは、プレイヤーが他のプレイヤーの裏切りから利益を得ることを防ぐことで契約の効果をもたらすことができます。^[4]

量子囚人のジレンマ

古典的囚人のジレンマは、2 人のプレイヤーが協力するか相手を裏切るかを選択するゲームです。古典的には、支配的な戦略は常に裏切りを選択することです。両方のプレイヤーが毎ターンこの戦略を選択すると、それぞれが次善の利益を確保しますが、負けることはなく、ゲームはナッシュ均衡に達したと言われます。各プレイヤーが毎ターン協力することを選択すれば両方のプレイヤーの利益が最大化されますが、これは合理的な選択ではないため、次善の解決策が支配的な結果となります。量子囚人のジレンマでは、両者が裏切ることを選択することは依然として均衡ですが、初期状態のエンタングルメントに基づいて変化する複数のナッシュ均衡が存在する可能性もあります。状態がわずかにエンタングルメントされている場合、アリスに対する特定のユニタリ操作が存在するため、ボブが毎ターン裏切りを選択した場合、アリスは実際にボブよりも多くの利益を得、その逆も同様です。このように、収益性の高い均衡には、さらに 2 つの方法で到達できます。初期状態が最もエンタングルメントされている場合は、古典的なゲームから最も大きな変化が見られます。このバージョンのゲームでは、アリスとボブはそれぞれ、裏切りのリスクなしで相互協力に等しい支払いを可能にする演算子 Q を持っています。これは、パレート最適でもあるナッシュ均衡です。^[5]

さらに、ゲームの長さが未知または無限の場合、量子版の囚人のジレンマは古典版とは大きく異なります。古典的には、無限の囚人のジレンマには定義された固定戦略はありませんが、量子版では均衡戦略を開発することが可能です。^[6]

量子ボランティアのジレンマ

ボランティアのジレンマは、ゲーム理論でよく知られているゲームで、ボランティア活動には個人的なコストがかかることを承知の上で、集団の利益のためにボランティア活動を行うかどうかを決定する際にプレイヤーが直面する葛藤をモデル化したものです。1998 年に Weesie と Franzen によって導入された重要なボランティアのジレンマの変種^[7]では、ボランティア間でのコスト分担が関係しています。このボランティアのジレンマの変種では、ボランティアがいない場合は、すべてのプレイヤーが 0 の報酬を受け取ります。少なくとも 1 人のボランティアがいる場合は、b 単位の報酬がすべてのプレイヤーに分配されます。対照的に、ボランティア活動によって発生した c 単位の合計コストは、すべてのボランティア間で均等に分割されます。古典的な混合戦略設定では、一意の対称ナッシュ均衡が存在し、ナッシュ均衡は、各プレイヤーのボランティア活動の確率を、次式で示される n 次多項式の開区間 (0,1) の一意の根に設定することで得られることが示されています。${\displaystyle g_{n}}$

${\displaystyle g_{n}(\alpha)=(1-\alpha)^{n-1}(2n\alpha +1-\alpha)-1.}$

2024年には、b=2、c=1の古典的なボランティアのジレンマの量子版が導入され、プレーヤーが量子戦略を利用できるようにすることで古典的な設定を一般化することが研究されています。^[8]これは、アイザート・ウィルケンス・ルーウェンシュタインの量子化フレームワークを採用することで実現されます。この設定では、プレーヤーはエンタングルされたn量子ビット状態を受け取り、各プレーヤーが1つの量子ビットを制御します。各プレーヤーの決定は、2つの角度を決定するものと見なすことができます。各プレーヤーの報酬値を達成する対称ナッシュ均衡が示され、各プレーヤーはこのナッシュ均衡でボランティア活動を行います。さらに、これらのナッシュ均衡はパレート最適です。量子設定でのナッシュ均衡の報酬関数は、古典的な設定でのナッシュ均衡の報酬よりも高いことが示されています。 ${\displaystyle 2-1/n}$

量子カードゲーム

古典的な不公平なカードゲームは次のようにプレイできます^[9] : プレイヤーは 2 人、アリスとボブです。アリスは 3 枚のカードを持っています。1 枚は両面に星、1 枚は両面にダイヤ、1 枚は片面に星、もう片面にダイヤです。アリスは 3 枚のカードを箱に入れて振り、ボブは両方のプレイヤーがカードの片面しか見えないようにカードを引きます。カードの両面に同じマークがあれば、アリスの勝ちです。しかし、カードの両面に異なるマークがあれば、ボブの勝ちです。明らかに、これは不公平なゲームで、アリスの勝率は 2/3、ボブの勝率は 1/3 です。アリスはボブに箱を「操作」するチャンスを 1 回与え、その後、ボブが望めばゲームから撤退できるようにしますが、ボブはこの操作から古典的な方法で 1 枚のカードの情報しか得られないため、ゲームは依然として不公平です。

