オイラー螺旋

オイラー螺旋は、曲線の長さに応じて曲率が直線的に変化する曲線です（円曲線の曲率は半径の逆数に等しい）。この曲線はクロソイド曲線またはコルニュ螺旋とも呼ばれます。^{[1] [2]}フレネル積分の挙動はオイラー螺旋で説明できますが、この関係は1874年にマリー・アルフレッド・コルニュによって初めて示されました。 ^[3] オイラー螺旋は、単調な曲率関数の特性を持つスーパースパイラルの一種です。^[4]

オイラー螺旋は回折計算に応用されています。また、鉄道や高速道路の工学分野では、線路や道路の直線部分と曲線部分の間の遷移曲線を設計するために広く使用されています。同様の応用は、フォトニック集積回路にも見られます。接線と円曲線の間の遷移曲線の曲率の線形変化の原理は、オイラー螺旋の形状を定義します。

• 曲率は直線部分（接線）でゼロから始まり、曲線の長さとともに直線的に増加します。
• オイラー螺旋が円曲線と交わるところでは、その曲率は円曲線の曲率と等しくなります。

螺旋には、その発見とさまざまな分野での応用を反映して、複数の名前があります。3つの主要な分野は、弾性バネ（「オイラー螺旋」、1744年）、光回折のグラフィカル計算（「コルニュ螺旋」、1874年）、および鉄道遷移（「鉄道遷移螺旋」、1890年）でした。^[2]

レオンハルト・オイラーの螺旋に関する研究は、ジェームズ・ベルヌーイが弾性理論で問題を提示した後に行われた。それは、自由端を押して平らにしたときに直線になるためには、あらかじめ曲げられたワイヤースプリングはどのような形状でなければならないか、という問題である。オイラーは1744年に螺旋の特性を確立し、その際に曲線には2つの極限、つまり曲線が何度も巻き付いても決して到達しない点がなければならないと指摘した。38年後の1781年、彼は（「幸運な偶然」によって）極限の公式を発見したと報告した。^[2]

1818年に光の回折について研究していたオーギュスタン・フレネルは、同じ螺旋を定義するフレネル積分を開発した。彼はオイラーの積分や弾性理論との関連を知らなかった。1874年、アルフレッド・マリー・コルニュは、螺旋のグラフ上の2点間の距離を2乗することで、回折強度を読み取ることができることを示した。アンリ・ポアンカレはコルニュの伝記の中で、 「コルニュの螺旋」が「煩わしい多数の複雑な積分式」よりも優れていると賞賛した。エルネスト・チェザロは、ギリシャ神話で命の糸を紡ぐ3人の運命の女神の1人であるクロトにちなんで、同じ曲線を「クロソイド」と名付けた。^[2]

3 番目の独立した発見は、1800 年代にさまざまな鉄道技術者が線路形状の緩やかな曲率の公式を模索していたときに起こりました。1880 年までにアーサー ニューウェル タルボットは積分公式とその解を導き出し、これを「鉄道遷移スパイラル」と呼びました。オイラーの研究との関連は 1922 年まで明らかにされませんでした。^[2]

ウィリアム・ランキンは、オイラーによる幾何学の解法を知​​らなかったが、放物線が円曲線の近似であるのと同じように、小さな角度の変化に対するオイラー螺旋の近似である三次曲線（3次多項式曲線）を引用した。^[要出典]

物体が円軌道に沿って移動するには、求心加速度を受ける必要があります(例: 月は重力により地球の周りを周回します。自動車は前輪を内側に向けることで求心力を生み出します)。直線軌道を走行している自動車が突然接線円軌道に移行する場合、接線ポイントで求心加速度がゼロから必要な値に突然切り替わる必要がありますが、これを実現するのは困難です (ドライバーがハンドルを直線から旋回位置に瞬時に動かし、自動車が実際にそれを実行することを想像してください)。また、自動車の部品に機械的ストレスがかかり、不快感が大きくなります (横方向のジャークによる)。

初期の鉄道では、低速で半径の広い曲線が採用されていたため、この瞬間的な横方向の力の適用は問題ではありませんでした（乗客にかかる横方向の力と横方向の揺れは小さく、許容範囲内でした）。鉄道車両の速度が年々増加するにつれて、移動距離に応じて求心加速度が滑らかに増加するように緩和措置が必要であることが明らかになりました。求心加速度の式を考えると、²ページ/r⁠、明らかな解決策は、曲率が、 ⁠1/R⁠、移動距離に応じて直線的に増加します。

