発射体の動き

発射体運動は、地球の表面などから重力場内に発射され、重力の作用のみを受けて曲線経路（軌道）に沿って移動する物体または粒子（発射体）が経験する運動の一種です。地球上の発射体運動の特定のケースでは、ほとんどの計算で空気抵抗の影響は受動的であると想定されています。

ガリレオ・ガリレイは、与えられた発射体の軌道は放物線状であるが、物体が真上または真下に投げられた特殊な場合には、軌道が直線になることもあることを示した。このような運動の研究は弾道学と呼ばれ、このような軌道は弾道と説明される。物体に積極的に作用する唯一の数学的に重要な力は重力であり、これは下向きに作用し、物体に地球の質量の中心に向かって下向きの加速を与える。物体の慣性により、物体の運動の水平方向の速度成分を維持するために外力は必要ない。

空気抵抗や内部推進力（ロケットなど）などの他の力を考慮すると、追加の分析が必要になります。弾道ミサイルは、飛行の比較的短い初期の推進段階でのみ誘導され、残りの進路は古典力学の法則によって決まります。

弾道学（古代ギリシャ語の βάλλειν bállein  「投げる」に由来）は、弾丸、無誘導爆弾、ロケットなどの発射体の飛行、動作、効果を扱う力学の科学であり、望ましい性能を達成できるように発射体を設計および加速する科学または技術です。

弾道学の基本方程式は、初速度、発射角度、一定と仮定した重力加速度以外のほぼすべての要素を無視しています。弾道学の問題の実際的な解決には、空気抵抗、横風、標的の動き、高度によって変化する重力加速度、そして地球上のある地点から別の地点へのロケットの発射などの問題では、地平線までの距離と地球の曲率 R (地球の局所的な自転速度) を考慮する必要があります。実際的な問題の詳細な数学的解決には、通常、閉じた形式の解 がないため、数値的な方法が必要です。

投射運動では、水平運動と垂直運動は互いに独立しています。つまり、どちらの運動も他方に影響を与えません。これは、 1638年にガリレオによって確立された複合運動の原理であり、^[1]彼はこれを用いて投射運動の放物線形状を証明しました。^[2]

弾道の軌道は、他の力が存在しない場合に一定の加速を行う宇宙船のように、均一な加速度を伴う放物線です。地球上では、加速度の大きさは高度によって変化し、方向 (遠くのターゲット) は軌道に沿った緯度/経度によって変化します。これにより、小規模では放物線に非常に近い楕円軌道が発生します。ただし、物体が投げ出され、地球が突然同じ質量のブラックホールに置き換えられた場合、弾道の軌道はその「ブラックホール」の周りの楕円軌道の一部であり、無限に伸びる放物線ではないことは明らかです。より高速では、軌道は円形 ( LEO ?の宇宙飛行士、 5 Rの静止衛星)、放物線、または双曲面(月や太陽などの他の物体によって歪ま​​ない限り) になることもあります。${\textstyle g(y)=g_{0}/(1+y/R)^{2}}$${\textstyle {\frac {5}{6}}}$

この記事では、一様な重力加速度が仮定されています。 ${\textstyle (g=g_{0})}$

加速度は垂直方向にのみ存在するため、水平方向の速度は一定で、 に等しくなります。発射体の垂直方向の動きは、自由落下中の粒子の動きです。ここで加速度は一定で、 gに等しくなります。^{[注 1]}加速度の成分は次のとおりです。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$

${\displaystyle a_{x}=0}$、

${\displaystyle a_{y}=-g}$.*

*y 加速度は、地球が 対象物体に及ぼす力とも呼ばれます。${\textstyle (-F_{g}/m)}$

発射体が初期速度 で発射されるとします。これは、次のように水平成分と垂直成分の合計として表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$。

初期発射角度 θ がわかっている場合は、 コンポーネントとを見つけることができます。${\displaystyle v_{0x}}$${\displaystyle v_{0y}}$

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )}$、

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$

物体の速度の水平成分は、運動中ずっと変化しません。速度の垂直成分は、重力による加速度が一定であるため、線形に変化します。x 方向と y 方向の加速度を^積分すると、任意の時刻tにおける速度成分を次のよう に求めることができます。

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$、

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$。

速度の大きさ（ピタゴラスの定理、三角法則としても知られる）:

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$。

いつでも、発射体の水平方向および垂直方向の変位は次のようになります。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$、

