宇宙（数学）

数学、特に集合論、圏論、型論、および数学の基礎論において、宇宙とは、特定の状況において考慮したいすべての実体を含む集合のことである。

集合論において、宇宙とは、特定の定理を証明しようとするすべての集合を（要素として）含むクラスのことであることが多い。これらのクラスは、 ZFCやモース・ケリー集合論などの様々な公理系の内部モデルとして機能する。宇宙は、集合論的基礎の中で圏論の概念を形式化する上で極めて重要である。例えば、圏の典型的な動機付けとなる例は、すべての集合の圏であるSetであり、宇宙の概念なしには集合論で形式化することはできない。

型理論において、宇宙とは、その要素が型である型のことである。

おそらく最も単純な説明は、研究対象がその特定の集合に限定されている限り、任意の集合が宇宙になり得るというものです。研究対象が実数である場合、実数集合である実数直線Rが考察対象の宇宙となり得ます。暗黙のうちに、これはゲオルク・カントールが1870年代から1880年代にかけて実解析への応用において現代的な素朴集合論と濃度を初めて発展させた際に用いた宇宙です。カントールが当初関心を寄せていた集合は、Rの部分集合のみでした。

この宇宙の概念は、ベン図の使用に反映されています。ベン図では、伝統的にアクションは宇宙Uを表す大きな長方形の中で行われます。一般的に、集合は円で表されますが、これらの集合はUの部分集合でしかありません。集合Aの補集合は、 Aの円の外側の長方形の部分によって与えられます。厳密に言えば、これはUに対するAの相対補集合U \ Aですが、 Uが宇宙である文脈では、 Aの絶対補集合A ^{Cとみなすことができます。同様に、}ゼロ集合 (つまり、集合がなく、空集合ではない)の共通部分であるヌルアリー交差の概念があります。

宇宙がなければ、ヌル交差は絶対すべてのものの集合となり、これは一般的に不可能と考えられています。しかし、宇宙を念頭に置けば、ヌル交差は検討中のすべてのものの集合、つまり単にUとして扱うことができます。これらの慣例は、ブール束に基づく基本的な集合論への代数的アプローチでは非常に役立ちます。公理的集合論のいくつかの非標準的な形式( New Foundationsなど) を除いて、すべての集合のクラスはブール束ではありません (相対的に補元のある束にすぎません)。

対照的に、 Uのすべての部分集合のクラスは、 Uの冪集合と呼ばれ、ブール束です。上述の絶対補集合は、ブール束における補集合演算であり、Uは空集合の共通部分として、ブール束の最上位要素（または空集合の交点）として機能します。すると、交点と結合（集合論における和集合）の補集合を扱うド・モルガンの法則が適用され、空集合の交点と空集合の結合（空集合）にも適用されます。

しかし、与えられた集合X (カントールの場合、X = R ) の部分集合を考慮すると、全体集合はXの部分集合の集合である必要があるかもしれません。 (たとえば、X上の位相はXの部分集合の集合です。) Xのさまざまな部分集合の集合は、それ自体はXの部分集合ではなく、代わりにXの冪集合P Xの部分集合になります。これは継続できます。研究対象は、次にXの部分集合の集合で構成される可能性があり、その場合、全体集合はP ( P X ) になります。別の方向では、X上の二項関係(デカルト積X × Xの部分集合)や、 Xからそれ自身への関数を考慮することができ、 P ( X × X )やX ^Xのような全体集合が必要になります。

したがって、たとえ主な関心がXであっても、宇宙はXよりもかなり大きくなければならない場合がある。上記の考え方に従えば、Xの上のスーパーストラクチャを宇宙とみなすこともできる。これは、構造的再帰によって次のように定義できる。

• S ₀ XをX自身とする。
• S ₁ X をXとP Xの和集合とする。
• S ₂ X をS ₁ XとP ( S ₁ X )の和集合とする。
• 一般に、S _{n +1} X をS _n XとP ( S _n X )の和集合とする。

すると、 X上のスーパー構造 ( S Xと表記) は、 S ₀ X、S ₁ X、S ₂ Xなどの和集合になります。

${\displaystyle \mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!}$

集合Xがどの集合 Xを起点とするかにかかわらず、空集合{} はS ₁ Xに属します。空集合はフォン ノイマン順序数[0] です。次に、唯一の要素が空集合である集合 {[0]} はS ₂ Xに属します。これはフォン ノイマン順序数 [1] です。同様に、{[1]} はS ₃ Xに属し、したがって {[0]} と {[1]} の和集合である {[0],[1]} も S 3 X に属します。これはフォン ノイマン順序数 [2] です。このプロセスを続けると、すべての自然数は、そのフォン ノイマン順序数によってスーパー構造で表されます。次に、xとy がスーパー構造に属する場合、順序対( x , y )を表す{{ x },{ x , y }} もスーパー構造に属します。したがって、スーパー構造には、必要なさまざまなデカルト積が含まれます。すると、スーパー構造には関数と関係も含まれます。これらはデカルト積のサブセットとして表現できるからです。このプロセスでは、フォン・ノイマン順序数 [ n ] を定義域とする関数として表現される順序付きnタプルなども生成されます。

