位相量子ビット

量子コンピューティング、より具体的には超伝導量子コンピューティングにおいて、位相量子ビットは超伝導体-絶縁体-超伝導体（SIS）ジョセフソン接合に基づく超伝導デバイスであり、^[1]量子ビット、または量子ビットとして動作するように設計されています。 ^[2]

位相量子ビットは、超伝導デバイスによって実装される量子ビットである磁束量子ビットや電荷量子ビットと密接に関連しているが、異なるものである。3つの主な違いは、ジョセフソンエネルギーと充電エネルギー^{[3] （1つの}クーパー対が回路の全容量を充電するために必要なエネルギー）の比である。

• ^{位相量子ビットの場合、この比率は 10 6}のオーダーであり、接合部を通過するマクロなバイアス電流が可能になります。
• 磁束量子ビットの場合、それは10のオーダーであり、メソスコピック超電流（典型的には〜300nA ^[4]）を可能にする。
• 電荷量子ビットの場合、それは1未満であり、したがって、ほんの数個のクーパー対のみがトンネルを通り抜けてクーパー対ボックスを充電することができます。しかし、トランスモンは巨大なシャント容量のために非常に低い充電エネルギーを持つことができ、したがってこの比率は10〜100のオーダーになります。^[5]

位相量子ビットは、電流バイアスされたジョセフソン接合であり、ゼロ電圧状態で非ゼロ電流バイアスで動作します。

ジョセフソン接合はトンネル接合であり、^[6]厚さ約 1 nm の非常に薄い絶縁障壁で分離された 2 つの超伝導金属片でできています。障壁は十分に薄いため、電子、または超伝導状態ではクーパー対電子が、かなりの速度で障壁をトンネルすることができます。ジョセフソン接合を構成する各超伝導体は、超伝導体のギンツブルグ-ランダウ理論で説明されているように、マクロな波動関数で説明されます。^[7] 2 つの超伝導波動関数の複雑な位相の差は、ジョセフソン接合の最も重要な動的変数であり、位相差、または単に「位相」と呼ばれます。 ${\displaystyle \delta}$

ジョセフソン方程式^[1]は、トンネル接合を通る超伝導電流（通常、超伝導電流と呼ばれる）と位相差を関連付けています。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \delta}$

${\displaystyle I=I_{0}\sin \delta }$（ジョセフソンの電流位相関係）

ここで、トンネル接合の臨界電流は、接合内のトンネル障壁の面積と厚さ、および障壁の両側にある超伝導体の特性によって決まります。障壁の両側に同一の超伝導体がある接合の場合、臨界電流は、アンベガオカー・バラトフの式^[6]によって、超伝導ギャップとトンネル接合の常伝導抵抗に関連しています。${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle R_{n}}$

${\displaystyle I_{0}={\frac {\pi \Delta }{2eR_{n}}}}$(アンベガカール-バラトフの式)

ゴルコフ位相発展方程式^[1]は、位相の変化率（位相の「速度」）を電圧の線形関数として与えます。 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {d\delta }{dt}}}$（ゴルコフ・ジョセフソン位相発展方程式）

この方程式はBCS波動関数の位相に対するシュレーディンガー方程式の一般化である。この一般化は1958年にゴルコフによって行われた。^[8]

交流および直流のジョセフソン関係は、ジョセフソン接合自体の挙動を制御する。ジョセフソン接合の形状は、薄いトンネル障壁で分離された2枚の超伝導金属板であり、平行板コンデンサの形状であるため、ジョセフソン素子に加えて、デバイスには並列容量が含まれる。外部回路は通常、ジョセフソン素子と並列の抵抗器として単純にモデル化される。3つの並列回路素子のセットは、外部電流源によってバイアスされ、これが電流バイアスされたジョセフソン接合である。^[9]回路方程式を解くと、位相に関する単一の動的方程式が得られる。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {\hbar C}{2e}}\,{\frac {d^{2}\delta }{dt^{2}}}+{\frac {\hbar }{2eR}}{\frac {d\delta }{dt}}=I-I_{0}\sin \delta }$。

