言い表せない枢機卿

超限数の数学において、不可算基数は、Jensen & Kunen (1969) によって導入された、ある種の大きな基数です。以下の定義では、は常に正則な不可算基数になります。 ${\displaystyle \kappa}$

基数が ほぼ言い表せない数であるとは、すべての順序数 に対してが の部分集合であるという性質を持つ任意の（ただし はの冪集合）に対して、の任意のに対して という意味で がに対して同次かつ基数を持つの部分集合 が存在するときです。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle f:\kappa \to {\mathcal {P}}(\kappa )}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle f(\delta )}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \delta <\kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(\delta _{1})=f(\delta _{2})\cap \delta _{1}}$

基数は 、任意の2 値関数 に対して、上の定常部分集合が存在し、 が同次である場合、つまり、 がその部分集合から抽出されたすべての順序なしの要素のペアを 0 に写すか、そのようなすべての順序なしのペアを 1 に写す場合、不可解と呼ばれます。同等の定式化は、各 となるすべてのシーケンスに対して、 κで定常である が存在する場合、基数は不可解であるということです。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle \langle A_{\alpha }:\alpha \in \kappa \rangle }$${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha }$${\displaystyle A\subseteq \kappa }$${\displaystyle \{\alpha \in \kappa :A\cap \alpha =A_{\alpha }\}}$

もう一つの同等の定式化は、の部分集合の基数のすべての集合に対して、 を決定する際に通常の（すなわち、対角交差 で閉じている）非自明な -完全フィルタが存在する場合、正則な非可算基数は言い表せないというものです。つまり、任意の に対して、 またはのいずれかです。^{[1]これは、}弱コンパクト基数の特徴付けに似ています。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\in S}$${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \kappa \setminus X\in {\mathcal {F}}}$

より一般的には、が- 言い表せない(正の整数 に対して) とは、任意の に対しての定常部分集合が存在し、その部分集合が-同次(部分集合から抽出されたすべての順序なし - 組に対して同じ値を取る) であるときである。したがって、 が言い表せないのは、 が 2-言い表せないときのみである。言い表せないことは、 3-言い表せないことよりも厳密に弱い。^{[2] p. 399}${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f:[\kappa ]^{n}\to \{0,1\}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

完全に言い表せない基数は、任意の に対して -言い表せない基数です。 が -言い表せない場合、以下の -言い表せない基数の集合はの定常部分集合です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\leq n<\aleph _{0}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

すべての-不可算基数は- ほぼ不可算 (その下方の - ほぼ不可算の集合は定常) であり、すべての- ほぼ不可算は- 微妙 (その下方の - 微妙の集合は定常) です。最も微妙でない基数は弱コンパクトでもありません (不可算基数とは異なり、最も- ほぼ不可算でない基数は - 記述可能です) が、- 不可算基数はすべての- 微妙な基数の下で定常です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$

基数 κ が完全に言い表せないのは、次のような空でない が存在する場合です。 - あらゆるは定常であり、 あらゆるおよびに対して、の条件を満たすfに対して同次が存在する。 ${\displaystyle R\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )}$
${\displaystyle A\in R}$
${\displaystyle A\in R}$${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle B\in R}$

 2 の代わりに 1より大きい任意の有限値を使用すると、同じ定義になるため、完全に言い表せない基数は完全に言い表せません (一貫性の強さがより高くなります)。完全に言い表せない基数は、任意のnに対して -記述不可能ですが、完全に言い表せないという性質は です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$${\displaystyle \Delta _{1}^{2}}$

完全に言い表せないものの無矛盾性の強さは 1 反復可能基数の無矛盾性の強さより低く、1 反復可能基数は注目すべき基数より低く、注目すべき基数はω-エルデシュ基数より低い。無矛盾性の強さによる大基数公理のリストは、以下のセクションで参照できます。

• 大きな基数特性のリスト

• フリードマン、ハーヴェイ（2001）「微妙な基数と線形順序」、純粋および応用論理学年報、107（1–3）：1–34、doi：10.1016/S0168-0072（00）00019-1。
• ジェンセン、ロナルド、クネン、ケネス（1969）、LとVのいくつかの組み合わせ特性、未発表原稿