したがって、出発点が単にX = {} である場合、数学に必要な集合の大部分は、{} 上のスーパー構造の要素として現れます。しかし、S {} の各要素は有限集合になります。すべての自然数はそれに属しますが、すべての自然数の集合Nは属しません (ただし、S {}の部分集合です)。実際、{} 上のスーパー構造は、遺伝的に有限なすべての集合から構成されます。このように、それは有限主義数学の宇宙と考えることができます。時代錯誤的に言えば、19 世紀の有限主義者レオポルド・クロネッカーはこの宇宙で研究していたと言えるでしょう。彼は、すべての自然数は存在するが、集合N (「完全な無限」) は存在しないと信じていました。

しかし、S {} は、有限主義者ではない普通の数学者にとっては不十分です。なぜなら、 NがS {}の部分集合として利用できるとしても、 Nの冪集合は利用できないからです。特に、任意の実数集合は利用できません。そのため、最初からやり直してS ( S {} ) を形成する必要があるかもしれません。しかし、物事を単純化するために、自然数の集合Nを与えられたものとして、 N上のスーパー構造SNを形成することができます。これは、通常の数学の世界とみなされることがよくあります。その考え方は、通常研究されるすべての数学はこの世界の要素を参照しているということです。たとえば、実数の通常の構成(たとえば、デデキント切断による) はSNに属します。非標準的な自然数モデル上のスーパー構造では、非標準的な解析さえも実行できます。

前のセクションでは、宇宙は任意の関心のある集合Uでしたが、哲学的には少し変化しています。そこでは、研究対象の集合は宇宙の部分集合でしたが、ここでは、それらは宇宙の要素です。したがって、 P ( S X ) はブール束ですが、重要なのはS X自体はブール束ではないということです。そのため、前のセクションの冪集合の宇宙の場合のように、ブール束とベン図の概念をスーパーストラクチャの宇宙に直接適用することは稀です。代わりに、個々のブール束P Aを扱うことができます。ここでAはS Xに属する任意の関連集合です。すると、P A はS Xの部分集合になります(実際にはS Xに属します)。特に、カントールのケースX = Rでは、任意の実数集合は利用できないため、その場合はプロセスを最初からやり直す必要があるかもしれません。

SNが通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を与えることは可能である。それは、 1908年にエルンスト・ツェルメロによって最初に開発された公理的集合論であるツェルメロ集合論のモデルである。ツェルメロ集合論が成功したのは、まさに「通常の」数学を公理化することができ、30年以上前にカントールによって始められたプログラムを達成できたからである。しかし、ツェルメロ集合論は、公理的集合論のさらなる発展や、数学の基礎、特にモデル理論におけるその他の研究には不十分であることが判明した。

劇的な例を挙げると、上記のスーパーストラクチャ過程の説明自体は、ツェルメロ集合論では実行できません。最終段階であるSを無限和集合として形成するには、置換公理が必要となります。この置換公理は、1922年にツェルメロ集合論に追加され、現在最も広く受け入れられている公理群であるツェルメロ＝フレンケル集合論を形成しました。したがって、通常の数学はSNで 行うことができますが、SNの議論は「通常の」範囲を超え、メタ数学へと広がります。

しかし、強力な集合論を導入すると、上記のスーパーストラクチャプロセスは、超限再帰の始まりに過ぎないことが明らかになります。空集合X = {}に戻り、 (標準) 表記V _iをS _i {}に導入すると、 V ₀ = {}、V ₁ = P {} など、以前と同様になります。しかし、かつて「スーパーストラクチャ」と呼ばれていたものは、今ではリストの次の項目、V _ωに過ぎません。ここで ω は最初の無限順序数です。これは任意の順序数に拡張できます。

${\displaystyle V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!}$

任意の順序数iに対してV _iを定義します。すべてのV _iの和集合はフォン・ノイマン宇宙Vです。

${\displaystyle V:=\bigcup _{i}V_{i}\!}$。

個々のV _iは集合ですが、それらの和集合Vは真のクラスです。置換公理とほぼ同時期にZF集合論に追加された基礎公理は、すべての集合がVに属すると述べています。

クルト・ゲーデルの構成可能宇宙Lと構成可能性の公理

アクセス不可能な基数は、ZF のモデルと場合によっては追加の公理をもたらし、グロタンディーク宇宙集合の存在と同等である。

一階述語論理の解釈では、宇宙（または議論領域）は、量化子が作用する個体（個体定数）の集合です。∀ x ( x ² ≠ 2)のような命題は、議論領域が特定されていない場合、曖昧です。ある解釈では、議論領域は実数の集合である可能性があります。別の解釈では、自然数の集合である可能性があります。議論領域が実数の集合である場合、x = √ 2を反例として、この命題は偽です。議論領域が自然数の集合である場合、2 はどの自然数の平方でもないため、この命題は真です。

