リプシッツ連続性

数学解析において、リプシッツ連続性は、距離空間間の関数の正則性特性であり、一様連続性よりも強く、したがって連続性よりも強い性質です。直感的に言えば、リプシッツ連続関数は変化の速さに制限があります。つまり、この関数のグラフ上の任意の2点について、それらを結ぶ直線の傾きの絶対値がこの実数を超えないような実数が存在し、そのような最小の境界を関数のリプシッツ定数と呼びます（そして一様連続性の絶対値と関連しています）。例えば、区間上で定義され、1階導関数が有界な関数はすべてリプシッツ連続です。^{[ 1 ]}

微分方程式の理論において、リプシッツ連続性は、初期値問題の解の存在と一意性を保証するピカール・リンデレーフの定理の中心的な条件である。リプシッツ連続性の特殊なタイプである収縮は、バナッハの不動点定理で使用される。^{[ 2 ]}

内部が空でない実数直線の閉区間かつ有界区間上の関数に対して、以下の厳密な包含関係の連鎖が存在する。

連続微分可能⊂リプシッツ連続⊂${\displaystyle \alpha }$-ホルダー連続、

どこ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$また、

リプシッツ連続⊂絶対連続⊂一様連続⊂連続。

リプシッツ連続性は、ドイツの数学者ルドルフ・リプシッツにちなんで名付けられました。

2 つの距離空間( X、d _X ) と ( Y、d _Y ) が与えられたとき、d _{X は}集合X上の距離を表し、d _Yは集合Y上の距離を表す。関数f : X → Yは、すべてのx ₁およびx ₂ ∈ Xに対して、 となるような実定数K ≥ 0 が存在する場合にリプシッツ連続と呼ばれる。 

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^{[ 3 ]}

このようなKは関数fのリプシッツ定数と呼ばれ、 fはK-リプシッツとも呼ばれる。最小の定数は、fの(最良) リプシッツ定数^{[ 4 ]}またはfの膨張^{[ 5 ] [ 6 ]}と呼ばれることがある。関数f自体は、「リプシッツ写像」と呼ばれることがある。K = 1 の場合、関数はショート写像と呼ばれ、0 ≤ K < 1 でf が距離空間をそれ自身に写像する場合、関数は縮約と呼ばれる。

特に、実数値関数f  : R → Rは、すべての実数x ₁およびx ₂に対して、正の実定数 K が存在し、

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

この場合、Yは標準距離d _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ | を持つ実数Rの集合であり、XはRの部分集合です。

一般に、不等式はx ₁ = x ₂の場合に（自明に）満たされる。そうでない場合、関数がリプシッツ連続であるとは、すべてのx ₁ ≠ x ₂に対して、 定数K ≥ 0が存在し、

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

複数の実変数を持つ実数値関数の場合、これはすべての割線の傾きの絶対値がKで抑えられる場合に限り成り立ちます。関数のグラフ上の点を通る傾きKの直線の集合は円錐を形成し、関数がリプシッツ連続であるのは、関数のグラフが常にこの円錐の外側にある場合に限ります（図を参照）。

関数fが局所的にリプシッツ連続であるとは、 Xの任意のxに対して、 fをUに制限した関数fがリプシッツ連続となるようなxの近傍Uが存在することをいう。言い換えれば、Xが局所的にコンパクトな距離空間である場合、 fが局所的にリプシッツ連続であるのは、fがXのすべてのコンパクト部分集合上でリプシッツ連続である場合に限る。局所的にコンパクトでない空間では、これは必要条件ではあるが十分条件ではない。

より一般的に、 X上で定義された関数fは、定数M ≥ 0が存在して、次の条件を満たす場合、X上でヘルダー連続であるか、または次数 α > 0 のヘルダー条件を満たすと言われます。

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Md_{X}(x_{1},x_{2})^{\alpha }}$

すべてのx ₁およびx ₂ ∈ Xに対して。 α の次数を持つヘルダー条件は、 α > 0の次数を持つ一様リプシッツ条件とも呼ばれることがあります。

実数K ≥ 1 の場合、

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,}$

このとき、fはK - ビリプシッツ( K - バイ・リプシッツとも表記)と呼ばれます。fがビリプシッツまたはバイ・リプシッツであると言うのは、そのようなKが存在することを意味します。ビリプシッツ写像は単射であり、実際にはその像への同相写像です。ビリプシッツ関数は、逆関数もリプシッツである単射リプシッツ関数と同じです。

