ラムジー枢機卿

数学において、ラムゼー基数は、エルデシュとハイナル (1962) によって導入され、フランク・P・ラムゼーにちなんで名付けられた ある種の大きな基数です。ラムゼーの定理はラムゼーの定理と呼ばれ、ω がラムゼー基数が無数の場合に一般化する特定の特性を持つことを確立しています。

[ κ ] ^<ωをκのすべての有限部分集合の集合とする。任意 の関数に対して、 基数 κがラムゼー数であるとは、

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

κの基数集合Aが存在し、これはfに対して同次である。つまり、任意のnに対して、関数f はAの基数nの部分集合上で定数である。 κの基数がラムゼーであるとは、 A がκの定常部分集合として選択できる場合である。 κの基数がラムゼーであるとは、任意の関数に対して

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

κの閉じた非有界部分集合Cが存在するので、C内の非可算共終性を持つ任意のλに対して、 fについて同次なλの非有界部分集合が存在する。これよりわずかに弱いのが、すべてのλ < κに対して、fについて同次集合が順序型λであることが求められるほぼラムゼーの概念である。

これらのいずれかの種類のラムゼー基数の存在は、 0 ^#の存在、または実際にはκ未満の階数を持つすべての集合がシャープ を持つことを証明するのに十分です。これは、今度は、クルト・ゲーデルの構成可能性公理が偽であることを意味します。

すべての測定可能な基数はラムゼー基数であり、すべてのラムゼー基数はローボトム基数です。

ラムゼー性と可測性の中間の性質は、 κ上のκ完全正規非主イデアル Iが存在し、任意のA∉Iおよび任意の 関数に対して

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

Iに含まれず、 fに対して同次な集合B ⊂ Aが存在する。これはκ が言い表せないほどラムゼー的であることよりも厳密に強い。

正則基数κがラムゼー基数となるのは、^{[1] [よりよい情報源が必要]任意の集合}A ⊂ κに対して、サイズκでA ∈ Mとなる推移集合M ⊨ ZFC ^- (つまり、冪集合公理のないZFC ) が存在し、ブール代数P(κ) ∩ M上に次の条件を満たす非主ウルトラフィルタU が存在する場合のみである:

• U はM ウルトラフィルターです。 Uのメンバーの任意のシーケンス ⟨ X _β  : β < κ ⟩ ∈ Mに対して、対角交差Δ X _β = { α < κ  : ∀ β < α ( α ∈ X _β )} ∈ U、
• Uは弱従属的である: κの部分集合の任意の列 ⟨ X _β  : β < κ ⟩ ∈ Mに対して、集合 { β < κ  : X _β ∈ U } ∈ M、および
• Uはσ 完全です。つまり、 Uの任意の可算なメンバー族の共通部分は、やはりUに含まれます。