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$。

変位の大きさは次のとおりです。

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$。

次の方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$そして[ ^3]${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

これら 2 つの方程式間でt を消去すると、次の方程式が得られます。

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}$

ここでRは発射体の射程距離です。

g、θ、v ₀は定数なので、上記の式は次のようになる。

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$、

ここで、aとbは定数です。これは放物線の方程式なので、経路は放物線です。放物線の軸は垂直です。

発射体の位置 (x,y) と発射角度 (θ または α) がわかっている場合は、前述の放物線方程式で v ₀を解くことで初期速度を求めることができます。

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$。

発射体の放物線軌道は、直交座標ではなく極座標で表すこともできます。この場合、位置は一般的な式で表されます。

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)}$。

この式では、原点は発射体の水平範囲の中点であり、地面が平坦であれば放物線は範囲 にプロットされます。この表現は、上記の直交座標をおよびで変形することで得られます。 ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$${\displaystyle y=r\sin \phi }$${\displaystyle x=r\cos \phi }$

発射体が空中に留まる合計時間t を飛行時間と呼びます。

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

飛行後、弾丸は水平軸（x軸）に戻るので、 ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}$

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

発射体の空気抵抗を無視していることに注意してください。

出発点が衝突点に対して 高さy _{0にある場合、飛行時間は次のようになります。}

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

上で述べたように、この式は（ y ₀は0）に 簡約できる。

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}},}$=${\displaystyle {\frac {2v\sin {(45^{\circ })}}{|g|}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}}$

θが45°の場合。

上記の「変位」セクションで示したように、発射体の水平速度と垂直速度は互いに独立しています。

このため、水平速度の変位式を使用して、ターゲットに到達するまでの時間を求めることができます。

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

この式は、空気抵抗を無視して、発射体がターゲットの水平方向の変位に到達するまでに移動する必要がある 合計時間tを示します。

物体が到達する最高高度は、物体の運動のピークとして知られています。高さの増加は、つまり、まで続きます。 ${\displaystyle v_{y}=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$。

最大高度に到達するまでの時間(h):

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$。

発射体の最大高度の垂直方向の変位について:

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}}$

最大到達高さはθ =90°のときに得られます。

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}}$

発射体の位置 (x,y) と発射角度 (θ) がわかっている場合は、次の式で h を解くことで最大高さを見つけることができます。

${\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}$

最大高度における 仰角（φ）は次のように表されます。

${\displaystyle \phi =\arctan {\tan \theta \over 2}}$

水平面上の範囲dと到達する最大高さhの関係は次のとおりです。 ${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

発射体の飛距離と最大高度は質量に依存しません。したがって、同じ速度と方向で投げられたすべての物体の飛距離と最大高度は等しくなります。発射体の水平飛距離d は、発射体が元の高さ ( ) に戻るときに移動した水平距離です。 ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$。

地上到着までの時間:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$。

水平方向の変位から発射体の最大距離:

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$、

だから^[注3]

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )}$。

dが最大値をとるのは 、

${\displaystyle \sin 2\theta =1}$、

これは必然的に

${\displaystyle 2\theta =90^{\circ }}$、

または

${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$。

移動した水平距離の合計（d）。

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

表面が平らな場合（物体の初期の高さがゼロの場合）、移動距離は次のようになります。^[4]

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}}$

したがって、 θが 45 度 の場合に最大距離が得られます。この距離は次のとおりです。

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}}$

仕事-エネルギー定理によれば、速度の垂直成分は次のようになります。

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$。

これらの式では空気抵抗を無視し、着陸エリアが均一な高さ 0 にあると仮定します。

「到達角」とは、初期速度vが与えられた場合に、発射体が距離d を進むために発射されなければならない角度 ( θ ) です。

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

解決策は2つあります。

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$（浅い軌道）

そして、 ${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$

${\displaystyle \theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$（急な軌道）

(0,0)から初速度vで発射し、距離x、高度yのターゲットに命中するには、発射角度θが必要です。

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

方程式の 2 つの根は、虚数でない限り、2 つの可能な発射角度に対応します。虚数の場合、初期速度は選択した点 ( x、y ) に到達するのに十分ではありません。この式を使用すると、 の制限なしに必要な発射角度を見つけることができます。 ${\displaystyle y=0}$

また、どのような打ち上げ角度で最低の打ち上げ速度が得られるかという疑問も生じます。これは、上記の2つの解が等しいときに生じ、平方根記号の下の量がゼロであることを意味します。これには、 の2次方程式を解く必要があり、次のように求められます。 ${\displaystyle v^{2}}$