至るところで微分可能なリプシッツ連続関数

• 機能${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$すべての実数に対して定義される関数は、至るところで微分可能であり、導関数の絶対値が1で上から抑えられるため、リプシッツ定数K  = 1でリプシッツ連続です。詳細は、下記の「性質」に記載されている最初の性質を参照してください。 
• 同様に、正弦関数はリプシッツ連続である。なぜなら、その導関数である余弦関数の絶対値は1で上から抑えられているからである。

至るところで微分可能ではないリプシッツ連続関数

• 機能${\displaystyle f(x)=|x|}$実数上で定義されたノルムは、逆三角不等式により、リプシッツ定数が 1 に等しいリプシッツ連続である。より一般的には、ベクトル空間上のノルムは、対応する計量に関してリプシッツ連続であり、リプシッツ定数は 1 に等しい。

至るところで微分可能だが連続的に微分可能ではないリプシッツ連続関数

• 機能${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$導関数は存在するが、で本質的な不連続性を持つ${\displaystyle x=0}$。

（大域的に）リプシッツ連続ではない連続関数

• [0, 1]上で定義された関数f ( x )  = √ xはリプシッツ連続ではありません。この関数は、導関数が無限大になるため、x が0 に近づくにつれて無限に急勾配になります。しかし、一様連続であり、 ^{[ 7 ]} α ≤ 1/2に対してクラスC ^{0, αの}ヘルダー連続であり、 [0, 1] 上で絶対連続でもあります(どちらも前者を意味します)。     

（局所的に）リプシッツ連続ではない微分可能な関数

• f (0) = 0 およびf ( x ) = x³ ^/2 sin(1/ x ) (0 < x ≤ 1)で定義される関数fは、コンパクト集合上で微分可能であるにもかかわらず、導関数が有界ではないため局所的にリプシッツ連続ではない関数の例である。以下の最初の性質も参照のこと。    

（大域的に）リプシッツ連続ではない解析関数

• 指数関数はx → ∞のとき任意に急勾配になるため、解析関数であるにもかかわらず、大域的にリプシッツ連続ではありません。
• 定義域がすべての実数である関数f ( x )  = x ^{2は、リプシッツ連続で}はありません。この関数は、x が無限大に近づくにつれて、任意に急勾配になります。ただし、局所的にはリプシッツ連続です。 