宇宙には、歴史的に圏論と関連のある別のアプローチがあります。これはグロタンディーク宇宙の考え方です。大まかに言うと、グロタンディーク宇宙とは、集合論の通常の操作をすべて実行できる集合です。このバージョンの宇宙は、次の公理が成り立つ任意の集合として定義されます。^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle x\in u\in U}$暗示する${\displaystyle x\in U}$（${\displaystyle U}$（推移的である）
2. ${\displaystyle u\in U}$そして${\displaystyle v\in U}${ u , v }、( u , v ) を意味し、${\displaystyle u\times v\in U}$。
3. ${\displaystyle x\in U}$暗示する${\displaystyle {\mathcal {P}}x\in U}$そして${\displaystyle \bigcup x\in U}$
4. ${\displaystyle \omega \in U}$（ここ${\displaystyle \omega =\{0,1,2,...\}}$はすべての有限順序数の集合です。）
5. もし${\displaystyle f:a\to b}$は全射関数であり、${\displaystyle a\in U}$そして${\displaystyle b\subseteq U}$、 それから${\displaystyle b\in U}$。

グロタンディーク宇宙Uの最も一般的な用途は、U をすべての集合の圏の代替として用いることです。集合SがUに属する場合、 SはU-小さい、そうでない場合はU-大きいと定義します。すべての U-小さい集合の圏U-集合は、対象としてすべてのU-小さい集合を持ち、射としてこれらの集合間のすべての関数を持ちます。対象集合と射集合はどちらも集合であるため、固有クラスを持ち出すことなく「すべての」集合の圏について議論することが可能になります。そして、この新しい圏を用いて他の圏を定義することが可能になります。例えば、すべてのU-小さい圏の圏は、対象集合と射集合がUに属するすべての圏の圏です。すると、集合論の通常の議論がすべての圏の圏に適用でき、誤って固有クラスについて言及してしまうことを心配する必要がなくなります。グロタンディーク宇宙は非常に大きいため、これはほとんどすべての応用において十分です。

グロタンディーク宇宙を扱う際、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。「任意の集合xに対して、 x ∈ Uとなるような宇宙Uが存在する。」この公理の要点は、遭遇する任意の集合が何らかのUに対してU -小さいので、一般的なグロタンディーク宇宙で行われた議論は適用できるということである。^{[ 2 ]}この公理は、強く到達不可能な基数 の存在と密接に関連している。

一部の型理論、特に依存型を持つシステムでは、型自体を項とみなすことができます。宇宙と呼ばれる型（しばしば表記される）があります。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$型を要素とする宇宙である。ジラールのパラドックス（型理論におけるラッセルのパラドックスの類似物）のようなパラドックスを回避するために、型理論には、各宇宙が次の宇宙の項となるような、可算無限階層の宇宙がしばしば備えられている。

型理論では、少なくとも 2 種類の宇宙を考慮に入れることができます。ラッセル スタイルの宇宙(バートランド ラッセルにちなんで命名) とタルスキ スタイルの宇宙(アルフレッド タルスキにちなんで命名) です。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}ラッセル スタイルの宇宙は、項が型である型です。^{[ 3 ]}タルスキ スタイルの宇宙は、項を型とみなすことができる解釈操作を備えた型です。^{[ 3 ]}

例えば：^{[ 6 ]}

マルティン＝レーフ型理論の開放性は、いわゆる宇宙の導入において特に顕著に表れる。型宇宙は、非形式的な反射の概念を包含しており、その役割は次のように説明できる。型理論の特定の形式化を開発する過程で、型理論家は、これまで導入してきた型（例えばC）の規則を振り返り、それらがマルティン＝レーフの非形式的な意味論的意味論に従って有効であることを認識するステップを実行する。この「内省」行為は、過去に我々の構築を支配してきた概念に気づこうとする試みである。これは、「大まかに言えば、型に関して我々が慣れ親しんでいることは何でも宇宙の中で行うことができる」という反射原理を生み出す（マルティン＝レーフ 1975、83）。形式レベルでは、これは既存の型理論の形式化の拡張につながり、Cの型形成能力が、Cを反映する型宇宙_{UCに定着する。}

• コングロマリット（数学）
• 議論の領域
• グロタンディークの宇宙
• ハーブランドの世界
• フリーオブジェクト
• オープンフォーミュラ
• 空間（数学）

• Mac Lane、Saunders (1998)。『働く数学者のためのカテゴリー』。Springer-Verlag New York, Inc.

• 「宇宙」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイスタイン、エリック・W. 「ユニバーサル・セット」。マスワールド。