正常p補数

数学の一分野である群論において、素数pに対する有限群の正規p補集合は、 pと互いに素な位数を持ち、pの指数がべき乗である正規部分群である。言い換えると、その群は正規p補集合と任意のシローp部分群の半直積である。群が正規p補集合を持つ場合、その群はp冪零群と呼ばれる。

ケイリーは、群Gのシロー 2 部分群が巡回的である場合、群は正規の2 補群を持ち、これは偶数位数の単純群のシロー2 部分群は巡回的ではないことを示している。

バーンサイド(1911、定理 II、セクション 243) は、群Gの シローp部分群がその正規化群の中心にある場合、G には正規p補集合があることを示しました。これは、p が群Gの位数を割り切る最小の素数であり、シローp部分群が巡回的である場合、Gには正規p補集合があることを意味しています。

フロベニウスの正規p補集合定理は、バーンサイドの正規p補集合定理を強化したもので、 Gのシローp部分群のすべての非自明な部分群の正規化群が正規 p 補集合を持つ場合、 G も正規p補集合を持つというものです。より正確には、次の条件は同等です。

• Gは通常のp補数を持つ
• あらゆる非自明なp-部分群の正規化群は正規p-補集合を持つ。
• あらゆるp-部分群Qに対して、群N _G ( Q )/C _G ( Q )はp-群である。

フロベニウスの正規p補集合定理は、シローp部分群の非自明な部分群のすべての正規化群が正規 p 補集合を持つ場合、 G も正規p補集合を持つことを示しています。応用上、シローp部分群のすべての非自明な部分群を使用する代わりに、非自明な特性部分群のみを使用する、より強力なバージョンがあると便利な場合がよくあります。奇数の素数pに対して、トンプソンはそのような強化された基準を発見しました。実際、彼はすべての特性部分群ではなく、2 つの特別な特性部分群のみを必要としました。

トンプソン（1964）は、pが奇素数であり、群N(J( P ))とC(Z( P ))の両方がGのシローP部分群に対して正規p補集合を持つ場合、Gは正規p補集合を持つことを示した。

特に、Pのすべての非自明な特性部分群の正規化群が正規 p 補集合を持つ場合、G も正規p補集合を持つことになります。この結果は、多くのアプリケーションで十分です。

p  = 2の場合、位数 168 の単純群 PSL ₂ ( F ₇ )が反例となるため、結果は失敗します。

トンプソン（1960）はこの定理のより弱いバージョンを与えた。

トンプソンの正規p補集合定理は、シローp部分群の 2 つの特定の特性部分群に対する条件を使用しました。グラウバーマンはこれをさらに改良し、1 つの特性部分群、つまりトンプソン部分群の中心のみを使用すればよいことを示しました。

Glauberman (1968) は、ZJ 定理を使用して、正規p補集合定理を証明しました。これは、pが奇数の素数で、 Z(J(P)) の正規化群に正規p補集合がある場合、P がGのSylow p 部分群であれば、 G もSylow p部分群になるという定理です。ここで、Z は群の中心、J はトンプソン部分群を表します。

p  = 2の場合、位数168の単純群PSL ₂ ( F ₇ )が反例となる ため、結果は失敗します。

• バーンサイド、ウィリアム（1911）[1897]、有限位数の群論（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-108-05032-6、MR  00698181955年にドーバー社より再版
• グラウバーマン、ジョージ(1968)、「p 安定群の特性部分群」、Canadian Journal of Mathematics、20 : 1101–1135、doi : 10.4153/cjm-1968-107-2、ISSN  0008-414X、MR  0230807
• ゴレンスタイン、D. (1980)、有限群（第2版）、ニューヨーク：チェルシー出版、ISBN 978-0-8284-0301-6、MR  0569209
• Thompson、John G. (1960)、「Normal p-complements for finite groups」、Mathematische Zeitschrift、72 : 332–354、doi :10.1007/BF01162958、ISSN  0025-5874、MR  0117289、S2CID  120848984
• トンプソン、ジョン G. (1964)、「有限群の正規 p 補数」、代数ジャーナル、1 : 43–46、doi : 10.1016/0021-8693(64)90006-7、ISSN  0021-8693、MR  0167521