• 至るところで微分可能な関数g  : R → Rは、その一次導関数が有界である場合に限り、リプシッツ連続 ( K = sup | g ′( x )|) となります。これは平均値の定理から導かれる一方向の考え方です。特に、連続関数は局所的に有界であるため、その勾配も局所的に有界となり、任意の連続微分可能な関数は局所的にリプシッツ連続です。      
• リプシッツ関数g  : R → Rは絶対連続であるため、ほとんど至るところで微分可能であり、すなわち、ルベーグ測度がゼロの集合の外側のすべての点で微分可能です。その導関数は本質的にリプシッツ定数によって大きさが制限され、a < bの場合、差g ( b ) − g ( a ) は区間 [ a , b ] における導関数g ′の積分に等しくなります。        
  • 逆に、f  : I  → R が絶対連続であり、ほとんど至るところで微分可能であり、I内のほとんどすべてのxに対して | f′ ( x )|  ≤ K を満たす場合、fはリプシッツ連続であり、リプシッツ定数は最大でKです。
  • より一般的には、ラデマッハーの定理は、ユークリッド空間間のリプシッツ写像に微分可能性の結果を拡張します。すなわち、 UがR ⁿの開集合であるリプシッツ写像f  : U → R ^mは、ほとんど至るところで微分可能です。さらに、Kがfの最良のリプシッツ定数である場合、   ${\displaystyle \|Df(x)\|\leq K}$全導関数Df が存在する場合。
• 微分可能なリプシッツ写像の場合${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$不平等${\displaystyle \|Df\|_{L^{\infty }(U)}\leq K}$最良のリプシッツ定数に対して成り立つ${\displaystyle K}$の${\displaystyle f}$ドメインが${\displaystyle U}$凸であるならば実際には${\displaystyle \|Df\|_{L^{\infty }(U)}=K}$。
• { f _n } を 2 つの距離空間間のリプシッツ連続写像の列とし、すべてのf _nのリプシッツ定数が何らかのKで制限されているとします。f _{n が}写像fに一様に収束する場合、fもリプシッツであり、リプシッツ定数は同じKで制限されます。特に、これは、リプシッツ定数に特定の制限があるコンパクト距離空間上の実数値関数の集合が、連続関数のバナッハ空間の閉凸部分集合であることを意味します。ただし、この結果は、関数が制限のないリプシッツ定数を持つ可能性のある列には当てはまりません。実際、コンパクト距離空間上のすべてのリプシッツ関数の空間は、連続関数のバナッハ空間の部分代数であり、したがってその中で稠密であり、これはストーン・ワイエルシュトラスの定理の基本的な帰結です(または、すべての多項式が局所的にリプシッツ連続であるため、ワイエルシュトラスの近似定理の帰結です)。
• すべてのリプシッツ連続写像は一様連続であり、したがって連続である。より一般的には、リプシッツ定数が有界な関数の集合は 等連続集合を形成する。アルツェラ・アスコリの定理によれば、{ f _n } がリプシッツ定数が有界な関数の一様有界列であれば、収束部分列が存在する。前の段落の結果から、極限関数もリプシッツであり、リプシッツ定数の上限は同じである。特に、コンパクト距離空間X上のリプシッツ定数 ≤ Kを持つすべての実数値リプシッツ関数の集合は、バナッハ空間C ( X ) の局所的にコンパクトな凸部分集合である。 
• 共通定数を持つリプシッツ連続関数の族f _αに対して、関数${\displaystyle \sup _{\alpha }f_{\alpha }}$（そして${\displaystyle \inf _{\alpha }f_{\alpha }}$）は、少なくとも一点で有限値をとる限り、同じリプシッツ定数でリプシッツ連続である。
• U が距離空間Mの部分集合であり、f  : U  → Rがリプシッツ連続関数である場合、 fを拡張し、 fと同じリプシッツ定数を持つリプシッツ連続写像M  → Rが常に存在する（キルシュブラウンの定理も参照）。拡張は以下によって提供される。

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},}$

ここで、kはU上のfのリプシッツ定数である。

位相多様体上のリプシッツ構造は、遷移写像が双リプシッツであるチャートのアトラスを用いて定義されます。これは、双リプシッツ写像が擬群を形成するため可能です。このような構造により、滑らかな多様体間の滑らかな写像を定義するのと同様に、このような多様体間の局所的なリプシッツ写像を定義できます。MとN がリプシッツ多様体である場合、関数は${\displaystyle f:M\to N}$が局所的にリプシッツ連続であるのは、任意の座標チャートのペアに対して、${\displaystyle \phi :U\to M}$そして${\displaystyle \psi :V\to N}$ここで、UとVは対応するユークリッド空間の開集合であり、合成 $${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to V}$$は局所的にリプシッツ連続である。この定義は、 MまたはN 上に距離を定義することに依存しない。^{[ 8 ]}

この構造は区分的線形多様体と位相多様体の中間的な構造であり、PL構造は一意のリプシッツ構造を生み出す。^{[ 9 ]} リプシッツ多様体は位相多様体と密接に関連しているが、ラデマッハーの定理により解析が可能となり、様々な応用が得られる。^{[ 8 ]}

F ( x )をxの上半連続関数とし、F ( x )がすべてのxに対して閉凸集合であるとする。このとき、Fは片側リプシッツである^{[ 10 ] 。}

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

あるCとすべて_のx1とx2_について。

関数Fは非常に大きなリプシッツ定数を持つ可能性があるが、片側リプシッツ定数は中程度の大きさ、あるいは負の値になる可能性もある。例えば、関数

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}}$

リプシッツ定数K = 50 と片側リプシッツ定数C = 0 を持ちます。片側リプシッツであるがリプシッツ連続ではない例としては、 C = 0のF ( x ) = e ^{− xがあります。}

• 縮約マッピング– すべての点間の距離を縮小する関数 
• ディニの連続性
• 連続係数
• 準等長性
• ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題– 任意の整数に対して${\displaystyle n\geq 0}$、任意の有限部分集合X ⊆ R ⁿ、および任意の実数${\displaystyle 0<\epsilon <1}$（1+ε）-双リプシッツ関数が存在する${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},}$どこ${\displaystyle d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .}$