1s スレーター型関数

正規化された1sスレーター型関数は、原子の記述、およびより広い意味では分子内の原子の記述に使用される関数です。これは、最小の自由原子である水素の正確な量子論的記述として特に重要です。これは次の形式を持ちます。

${\displaystyle \psi _{1s}(\zeta ,\mathbf {rR} )=\left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{1 \over 2}\ ,e^{-\zeta |\mathbf {rR} |}.}$^[1]

これは、主量子数n が 1 であるスレーター型軌道(STO)の特殊なケースです。パラメータはスレーター軌道指数と呼ばれます。関連する関数セットを使用して、量子化学で使用されるSTO-nG 基底セットを構築できます。 ${\displaystyle \zeta}$

水素様原子または 水素原子は、電子を 1 つ持つ 原子です。水素原子自体 (中性) を除き、これらの原子は正電荷 を帯びます。ここで は原子の原子番号です。水素様原子は 2 粒子系であり、相互作用は 2 つの粒子間の距離のみに依存するため、それらの (非相対論的) シュレーディンガー方程式は解析形式で正確に解くことができます。解は 1 電子関数であり、水素様原子軌道と呼ばれます。^[2] 水素系の電子ハミルトニアン (原子単位) は で与えられます 。ここで は水素原子系の原子核電荷です。水素系の 1s 電子は、対応するスレーター軌道 で正確に記述できます。 ここではスレーター指数です。この状態、つまり基底状態は、スレーター軌道で記述できる唯一の状態です。スレーター軌道には放射状のノードがありませんが、水素原子の励起状態には放射状のノードがあります。 ${\displaystyle e(\mathbf {Z} -1)}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$
${\displaystyle \mathbf {\hat {H}} _{e}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$
${\displaystyle \mathbf {\psi } _{1s}=\left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}}$${\displaystyle \mathbf {\ゼータ } }$

水素系のエネルギーは、次のように解析的に正確に計算できる。 ここで、 である。スレーター軌道の式を使用すると、積分を正確に解くことができる。したがって、
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}={\frac {\langle \psi _{1s}|\mathbf {\hat {H}} _{e}|\psi _{1s}\rangle }{ \langle \psi _{1s}|\psi _{1s}\rangle }}}$${\displaystyle \mathbf {\langle \psi _{1s}|\psi _{1s}\rangle } =1}$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=\langle \psi _{1s}|\mathbf {-} {\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=\langle \psi _{1s}|\mathbf {-} {\frac {\nabla ^{2}}{2}}|\psi _{1s}\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=\langle \psi _{1s}|\mathbf {-} {\frac {1}{2r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)|\psi _{1s}\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {\psi } _{1s}=\left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}}$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=\left\langle \left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}\right|\left.-\left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}\left[{\frac {-2r\zeta +r^{2}\zeta ^{2}}{2r^{2}}}\right]\right\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}={\frac {\zeta ^{2}}{2}}-\zeta \mathbf {Z} .}$

の最適値は、エネルギーの に対する微分をゼロと見なすことで得られる。 したがって、${\displaystyle \mathbf {\zeta } }$${\displaystyle \mathbf {\zeta } }$
${\displaystyle {\frac {d\mathbf {E} _{1s}}{d\zeta }}=\zeta -\mathbf {Z} =0}$${\displaystyle \mathbf {\zeta } =\mathbf {Z} .}$

したがって、エネルギーとスレーター指数の式を使用して、次のエネルギー値が計算されます。

水素: H および−0.5 E _h −13.60569850 eV −313.75450000 kcal/mol
${\displaystyle \mathbf {Z} =1}$${\displaystyle \mathbf {\zeta } =1}$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$

金：Au(78+) および−3120.5 E _h −84913.16433850 eV −1958141.8345 kcal/mol。
${\displaystyle \mathbf {Z} =79}$${\displaystyle \mathbf {\zeta } =79}$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$
${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$

水素原子系は、原子系における相対論的効果を簡単な方法で実証するのに適したモデルです。エネルギー期待値は、スレーター指数の相対論的補正を考慮しても考慮しなくても、スレーター軌道を使用して計算できます。 相対論的に補正されたスレーター指数は次のように与えられます 。 水素原子系の 1s 軌道にある電子の相対論的エネルギーは、ディラック方程式を解くことで得られます。 次の表は、エネルギーの相対論的補正を示しており、相対論的補正が系の原子番号に応じてどのように変化するかがわかります。 ${\displaystyle \mathbf {\zeta } }$${\displaystyle \mathbf {\zeta } _{rel}}$
${\displaystyle \mathbf {\zeta } _{rel}={\frac {\mathbf {Z} }{\sqrt {1-\mathbf {Z} ^{2}/c^{2}}}}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}^{rel}=-(c^{2}+\mathbf {Z} \zeta )+{\sqrt {c^{4}+\mathbf {Z} ^{2}\zeta ^{2}}}}$