光学では、コルニュ螺旋という用語が使われます。^{[5] : 432}コルニュ螺旋は回折パターン を説明するために使われます。^{[6]位相振幅}E ₀ e ^{− jkz} を持つ平面波が、 z = 0平面上のx = 0からhの高さの「ナイフエッジ」によって回折されるとします。回折波場は 次のように表すことができます。ここで、 Fr( x ) はフレネル積分関数であり、複素平面上でコルニュ螺旋を形成します。 $${\displaystyle \mathbf {E} (x,z)=E_{0}e^{-jkz}{\frac {\mathrm {Fr} (\infty )-\mathrm {Fr} \left({\sqrt { \frac {2}{\lambda z}}}(hx)\right)}{\mathrm {Fr} (\infty )-\mathrm {Fr} (-\infty )}},}$$

したがって、ナイフエッジから回折される平面波の減衰の計算を簡略化するために、適切な a と b について、 Fr( a ) − Fr( b ) の量を Fr( a ) と Fr( b ) で表される点間の物理的な距離として表すことにより、コルニュ螺旋の図を使用することができます。これにより、ナイフエッジを越えた位置( x、z ) で高さhのナイフエッジによる平面波の減衰の大まかな計算が容易になります。

オイラー螺旋に従って曲率半径が連続的に変化する曲げは、光集積回路の損失を減らすためにも使用されます。シングルモード導波路^{[7] [8]}では、曲率の急激な変化を滑らかにして放射モードへの結合を抑制し、マルチモード導波路^[9]では、高次モードへの結合を抑制して効率的なシングルモード動作を保証します。オイラー螺旋の導波路への先駆的で非常に優れた応用は、1957年にマイクロ波用の中空金属導波路ですでに行われていました^[10]。そのアイデアは、まっすぐな金属導波路を物理的に曲げて、オイラー螺旋に似た緩やかな曲げ形状を自然にとることができるという事実を利用するというものでした。

量子力学の経路積分定式化では、2点間の伝播の確率振幅は、2点間の各時間ステップの作用位相矢印を接続することによって視覚化できます。矢印は各エンドポイントの周りを螺旋状に回り、コルニュ螺旋と呼ばれるものを形成します。^[11]

モータースポーツ作家のアダム・ブルイヤールは、コーナー進入時のレーシングラインを最適化するためにオイラー螺旋を使用することを示した。 ^[12]

ラファエル・レヴィエンは2007年に曲線デザイン、特にフォントデザインのためのツールキットとしてSpiroを無料ライセンスでリリースしました^{[13] [14] 。このツールキットはその後すぐにフォントデザインツールの}Fontforgeやデジタルベクター描画ツールのInkscapeに実装されました。

幅⁠の螺旋に沿って球体を切断する1/いいえ⁠そして、得られた形状を平坦化すると、 nが無限大に近づくとオイラー螺旋が得られます。 ^[15]球体が地球儀である場合、これはnが無限大に近づくにつれて歪みがゼロに近づく地図投影を生成します。 ^[16]

ネズミのヒゲの自然な形はオイラー螺旋の線分でよく近似されており、ネズミ1匹のヒゲはすべて同じ螺旋の線分として近似できる。^{[17]オイラー螺旋線分の}チェザロ方程式の2つのパラメータは、ヒゲの成長における角質化のメカニズムについての洞察を与えるかもしれない。^[18]

導出

右のグラフは、2 つの曲線 (この場合は直線 (負のx軸) と円) 間の緩和 (遷移) 曲線として使用されるオイラー螺旋を示しています。螺旋は原点から正のx方向で始まり、徐々に反時計回りに回転して円を 形成します。

この螺旋は、上記の両端を持つオイラー螺旋の第 1 象限の小さな部分です。

曲率の​​定義から、すなわち、ここでまたは したがって、 今、 もし 、そして 、したがって、という 形式で書きます。$${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{ds}}\propto s}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Rs={\text{定数}}&=R_{c}s_{o}\\{\frac {d\theta }{ds}}&={\frac {s}{R_{c}s_{o}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {d\theta }{ds}}=2a^{2}s}$$$${\displaystyle 2a^{2}={\frac {1}{R_{c}s_{o}}}}$$$${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}s_{o}}}}}$$$${\displaystyle \theta =(as)^{2}}$$$${\displaystyle x=\int _{0}^{L}\cos \theta \,ds=\int _{0}^{L}\cos \left[\left(as\right)^{2}\right]\,ds}$$$${\displaystyle s'=as}$$$${\displaystyle ds={\frac {ds'}{a}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&=\int _{0}^{L}\sin \theta \,ds\\&=\int _{0}^{L}\sin \left[\left(as\right)^{2}\right]\,ds\\&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin \left({s}^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$