しかし、アリスとボブは量子戦略を考慮した調整されたバージョンのゲームをプレイすることができます。ダイヤモンドが表向きになっているカードの状態を、星が表向きになっている状態を と記述すると、箱を振った後、カードの表向きの部分の状態は次のように記述できます。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |r\rangle =|r_{0}\ r_{1}\ r_{2}\rangle }$

それぞれ0 または 1 です。 ${\displaystyle r_{k}}$

ここで、ボブはボックスを操作する能力を利用して、次のようにマシンを構築できます。まず、 として定義されたユニタリ行列があります。この行列は、が 0 の場合はに等しく、 が 1 の場合はに等しくなります。次に、この行列を 2 つのアダマール ゲートの間に配置してマシンを作成します。マシンは次のようになります。 ${\displaystyle U_{k}={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi r_{k}}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle r_{k}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle r_{k}}$

${\displaystyle HU_{k}H={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi r_{k}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+e^{i\pi r_{k}}&1-e^{i\pi r_{k}}\\1-e^{i\pi r_{k}}&1+e^{i\pi r_{k}}\end{bmatrix}}}$

この状態を操作する機械は ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle HU_{k}H|0\rangle ={\frac {1+e^{i\pi r_{k}}}{2}}|0\rangle +{\frac {1-e^{i\pi r_{k}}}{2}}|1\rangle =|r_{k}\rangle }$

ボブが自分のマシンに 入力すると、${\displaystyle |000\rangle }$

${\displaystyle (HU_{k}H\otimes HU_{k}H\otimes HU_{k}H)|000\rangle =|r_{0}\ r_{1}\ r_{2}\rangle }$

そして、彼は 3 枚のカードすべての状態 (つまり、マークが表向きになっている状態) を知っています。ここから、ボブは 1 枚のカードを引いて、撤退するか、ゲームを続けるかを選択できます。最初に引いたカードに基づいて、カードの表向きの値に関する知識から、今後勝つチャンスが均等になるカードを引いたかどうか (その場合は公正なゲームを続けることができます)、またはゲームに負けることが確実なカードを引いたかどうかを知ることができます。このようにして、彼は自分にとってゲームを公正なものにすることができます。

これは、古典的な戦略では不公平になるゲームを、量子戦略によって一方のプレイヤーにとって公平にすることができるゲームの例です。

量子チェス

量子チェスは、南カリフォルニア大学の大学院生クリス・キャントウェルによって最初に開発されました。彼がこのゲームを開発した動機は、物理学者以外の人々に量子力学の世界を知ってもらうことでした。^[10]

このゲームでは、古典的なチェスと同じ駒（ポーン 8 個、ナイト 2 個、ビショップ 2 個、ルーク 2 個、クイーン 1 個、キング 1 個）を使用し、同じ方法で勝利します（相手のキングを捕獲する）。ただし、駒は重ね合わせなどの量子力学の法則に従うことができます。重ね合わせの導入を許可することで、駒が一度に複数のマス目を占めることが可能になります。各駒の移動ルールは、古典的なチェスと同じです。

量子チェスと古典チェスの最大の違いはチェックルールです。量子チェスにはチェックルールが含まれていません。キングだけでなく他のすべての駒も、グリッド上の複数の場所を同時に占有できるからです。もう 1 つの違いは、占有された空間への移動の概念です。重ね合わせにより、2 つの占有が空間を共有したり、互いを通り抜けたりすることもできます。

量子チェスでは、相手の駒を捕獲する方法も古典的なチェスとは少し異なります。量子チェスは、捕獲の方法として量子測定を使用します。相手の駒を捕獲しようとすると、そのスペースが占有されているかどうか、経路がブロックされているかどうかの確率を決定するために測定が行われます。確率が有利であれば、捕獲するための動きを行うことができます。^[11]