左側の項は、座標（位置）を持ち、質量が静電容量に比例し、摩擦が抵抗に反比例する粒子の項と同じです。粒子は右側の項で与えられる保存力場内を動きます。これは、粒子が次式で与えられる 位置エネルギーと相互作用していることに対応します。${\displaystyle \delta}$${\displaystyle C}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U(\delta )}$

${\displaystyle U(\delta )={\frac {\hbar }{2e}}\left(-I_{0}\cos \delta -I\,\delta \right)}$。

これは「洗濯板ポテンシャル」^[9]と呼ばれ、洗濯板変調によって変調された全体的な線形依存性を持つことからそう呼ばれています。 ${\displaystyle -I\,\delta }$${\displaystyle -I_{0}\,\cos \delta }$

ゼロ電圧状態は、位相粒子が示す 2 つの異なる動的動作の 1 つを表し、粒子が洗濯板ポテンシャルの極小値の 1 つにトラップされたときに対応します。これらの極小値は、バイアス電流、つまり臨界電流未満の電流に対して存在します。位相粒子が極小値にトラップされると、平均速度がゼロになり、したがって平均電圧もゼロになります。ジョセフソン接合は、 までの電流を電圧なしで通過させます。これは、ジョセフソン接合の電流-電圧特性の超伝導分岐に対応します。 ${\displaystyle \left|I\right|<I_{0}}$${\displaystyle I_{0}}$

電圧状態は、ジョセフソン接合が示すもう 1 つの動的動作であり、平均速度がゼロではないため電圧もゼロではない状態で、電位の傾斜に沿って位相粒子が自由走行する状態に対応します。この動作は、臨界電流を超える電流、つまり に対して常に発生し、大きな抵抗の場合は臨界電流よりいくらか低い電流でも発生します。この状態は、ジョセフソン接合の電流 - 電圧特性の電圧分岐に対応します。大きな抵抗の接合では、ゼロ電圧分岐と電圧分岐が臨界電流未満の電流の範囲で重なり合うため、デバイスの動作はヒステリシス になります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \left|I\right|>I_{0}}$${\displaystyle R}$

ゼロ電圧状態でのジョセフソン接合の挙動を理解する別の方法は、SISトンネル接合を非線形インダクタとして考えることである。^[10]位相が最小値の1つに閉じ込められると、位相値は、電位最小値での位相値（と呼ぶ）の周りの小さな範囲に制限されます。接合を流れる電流は、この位相値と次のように関係しています。 ${\displaystyle \delta_{0}}$

${\displaystyle I=I_{0}\sin \delta _{0}}$。

最小値付近の位相の小さな変化（接合部をゼロ電圧状態に維持できるほど小さい）を考慮すると、電流は次のように変化します。 ${\displaystyle \デルタ \デルタ }$${\displaystyle \delta_{0}}$

${\displaystyle \Delta I=\left(I_{0}\cos \delta _{0}\right)\Delta \delta }$。

これらの位相の変化は交流ジョセフソン関係を通じて電圧を生じさせる。

${\displaystyle \Delta V={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {d\Delta \delta }{dt}}={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {1}{I_{0}\cos \delta _{0}}}{\frac {d\Delta I}{dt}}=L{\frac {d\Delta I}{dt}}}$

この最後の関係は、インダクタンスを持つインダクタの定義式である。

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {1}{I_{0}\cos \delta _{0}}}}$。

このインダクタンスはウォッシュボード電位の最小値における位相の値に依存するため、バイアス電流を変化させることでインダクタンス値を制御できます。バイアス電流がゼロの場合、インダクタンスは最小値に達します。 ${\displaystyle \delta_{0}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle L_{\rm {min}}={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {1}{I_{0}}}={\frac {\hbar R_{n}}{\pi \Delta }}}$。

バイアス電流が増加すると、インダクタンスが増加します。バイアス電流が臨界電流 に非常に近い（ただし、臨界電流 より小さい）場合、上記のDCジョセフソン関係式からわかるように、位相の値は に非常に近くなります。これは、インダクタンス値が非常に大きくなり、臨界電流 に達すると発散することを意味します。 ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle \delta_{0}}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle L}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I_{0}}$