正規化されたオイラー曲線の場合のようにa = 1 の場合、直交座標はフレネル積分（またはオイラー積分）によって与えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}C(L)&=\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\S(L)&=\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$

与え られ た オイラー曲線に対して 、 $${\displaystyle 2RL=2R_{c}L_{s}={\frac {1}{a^{2}}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {L}{R_{c}L_{s}}}=2a^{2}L}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&={\frac {1}{a}}\int _{0}^{L'}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=aL\\a&={\frac {1}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}.\end{aligned}}}$$

オイラー螺旋の ( x , y )の解を得るプロセスは次のように記述できます。

• 元のオイラー螺旋のLに係数aを掛けて、正規化されたオイラー螺旋のL ′に写像します。
• フレネル積分から( x ′, y ′)を求める。
• ( x ′, y ′)を係数⁠でスケールアップ (非正規化) して( x , y )にマッピングします。1/1つの⁠ . 注意してください⁠1/1つの⁠ > 1 .

正規化のプロセスでは 、 $${\displaystyle {\begin{aligned}R'_{c}&={\frac {R_{c}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}={\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}\\L'_{s}&={\frac {L_{s}}{\sqrt {2R_{c}L_{s}}}}={\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle 2R'_{c}L'_{s}=2{\sqrt {\frac {R_{c}}{2L_{s}}}}{\sqrt {\frac {L_{s}}{2R_{c}}}}={\frac {2}{2}}=1}$$

一般に、正規化によりL ′ が小さな値 (1 未満) に減少し、数項のみで管理可能なフレネル積分の良好な収束特性が得られます (ただし、特にθ値が大きい場合は、計算の数値的不安定性が増大します)。

与えられた 条件: そして $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{c}&=300\,\mathrm {m} \\L_{s}&=100\,\mathrm {m} \end{aligned}}}$$$${\displaystyle \theta _{s}={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}={\frac {100}{2\times 300}}={\frac {1}{6}}\ \mathrm {ラジアン} }$$$${\displaystyle 2R_{c}L_{s}=60\,000}$$

オイラー螺旋を√で縮小すると、60 000、すなわち100√ 6 を正規化されたオイラー螺旋にすると 、 $${\displaystyle {\begin{aligned}R'_{c}&={\tfrac {3}{\sqrt {6}}}\,\mathrm {m} \\L'_{s}&={\ tfrac {1}{\sqrt {6}}}\,\mathrm {m} \\2R'_{c}L'_{s}&=2\time {\tfrac {3}{\sqrt {6}}}\time {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\\&=1\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \theta _{s}={\frac {L'_{s}}{2R'_{c}}}={\frac {\frac {1}{\sqrt {6}}}{2\times {\frac {3}{\sqrt {6}}}}}={\frac {1}{6}}\ \mathrm {ラジアン} }$$

2 つの角度θ _sは同じです。これにより、元のオイラー螺旋と正規化されたオイラー螺旋が幾何学的に類似していることが確認できます。正規化された曲線の軌跡はフレネル積分から決定できますが、元のオイラー螺旋の軌跡は、スケールアップまたは非正規化によって取得できます。

正規化されたオイラー螺旋は次のように表すことができます。 または、べき級数 として表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&=\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left.\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {s^{4i+1}}{4i+1}}\right|_{0}^{L}&&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {L^{4i+1}}{4i+1}}\\y&=\left.\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {s^{4i+3}}{4i+3}}\right|_{0}^{L}&&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {L^{4i+3}}{4i+3}}\end{aligned}}}$$

正規化されたオイラー螺旋は、パラメータ L が無限大に近づくにつれて、次のように表される極限で 1 つの点に収束します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&=\lim _{L\to \infty }\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds&&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 0.6267\\y^{\prime }&=\lim _{L\to \infty }\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds&&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 0.6267\end{aligned}}}$$

正規化されたオイラー螺旋には以下の特性がある 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}2R_{c}L_{s}&=1\\\theta _{s}&={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}=L_{s}^{2}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\theta _{s}\cdot {\frac {L^{2}}{L_{s}^{2}}}=L^{2}\\{\frac {1}{R}}&={\frac {d\theta }{dL}}=2L\end{aligned}}}$$

2 R _c L _s = 1は、⁠1/RC_​⁠ = 2 L _sであり、最後の数学的記述と一致します。

• スパイラルの一覧

• Weisstein、Eric W.「コルヌスパイラル」。MathWorld。
• 2次元数学曲線におけるオイラー螺旋
• JSXGraph を使用したインタラクティブな例