PQ ペニーフリップゲーム

PQペニーフリップゲーム^[12]には、ピカード船長とQの2人のプレイヤーが参加します。Qは箱にペニーを入れ、その後、Q、ピカード、Qの順番で、どちらのプレイヤーにも状態を明かさずにペニーを裏返すか裏返さないかを行います。この3つの動きの後、ペニーが表を向いていればQが勝ち、ペニーが裏向きであればピカードが勝ちます。

古典的なナッシュ均衡では、両方のプレイヤーが混合戦略を採用し、各移動でペニーを投げるか投げないかの確率が 50% になります。ピカードと Q は、古典的な戦略を使用して、それぞれ 50% の確率でゲームに勝ちます。

Qが量子戦略を使用できるようにすると、つまり、ペニーの状態に アダマールゲートを適用すると、量子状態で表される表裏の重ね合わせ状態になります。

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}$

この状態では、ピカードがゲートをひっくり返さなければ状態は変化せず、ペニーをひっくり返すと状態になる。

${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle +|0\rangle )=|\psi _{1}\rangle }$

その後、ピカードの動きに関わらず、Q は重ね合わせに再びアダマール ゲートを適用し、ペニーが表向きになります。このように、Q の戦略の量子化により、古典的な戦略に制約されたプレイヤーに対する勝利が保証されます。

このゲームは、古典的なゲームに量子戦略を適用することで、本来は公平なゲームが量子戦略を使用するプレイヤーに有利になる可能性があることを示す好例です。^[9]

量子プレイヤー、ゼロサム量子ゲーム、および関連する期待利得の概念は、ヒルベルト空間上の自己随伴作用素のスペクトル定理の枠組みの中で、1999年にA. Boukas（有限ゲームの場合）によって、2020年にL. AccardiとA. Boukas（無限ゲームの場合）によって定義されました。フォン・ノイマンのミニマックス定理の量子バージョンが証明されました。^{[13] [14]}

量子ゲーム理論はニューカムのパラドックスに対する解決策も提供します。

ニューカムのゲームで提供される 2 つのボックスを結合するとします。ボックス 2 の内容は、無知なプレイヤーがボックス 1 を取るかどうかによって決まります。量子ゲーム理論では、状況を達成するために、そうでなければ全知のプレイヤーによる事前知識が必要ない状況が可能になります。そうでなければ全知のプレイヤーがアダマール ゲートを使用して 2 つのボックスの状態を操作する場合、2 つのボックスで定義された状態を操作するデバイスを設定し、無知なプレイヤーの選択後にアダマール ゲートを使用して再度操作します。すると、無知なプレイヤーが使用する純粋戦略または混合戦略に関係なく、無知なプレイヤーの選択は、ゲームの前提で定義された対応する結果につながります。ゲームの戦略を選択し、それをそうでなければ全知のプレイヤーをだますように変更しても (NOT ゲートを使用してゲームの状態を操作することに相当)、無知なプレイヤーに追加の利点を与えることはできません。2 つのアダマール操作により、選択した戦略によって定義された結果が 2 つだけになることが保証されるためです。このようにして、無知なプレイヤーの戦略に関係なく、そのプレイヤーの将来について知識のあるシステムを必要とせずに、期待される状況が達成されます。^[15]

• 量子三目並べ：上記の意味での量子ゲームではなく、量子力学のメタファーに基づいた教育ツールです。
• 量子疑似テレパシー
• 量子審判ゲーム
• CHSHゲーム
• ヤン・スラドコフスキ
• イェンス・アイザート

• Ball, Philip (1999 年 10 月 18 日). 「量子ゲームでは誰もが勝つ」. Nature . doi :10.1038/news991021-3. ISSN  0028-0836. 2005 年 4 月 29 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• Piotrowski, EW; Sładkowski, J. (2003). 「量子ゲーム理論への招待」(PDF) . International Journal of Theoretical Physics . 42 (5). Springer Nature: 1089–1099. doi :10.1023/a:1025443111388. ISSN  0020-7748. S2CID 13630647. 2012年2月15日時点の オリジナル(PDF)からアーカイブ。 2009年8月17日閲覧。
• Danaci, Onur; Zhang, Wenlei; Coleman, Robert; Djakam, William; Amoo, Michaela; Glasser, Ryan T.; Kirby, Brian T.; N'Gom, Moussa; Searles, Thomas A. (2023-02-28)、ManQala: ゲームにインスパイアされた量子状態エンジニアリング戦略、doi :10.48550/arXiv.2302.14582、2024-12-06取得^[1]