ベソフ尺度

数学、特に確率論と逆問題の分野において、ベゾフ測度と関連するベゾフ分布に従うランダム変数は、ガウス測度とランダム変数、ラプラス分布、およびその他の古典的な分布の概念を一般化したものです。これらは、ガウスベイズ事前分布が不適切なモデルである関数空間上の逆問題の研究に特に役立ちます。ベゾフ測度の構築はベゾフ空間の構築に似ているため、この命名法が用いられています。

を領域 上で定義された関数の可分ヒルベルト空間とし、を の完全正規直交基底とする。 およびとする。 に対して、定義する。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \{e_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle u=\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\in H}$

${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}=\left\|\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}e_{n}\right\|_{X^{s,p}}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{({\frac {ps}{d}}+{\frac {p}{2}}-1)}|u_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$

これは、の部分空間上のノルムを定義します。この部分空間は有限であり、 はこの新しいノルムに関するこの部分空間の完備化を表します。これらの定義の動機は、 がベゾフ空間 ののノルムと同等であるという事実から生じます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle X^{s,p}}$${\displaystyle \|u\|_{X^{s,p}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle B_{pp}^{s}(D)}$

をスケールパラメータとします。これはガウス測度の精度（分散の逆数）に似ています。ここで、値ランダム変数を次のように 定義します。${\displaystyle \kappa >0}$${\displaystyle X^{s,p}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u:=\sum _{n\in \mathbb {N} }n^{-({\frac {s}{d}}+{\frac {1}{2}}-{\frac { 1}{p}})}\kappa ^{-{\frac {1}{p}}}\xi _{n}e_{n},}$

ここで、は、に比例するルベーグ確率密度関数を持つ上の一般化ガウス測度から独立かつ同一にサンプリングされます。非公式には、は、無限次元ルベーグ測度に関して に比例する確率密度関数を持つと言えます(これは厳密には意味をなしません)。そのため、 は の「典型的な」要素の自然な候補となります(ただし、これは完全に正しいわけではありません。以下を参照してください)。 ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{2}}|\xi _{n}|^{p})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \exp(-{\tfrac {\kappa }{2}}\|u\|_{X^{s,p}}^{p})}$${\displaystyle X^{s,p}}$

t  ≤  sのとき、X ^{s , p}ノルムが有限であるときはいつでも、X ^{t , p}ノルムは有限であることを示すのは簡単です。したがって、空間X ^{s , p}とX ^{t , p は}ネストされています。

${\displaystyle X^{s,p}\subseteq X^{t,p}{\mbox{ }}t\leq sのとき。}$

これは関数f :  D  →  Rの滑らかさの類の通常の入れ子構造と一致している。例えば、ソボレフ空間 H ² ( D ) はH ¹ ( D )のサブスペースであり、ルベーグ空間 L ² ( D ) = H ⁰ ( D )のサブスペースでもある。連続的に微分可能な関数のホルダー空間 C ¹ ( D ) は連続関数の空間C ⁰ ( D ) のサブスペースである。

u を定義する級数は、任意のt  <  s  −  d  /  pに対してほぼ確実にX ^t、p に収束し、したがって明確に定義されたX ^t、p値のランダム変数を与えることが示されます。X ^{t、p は}X ^s、pよりも大きな空間であり、実際にはランダム変数uはほぼ確実に小さい空間X ^s、pには存在しないことに注意してください。空間X ^{s、p は}、ガウスの場合p  = 2 のこの確率測度の Cameron-Martin 空間です。ランダム変数uは、パラメーター ( κ、s、p ) を持つベゾフ分布していると言われ、誘導された確率測度はベゾフ測度と呼ばれます。

• 抽象ウィーナー空間 – 無限次元空間に関する数学的構成。
• キャメロン・マーティン定理 – ヒルベルト空間上のガウス測度（ウィーナー測度）の変換を定義する定理。
• フェルドマン・ハジェックの定理 – 確率論における理論
• ガウス測度の構造定理 – 数学定理
• 無限次元ルベーグ測度は存在しない – 数学の伝説リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

• Dashti, Masoumeh; Harris, Stephen; Stuart, Andrew M. (2012). 「ベイズ逆問題のためのベソフ事前分布」.逆問題とイメージング. 6 (2): 183–200. arXiv : 1105.0889 . doi :10.3934/ipi.2012.6.183. ISSN  1930-8337. MR  2942737. S2CID  88518742.
• ラサス、マッティ。サクスマン、エーロ。シルタネン、サムリ (2009)。 「離散化不変ベイズ逆バージョンとベゾフ空間事前分布」。逆問題とイメージング。3 (1): 87-122。arXiv : 0901.4220。土井：10.3934/ipi.2009.3.87。ISSN  1930-8337。MR  2558305。S2CID 14122432  。