キルシュブラウンの定理

数学、特に実解析学と関数解析学において、キルシュブラウンの定理は、Uが何らかのヒルベルト空間H ₁の部分集合であり、H _2が別のヒルベルト空間であり、

${\displaystyle f:U\rightarrow H_{2}}$

がリプシッツ連続写像であるならば、リプシッツ連続写像が存在する。

${\displaystyle F:H_{1}\rightarrow H_{2}}$

これはf を拡張し、 fと同じリプシッツ定数を持ちます。

この結果は特にユークリッド空間 E ⁿとE ^mに適用され、キルシュブラウンが最初に定理を定式化し証明したのはこの形式であったことに留意されたい。^[1]ヒルベルト空間のバージョンは、たとえば (Schwartz 1969, p. 21) に記載されている。^[2] H _{1 が}可分空間(特にユークリッド空間)である場合、結果はツェルメロ-フランケル集合論において真である。完全に一般的なケースでは、何らかの選択公理が必要であるように思われるが、ブール素イデアル定理で十分であることが知られている。^[3]

定理の証明にはヒルベルト空間の幾何学的特徴が用いられる。バナッハ空間に対する対応する記述は一般には成り立たず、有限次元バナッハ空間に対しても成り立たない。例えば、領域が最大ノルムを持つ の部分集合であり、ユークリッドノルムを持つような反例を構成することは可能である。^[4]より一般的には、定理は任意のノルム ( )を備えた に対しては成立しない(Schwartz 1969, p. 20)。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \ell_{p}}$${\displaystyle p\neq 2}$

値関数の場合、拡張は次のように提供されます。ここで、はU上のリプシッツ定数です。^[5]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}{\big (}f(u)+{\text{Lip}}(f)\cdot d(x,u){\big )},}$${\displaystyle {\text{リップ}}(f)}$${\displaystyle f}$

一般に、拡張は値関数に対しても次のように書くことができる。ここ で、conv( g )はgの下凸包である。^[6]${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle {\チルダ {f}}(x):=\nabla _{y}({\textrm {conv}}(g(x,y))(x,0)}$${\displaystyle g(x,y):=\inf _{u\in U}\left\{\langle f(u),y\rangle +{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|xu\|^{2}\right\}+{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|x\|^{2}+{\text{Lip}}(f)\|y\|^{2}}$

この定理はモイジェシュ・ダヴィド・キルシュブラウンによって証明され、後にフレデリック・バレンタイン^[7]によって反証されました。バレンタインは最初にこの定理をユークリッド平面に対して証明しました。^{[8]この定理は}キルシュブラウン・バレンタインの定理と呼ばれることもあります。

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