推移的集合

集合論（数学の一分野） において、集合とは${\displaystyle A}$以下のいずれかの同値条件が成り立つ場合、推移的であると呼ばれます。

• いつでも${\displaystyle x\in A}$、 そして${\displaystyle y\in x}$、 それから${\displaystyle y\in A}$。
• いつでも${\displaystyle x\in A}$、 そして${\displaystyle x}$は要素ではないので、${\displaystyle x}$は、​${\displaystyle A}$。

同様に、クラス${\displaystyle M}$は推移的である。${\displaystyle M}$は、${\displaystyle M}$。

ジョン・フォン・ノイマンが提唱した順序数の定義を用いると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される。すなわち、順序数とは、その要素もまた推移的である（したがって順序数である）推移的な集合である。すべての順序数の集合は推移的な集合である。

いずれの段階においても${\displaystyle V_{\alpha }}$そして$\displaystyle L_{\alpha }}$フォン・ノイマン宇宙の構築につながる${\displaystyle V}$そしてゲーデルの構築可能な宇宙${\displaystyle L}$推移的集合である。宇宙は${\displaystyle V}$そして${\displaystyle L}$それ自体は推移的なクラスである。

これは、最大 20 組の括弧を持つすべての有限推移集合の完全なリストです: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle \{\},}$
• ${\displaystyle \{\{\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}$

セット${\displaystyle X}$推移的であるのは、${\textstyle \bigcup X\subseteq X}$、 どこ${\textstyle \bigcup X}$すべての要素の結合${\displaystyle X}$集合であるもの、${\textstyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}$。

もし${\displaystyle X}$推移的である場合、${\textstyle \bigcup X}$他動詞である。

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$推移的である場合、${\displaystyle X\cup Y}$そして${\displaystyle X\cup Y\cup \{X,Y\}}$推移的である。一般に、${\displaystyle Z}$要素がすべて推移的集合であるクラスである場合、${\textstyle \bigcup Z}$そして${\textstyle Z\cup \bigcup Z}$他動詞です。（この段落の最初の文は、${\displaystyle Z=\{X,Y\}}$）

セット${\displaystyle X}$要素を含まない集合は、それが自身の冪集合の部分集合である場合に限り推移的である。${\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}$u要素を含まない推移的集合の冪集合は推移的である。

集合の推移閉包${\displaystyle X}$は、包含関係に関して最小の推移的集合であり、${\displaystyle X}$（つまり）${\textstyle X\subseteq \operatorname {TC} (X)}$[ ^{2 ]} ある集合が与えられたと^仮定する${\displaystyle X}$すると推移閉包${\displaystyle X}$は

$${\displaystyle \operatorname {TC} (X)=\bigcup \left\{X,\;\bigcup X,\;\bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \right\}.}$$

証明。${\textstyle X_{0}=X}$そして${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}$すると、我々は集合が

$${\displaystyle T=\operatorname {TC} (X)=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}}$$

推移的であり、${\textstyle T_{1}}$推移的集合であり、${\textstyle X}$それから${\textstyle T\subseteq T_{1}}$。

仮定する${\textstyle y\in x\in T}$。 それから${\textstyle x\in X_{n}}$一部の人にとって${\textstyle n}$など${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}$。 以来${\textstyle X_{n+1}\subseteq T}$、${\textstyle y\in T}$。 したがって${\textstyle T}$他動詞である。

さあ${\textstyle T_{1}}$上記のとおりである。我々は帰納法により、${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}$すべての人々のために${\displaystyle n}$それによって証明されるのは${\textstyle T\subseteq T_{1}}$: 基本ケースは以下を満たす。${\textstyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}$では、${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}$。 それから${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}$。 しかし${\textstyle T_{1}}$推移的であるため${\textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}}$したがって${\textstyle X_{n+1}\subseteq T_{1}}$これで証明は完了です。

これは、関連するすべてのオブジェクトのセットであることに注意してください。${\displaystyle X}$メンバーシップ関係の推移閉包により、集合の和集合はメンバーシップ関係とそれ自身との相対積で表現できる。

推移クラスは、集合論自体の解釈の構築によく用いられ、通常は内部モデルと呼ばれる。その理由は、境界式によって定義される性質が推移クラスに対して絶対的であるためである。 ^{[ 3 ]}

形式集合論体系のモデルとなる推移的集合（またはクラス）は、その体系の推移的モデルと呼ばれる（ただし、モデルの要素関係が、真の要素関係をモデルの集合に制約したものである場合に限る）。推移性は、論理式の絶対性を決定する上で重要な要素である。

非標準解析のスーパーストラクチャアプローチでは、非標準宇宙は強い推移性を満たす。ここで、クラス${\displaystyle {\mathcal {C}}}$各集合に対して、が強推移的であると定義される。${\displaystyle S\in {\mathcal {C}}}$推移的な上位集合が存在する${\displaystyle T}$と${\displaystyle S\subseteq T\subseteq {\mathcal {C}}}$強い推移性を持つクラスは自動的に推移的である。この強化された推移性の仮定により、例えば次のような結論が得られる。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$すべての二項関係のドメインを含みます${\displaystyle {\mathcal {C}}}$[ ^{4 ]​}

• エンドエクステンション
• 推移関係
• 超推移的クラス

• Ciesielski, Krzysztof (1997), Set theory for the working mathematician , London Mathematical Society Student Texts, vol.  39, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-59441-3、Zbl 0938.03067 
• ゴールドブラット、ロバート（1998）、「超実数に関する講義：非標準解析入門」、大学院数学テキスト、第 188巻、ニューヨーク、NY：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-98464-X、Zbl 0911.03032 
• ジェック、トーマス（2008）[原著は1973年刊行]、『選択の公理』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-46624-8、Zbl 0259.02051