非線形インダクタは、バイアス電流の変化に対するジョセフソン接合の応答を表します。デバイスの形状からの並列容量がインダクタと並列に含まれると、共振周波数を持つ非線形共振器 が形成されます。${\displaystyle LC}$

${\displaystyle \omega _{p}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\sqrt {\frac {2eI_{0}\cos \delta _{0}}{\hbar C}}}}$、

これは接合部のプラズマ周波数​​として知られています。これは、洗濯板電位の最小値の 1 つにおける位相粒子の振動周波数に対応します。

臨界電流に非常に近いバイアス電流の場合、洗濯板最小値における位相値は

${\displaystyle \cos \delta _{0}={\sqrt {1-(I/I_{0})^{2}}}}$、

そしてプラズマ周波数​​は

${\displaystyle \omega _{p}\approx {\sqrt {\frac {2eI_{0}}{\hbar C}}}\left[1-(I/I_{0})^{2}\right]^{1/4}}$、

バイアス電流が臨界電流に近づくにつれてプラズマ周波数​​がゼロに近づくことを明確に示しています。

ゼロ電圧状態での電流バイアス ジョセフソン接合の単純な調整可能性は、位相量子ビットが他の量子ビット実装に対して持つ重要な利点の 1 つですが、電流の変動によってプラズマ周波数​​の変動が発生し、量子状態の位相ずれを引き起こすため、このデバイスのパフォーマンスも制限されます。

位相量子ビットは、 のゼロ電圧状態で動作します。 1 K よりはるかに低い非常に低い温度 (希釈冷凍機と呼ばれる極低温システムを使用して達成可能) で、十分に高い抵抗と小さな静電容量のジョセフソン接合により、洗濯板ポテンシャルの極小値で量子エネルギーレベル^{[11]が検出できるようになります。 これらは、}マイクロ波分光法を使用して最初に検出されました。マイクロ波分光法では、弱いマイクロ波信号が接合をバイアスする電流に追加されます。 ゼロ電圧状態から電圧状態への遷移は、接合の両端の電圧を監視することによって測定されました。 特定の周波数で明確な共鳴が観測されました。これは、洗濯板ポテンシャルの極小値についてシュレーディンガー方程式^[12]を解くことによって得られる量子遷移エネルギーとよく一致していました。 古典的には、プラズマ周波数​​ を中心とする単一の共鳴のみが予想されます。量子力学的には、ウォッシュボード ポテンシャルのポテンシャル最小値は、いくつかの量子化されたエネルギー レベルを収容でき、最低 (基底状態から第 1 励起状態) 遷移はエネルギーで起こりますが、より高いエネルギー遷移 (第 1 励起状態から第 2 励起状態、第 2 励起状態から第 3 励起状態) は、トラップ ポテンシャル最小値の非調和特性のために、これよりいくらか低くシフトします。トラップ ポテンシャル最小値の共鳴周波数は、最小値でのエネルギーが増加するにつれて低下します。このように複数の離散レベルを観察することは、超伝導デバイスが古典的ではなく量子力学的に動作していることを示す非常に強力な証拠です。 ${\displaystyle \left|I\right|<I_{0}}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle E_{01}\approx \hbar \omega _{p}}$

位相量子ビットは、極小値における最も低い 2 つのエネルギー レベルを使用します。基底状態は量子ビットの「ゼロ状態」であり、最初の励起状態は「1 状態」です。ウォッシュボード ポテンシャルの傾斜はバイアス電流によって設定され、この電流の変化によってウォッシュボード ポテンシャルが変化し、極小値の形状が変わります (同様に、上で説明したように、非線形インダクタンスの値が変化します)。これにより、基底状態と最初の励起状態の間のエネルギー差が変わります。したがって、位相量子ビットには調整可能なエネルギー分割があります。 ${\displaystyle |g\rangle }$${\displaystyle |e\rangle }$${\displaystyle I}$