${\displaystyle v^{2}/g=y+{\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$

これにより

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

y/xの接線となる角度をαとすると、

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}}$

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

これは、

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

言い換えれば、打ち上げはターゲットと天頂（重力と反対のベクトル）の中間の角度で行う必要があります。

発射時と着陸時の高さが同じ（空気抵抗がない）場合、 発射体が描く放物線の長さLは次の式で表されます。

${\displaystyle L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

ここで、は初期速度、は発射角度、は正の値としての重力加速度です。この式は、境界の初期変位と最終変位の間（つまり、0 と発射体の水平範囲の間）の高さ距離放物線の弧長積分を評価することで得られます。 ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle g}$

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

飛行時間がtの場合、

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

空気抵抗は、（対称的な発射体の場合）常に周囲の媒体の運動の方向と逆方向に向く力を生み出し、その大きさは絶対速度に依存します：。摩擦力の速度依存性は、非常に低速（ストークス抗力）では線形（ ）、高速（ニュートン抗力）では二次（ ）です。^{[5]これらの動作間の遷移は}レイノルズ数によって決まり、レイノルズ数は物体の速度とサイズ、密度、媒体の動粘性に依存します。レイノルズ数が約1未満の場合、依存性は線形で、1000を超えると（乱流）二次になります。動粘性が約0.15 cm ² /sの空気では、物体の速度と直径の積が約0.015 m ² /sを超えると抗力がvについて二次になることを意味し、これは発射体の場合に典型的です。 ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$${\displaystyle f(v)\propto v}$${\displaystyle f(v)\propto v^{2}}$${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \eta }$ ${\displaystyle \eta /\rho }$

• ストークス抗力: ( )${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad }$${\textstyle Re\lesssim 1}$
• ニュートン抗力: ( )${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad }$${\textstyle Re\gtrsim 1000}$

右の自由体図は、空気抵抗と重力の影響を受ける発射体を表しています。ここでは、空気抵抗は発射体の速度と反対方向にあると仮定しています。${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$

ストークス抗力は、空気中の非常に低速の場合にのみ適用され、したがって発射体には典型的ではない。しかし、の線形依存性により、非常に単純な運動微分方程式が生じる 。${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

では、2つの直交座標成分は完全に独立しており、したがって解くのがより容易である。^[6]ここで、、およびは、それぞれ初期速度、 x方向の速度、 y方向の速度を表すために用いられる。発射体の質量はm、およびで表される。導出では、の場合のみを考慮する。この場合も、発射体は原点(0,0)から発射される。 ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{x}}$${\displaystyle v_{y}}$${\displaystyle \mu :=k/m}$${\textstyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$（１ｂ）

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)(1-e^{-\mu t})}$（３ｂ）

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W{\bigl (}-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})e^{-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})}{\bigr )}\right)}$。

レイノルズ数が約 1000 を超える場合の空気抵抗の最も一般的なケースは、速度の 2 乗に比例する抗力を持つニュートン抗力です。動粘性が約 0.15 cm ² /s の空気では、物体の速度と直径の積が約 0.015 m ² /s より大きくなければならないことを意味します。${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$

残念ながら、この場合の運動方程式は解析的に簡単に解くことができません。そのため、数値解法を検討します。

以下の仮定が立てられています:

• 一定の重力加速度 ${\textstyle g}$
• 空気抵抗は次の抗力式で表されます。

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

どこ：

• F _{D は}抗力であり、
• cは抗力係数、
• ρは空気の密度であり、
• A は発射体の断面積です。繰り返しますが、これを弾道係数の理論と実践と比較してください。${\displaystyle \mu =k/m:=}$ ${\displaystyle c\rho A/(2m)}$ ${\displaystyle =c\rho /(2\rho _{p}l)}$

ニュートン抵抗のある発射体の一般的なケースは解析的に解くことができませんが、いくつかの特殊なケースは解析的に解くことができます。ここでは、自由落下の終端速度を、特性沈降時間定数をと表します。(次元は[m/s ² ]、[1/m]) ${\textstyle v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}}$${\textstyle t_{f}\equiv 1/(v_{\infty }\mu )=1/{\sqrt {g\mu }}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$

• ほぼ水平な運動：飛んでいる弾丸のように、運動がほぼ水平である場合。垂直方向の速度成分は水平方向の運動にほとんど影響を与えません。この場合：^[8]${\displaystyle |v_{x}|\gg |v_{y}|}$

