シャンパーノウン分布

統計学において、シャンパーノウン分布は対称的な連続確率分布であり、正と負の両方の値を取るランダム変数を表します。これは、 DGシャンパーノウンによって導入されたロジスティック分布の一般化です。^{[1] [2] [3]}シャンパーノウンは、所得の対数を表すためにこの分布を開発しました。^[2]

シャンパーノウン分布の確率密度関数は次のように表される。

${\displaystyle f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\ infty <y<\infty ,}$

ここで、は正のパラメータであり、nはパラメータに依存する正規化定数である。密度は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle \alpha,\lambda,y_{0}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {n}{{\tfrac {1}{2}}e^{\alpha (y-y_{0})}+\lambda +{\tfrac {1}{ 2}}e^{-\alpha (y-y_{0})}}},}$

という事実を利用して${\displaystyle \cosh x={\tfrac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x}).}$

密度f ( y ) は、中央値がy ₀である対称分布を定義します。この分布は、正規分布よりもやや重い裾を持ちます。

特殊な場合（）では、それは双曲正割分布です。 ${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\pi }{2}},y_{0}=0}$

特殊なケースでは、Burr タイプ XII密度になります。 ${\displaystyle \lambda =1}$

いつ、 ${\displaystyle y_{0}=0,\alpha =1,\lambda =1}$

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{e^{y}+2+e^{-y}}}={\frac {e^{y}}{(1+e^{y })^{2}}},}$

これは標準ロジスティック分布の密度です。

所得の対数Yの分布がシャンパーノウン分布に従う場合、所得の密度関数X  = exp( Y )は^[1]

${\displaystyle f(x)={\frac {n}{x[1/2(x/x_{0})^{-\alpha }+\lambda +a/2(x/x_{0})^{\alpha }]}},\qquad x>0,}$

ここで、x ₀ = exp( y ₀ )は所得の中央値である。λ = 1の場合、この分布はフィスク分布^[4]と呼ばれることが多く、密度は

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{x_{0}^{\alpha }[1+(x/x_{0})^{\alpha }]^{2}}},\qquad x>0.}$

• 一般化ロジスティック分布