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遷移曲線（螺旋緩和曲線、または単に螺旋とも呼ばれる）は、直線（接線）と曲線の間、または2つの異なる曲線の間など、異なる形状と半径を持つ区間の間で使用される螺旋状の高速道路または鉄道線路の長さである。[ 1 ]
水平面において、遷移曲線の半径は、接続する区間の半径が異なるため、その長さ全体にわたって連続的に変化します。例えば、接線における無限大の半径から、滑らかな曲線の公称半径まで変化します。結果として生じる螺旋は、緩やかでスムーズな移行を実現し、遷移曲線がない場合に発生するであろう、望ましくない急激な横方向（向心）加速度の変化を防ぎます。同様に、高速道路においても、遷移曲線は、ドライバーがカーブへの進入時や脱出時に、ステアリング操作を徐々に変更することを可能にします。
緩和曲線は、垂直面における緩和の役割も果たし、曲線の内側または外側の標高を下げたり上げたりすることで、曲線の公称バンク量に達するように調整されます。
初期の鉄道では、低速で半径の大きい曲線が採用されていたため、測量士はあらゆる種類の地役権を無視することができたが、19 世紀になると速度が上がるにつれて、徐々に曲率が増加する軌道曲線の必要性が明らかになった。ランキンの1862 年の土木工学[ 2 ]では、ウィリアム グラヴァットによる「正弦曲線」に基づく 1828 年または 1829 年の提案や、弾性曲線を近似する 1842 年頃のウィリアム フルードによる調整曲線など、そのような曲線がいくつか引用されている。ランキンで実際に示されている方程式は、3 次多項式曲線である 3 次曲線であり、当時は 3 次放物線としても知られていた。
英国では、1845年以降、法規制や土地価格の高騰によって鉄道路線の敷設が制約され始め、より急なカーブが必要になったことで、ようやくこれらの原則が実際に適用され始めた。
弧長に対して曲率が正確に線形である「真の螺旋」を計算するには、ランキンが引用した提案よりも高度な数学（特に、その固有の方程式を積分する能力）が必要です。19 世紀後半の土木技師数名が、この曲線の方程式を独自に導出したようです（いずれも、1744 年にレオンハルト・オイラーが最初にこの曲線を特徴づけたことを知りませんでした）。チャールズ・クランドール[ 3 ]は、1880 年 12 月 3 日のRailroad Gazetteで、エリス・ホルブルックがこの曲線を初めて正確に記述したとしています。もう 1 つの初期の出版物は、アーサー・N・タルボットによるThe Railway Transition Spiral [ 4 ]で、元々は 1890 年に出版されました。20 世紀初頭の著者の一部[ 5 ]は、この曲線を「グローバーの螺旋」と呼び、ジェームズ・グローバーの 1900 年の出版物[ 6 ]に帰しています。
鉄道の遷移螺旋とクロソイド曲線の等価性は、1922年にアーサー・ロバット・ヒギンズによって初めて発表されたようです。[ 5 ]それ以来、「クロソイド」は曲線に付けられた最も一般的な名前ですが、（学術的な帰属の基準に従って）正しい名前は「オイラー螺旋」です。[ 7 ]
鉄道線路の形状は本質的に三次元ですが、実際的な目的のために、線路形状の垂直成分と水平成分は通常別々に扱われます。[ 8 ] [ 9 ]
縦断形状の全体的な設計パターンは、通常、勾配が一定で、勾配が距離に対して線形に変化し、したがって標高が距離の2乗に比例して変化する垂直遷移曲線で接続された一連の一定勾配区間です。ここで勾配とは、軌道の上昇角の正接を指します。水平形状の設計パターンは、通常、遷移曲線で接続された一連の直線（つまり接線）および曲線（つまり円弧）区間です。
鉄道線路の傾斜度は、通常、2本のレールの高さの差として表され、一般的にカント（超高）と呼ばれます。このレールの高さの差は、物体が曲線経路に沿って移動するために必要な向心加速度を補償することを目的としており、乗客や貨物が受ける横方向の加速度を最小限に抑え、乗客の快適性を向上させ、積荷のずれ（輸送中の貨物の移動による事故や損傷）の可能性を低減します。
カントはレールのロール角とは異なります。ロール角は、レールの「上端」における高低差によって示される軌道構造全体の傾斜ではなく、個々のレールの「傾き」を表すために使用されます。軌道の水平方向の配置やカントに関係なく、個々のレールは、通常の鉄道運行時に車輪によって加えられる水平方向の力を補償するために、ほぼ常に軌間側（車輪がレールに接触する側）に向かって「ロール」/「カント」するように設計されています。
接線区間におけるカントがゼロから、後続曲線の本体に設定された値へと変化する過程は、接線と曲線本体をつなぐ遷移曲線の長さにわたって発生します。遷移曲線の長さに沿って、線路の曲率も、接線区間に接する端点におけるゼロから、曲線本体の曲率の値（曲線本体の半径の逆数に等しい）まで変化します。
最も単純で一般的に用いられる遷移曲線は、カントと水平曲率がともに線路に沿った距離に対して線形に変化するものである。この螺旋上の点のデカルト座標はフレネル積分によって与えられる。結果として得られる形状は、オイラー螺旋の一部に一致する。オイラー螺旋は一般的に「クロソイド」、あるいは「コルニュ螺旋」とも呼ばれる。
遷移曲線は、一定の非ゼロ曲率を持つ線路区間と、ゼロまたは正負どちらの符号でも一定の非ゼロ曲率を持つ別の線路区間を接続することができる。同じ方向に連続する曲線はプログレッシブ曲線、反対方向に連続する曲線はリバース曲線と呼ばれることがある。
オイラー螺旋は、軌道カント（すなわち軌道のねじれ）の変化率に一定の制限がある限り、最短の遷移を実現します。しかし、長年にわたり認識されてきたように、両端におけるロール加速度と向心加速度の変化率が大きい（概念的には無限大）ため、望ましくない動的特性を有しています。パーソナルコンピュータの性能向上により、現在ではオイラー螺旋よりも優れた動的特性を持つ螺旋を採用することが実用的になっています。