${\displaystyle {\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\mu }}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)}$

同じパターンは、重力が無視できる（比較的小さい）場合、任意の方向の線に沿った摩擦のある運動に適用されます。また、エンジンを切った走行中の車など、垂直方向の動きが妨げられている場合にも適用されます。${\displaystyle g}$

• 垂直方向の上向きの動き：^[8]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=v_{\infty }\tan {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }+{\frac {1}{\mu }}\ln {\bigl (}\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}{\bigr )}}$

ここ

${\displaystyle v_{\infty }\equiv {\sqrt {\frac {g}{\mu }}}}$そして${\displaystyle t_{f}={\frac {1}{\sqrt {\mu g}}},}$

${\displaystyle t_{\mathrm {peak} }\equiv t_{f}\arctan {\frac {v_{y,0}}{v_{\infty }}}={\frac {1}{\sqrt {\mu g}}}\arctan {\left({\sqrt {\frac {\mu }{g}}}v_{y,0}\right)},}$

そして

${\displaystyle y_{\mathrm {peak} }\equiv -{\frac {1}{\mu }}\ln {\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}={\frac {1}{2\mu }}\ln {{\bigl (}1+{\frac {\mu }{g}}v_{y,0}^{2}{\bigr )}}}$

ここで はにおける初期上向き速度であり、初期位置は です。${\displaystyle v_{y,0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle y(0)=0}$

発射体は、0 m/s で ピーク (0 m、y_{ピーク) に到達したときに、垂直方向より長く上昇することはできません。}${\displaystyle t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}}$

• 垂直下向きの動き：^[8]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=-v_{\infty }\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }-{\frac {1}{\mu }}\ln(\cosh {\biggl (}{\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}{\biggr )})}$双曲線関数の場合

y=0 で時間が経過すると、発射体はほぼ終端速度に達します。${\displaystyle t_{f}}$${\displaystyle -v_{\infty }}$

抗力を伴う発射体の運動は、例えば一次系に簡約を適用することによって、常微分方程式の数値積分によって一般的に計算することができる。解くべき方程式は

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}}$。

このアプローチでは、速度に依存する抗力係数、高度に依存する空気密度（積）、および位置に依存する重力場（ のとき、 は線形減少） の効果を追加することもできます。${\displaystyle c(v)\rho (y)}$${\textstyle g(y)=g_{0}/(1+y/R)^{2}}$${\textstyle y\ll R:g\lesssim g_{0}/(1+2y/R)\approx g_{0}(1-2y/R)}$

ロケットの弾道軌道の特殊なケースとして、ロフト軌道がある。ロフト軌道は、同じ距離への最小エネルギー軌道よりも遠地点が高い軌道である。言い換えれば、ロケットはより高く飛行し、そうすることで同じ着陸地点に到達するのにより多くのエネルギーを使用する。これは、視界や通信範囲を広げるために地平線までの距離を増やす、ミサイルが着陸時に衝突する角度を変えるなど、さまざまな理由で行われる。ロフト軌道は、ミサイルロケットと宇宙飛行の両方で使用されることがある。^[9]

発射体が地球の半径に比べてかなりの距離（≈100 km 以上）を移動する場合は、地球の曲率と不均一な地球の重力を考慮する必要があります。これは、たとえば宇宙船や大陸間ミサイルの場合です。軌道は、（空気抵抗なしで）放物線から地球の中心に焦点を 1 つ持つケプラーの楕円に一般化します（図 3 を参照）。発射体の運動は、ケプラーの惑星運動の法則に従います。

軌道のパラメータは、上記の均一な重力場の値から適応される必要があります。地球の半径はR、標準表面重力はgです。最初の宇宙速度または脱出速度に対する発射速度を とします。 ${\displaystyle {\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}}$

発射から衝突までの 総距離d :

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}{\Big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}$ （発射角度 ）${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)}$

^{最適発射角度θ=45 °}における発射体の最大射程距離:

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$、最初の       宇宙速度${\displaystyle v<{\sqrt {Rg}}}$

惑星表面からの発射体の最大高度:

${\displaystyle h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)}$

垂直発射時の発射体の最大高度（）： ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       、第二宇宙速度、${\displaystyle v<{\sqrt {2Rg}}}$

飛行時間:

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}}\left(1+{\frac {1}{{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }}\arcsin {\frac {{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)}$

• 運動方程式
• フゴイド

^[1]