巨大なカーディナル

数学では、基数が 巨大であるとは、臨界点を持つ推移的内部モデルへの基数からの基本埋め込みが存在する場合を指します。 ${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle {}^{j(\kappa )}M\subset M.}$

ここで、 は、に含まれる要素を持つ長さのすべてのシーケンスのクラスです。 ${\displaystyle {}^{\alpha }M}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle M}$

巨大なカーディナルはケネス・クネン （1978） によって導入されました。

以下では、 は、有限順序数 に対して、基本埋め込み の - 番目の反復、つまり自身と回合成されたものを指します。また、 は、に含まれる要素を持つ、長さが 未満のすべてのシーケンスのクラスです。「スーパー」バージョンでは、は ではなく 未満である必要があることに注意してください。 ${\displaystyle j^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {}^{<\alpha }M}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle j(\kappa )}$${\displaystyle {j^{n}(\kappa )}}$

κがほぼn巨大となるのは、臨界点が存在し、 ${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle {}^{<j^{n}(\kappa )}M\subset M.}$

κ が超ほぼ n 巨大であるための必要十分条件は、任意の順序数 γに対して、臨界点、、および が存在する場合である。${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \gamma <j(\kappa )}$

${\displaystyle {}^{<j^{n}(\kappa )}M\subset M.}$

κ がn 巨大となるのは、臨界点が存在し、 ${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle {}^{j^{n}(\kappa )}M\subset M.}$

κ が超 n 巨大であることは、任意の順序数に対して臨界点、、 が 存在する場合に限ります。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \gamma <j(\kappa )}$

${\displaystyle {}^{j^{n}(\kappa )}M\subset M.}$

0-巨大は測定可能な基数と同じであり、1-巨大は巨大と同じであることに注意してください。階数公理の1 つを満たす基数は、すべての有限 に対して -巨大です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ほぼ巨大な基数の存在は、ヴォペンカの原理が一貫していることを意味します。より正確には、ほぼ巨大な基数はヴォペンカ基数でもあります。

金森、ラインハルト、ソロベイは、拡張性と強さの巨大さの間に、を通じてと呼ばれる 7 つの大きな基本的性質と、性質を定義しました。^[1]追加の性質は「 は巨大である」と同等であり、 「 はすべてに対して -超コンパクトである」と同等です。コラッツァは、と の間に厳密に存在する性質 を導入しました。^[2]${\displaystyle \mathbf {A} _{2}(\kappa )}$${\displaystyle \mathbf {A} _{7}(\kappa )}$${\displaystyle \mathbf {A} _{6}^{\ast }(\kappa )}$${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\kappa )}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \mathbf {A} _{3}(\kappa )}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda <j(\kappa )}$${\displaystyle A_{3.5}}$${\displaystyle A_{3}}$${\displaystyle A_{4}}$

基数は、一貫性の強さが増す順に次のように並べられています。

• ほぼ巨大${\displaystyle n}$
• 超巨大${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$-巨大な
• 超巨大${\displaystyle n}$
• ほぼ巨大${\displaystyle n+1}$

巨大な基数の無矛盾性は超コンパクト基数の無矛盾性を意味しますが、最小の巨大な基数は最小の超コンパクト基数よりも小さくなります (両方が存在すると仮定)。

-巨大な基数を、 から への基本埋め込みが臨界点およびを持つ推移的内部モデルにとなる基数として定義することができます。ここで、 は正の整数 に対するの最大値です。しかし、クネンの矛盾定理は、 そのような基数が ZFC では矛盾していることを示していますが、ZF では矛盾していないかどうかはまだ不明です。代わりに、-巨大な基数は、あるランクからそれ自身への基本埋め込みの臨界点として定義されます。これは、ランクからランクへの公理 I ₁と密接に関連しています。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle j^{n}(\kappa )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle V_{\lambda +1}}$

• 大きな基数特性のリスト
• 編組群上のDehornoy 順序は、巨大な基数の特性によって動機付けられました。